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漫 谈 数 学 文 化 1 “数学文化”的内涵 2 “文化”的内涵 狭义的“文化”，仅指知识。说一个人“有文化”， 就是说他有知识。 广义的“文化”，则泛指人类的物质财富和精神财 富的积淀，是一种上层建筑，有相对的稳定性 。 数学文化中的“文化”，用的是“文化”的广义解释 。“中华民族的文化”、 “校园文化”、 “旅游文 化”等中的“文化”，也都是“文化”的广义的解 释。 3 “数学文化”的内涵 狭义：数学的思想、精神、方法、观点、 语言，以及它们的形成和发展； 广义：除上述内涵以外，还包含数学家、数 学史、数学美、数学教育、数学发展中的 人文成分、数学与各种文化的关系。 4 数学素养使人终身受益 一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级， 一般要学十三年的数学课程，只有语文课能与之相比；但 许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。相反， 大多数学生仍然对数学的思想、精神了解得较肤浅，对数 学的宏观认识和总体把握较差，数学素养较差；甚至误以 为学数学就是为了会做题、能应付考试，不知道“数学方 式的理性思维”的重大价值，不了解数学在生产、生活实 践中的重要作用，不理解数学文化与诸多文化的交汇。 5 n一联想到数学，人们的印象是：充分的条件、灵活且周密 严谨的思维、严密的逻辑推理等等。数学不仅是一门独立 的学科，而且是进行现代自然科学与人文科学研究的强有 力的工具。数学直接进入社会，数学模型的作用越来越大 （人在风雨中走的时候是不是应该跑？）。大多数人对数 学是敬而远之的态度，大部分学生在学校接受教育时，不 觉得数学是一门有用的课程，而是认为数学只是一门考试 课程，是最让人头疼，最让人厌烦的课程。导致这种现象 出现的根本原因是数学学习内容远离生活。数学应该是来 源于生活，又必须回归生活，数学只有在生活中才能赋予 活力和灵性。 6 现在的数学教学，较多地让学生做习题，却 较少地让学生想问题。在做习题中，又较多地在操 作层面上训练解题方法，而较少地在思维层面上培 养数学素养。 特别是为了应付考试，教师在教学活动中，往 往先把自己变成“类型题”的有效解题者和熟练操作 工，再努力把学生也变成“类型题”的有效解题者和 熟练操作工。 大学教师常常感到，中学输送来的“好学生”， 很会做初等数学中的习题，但不大善于“学数学”。 7 实际上 ，学生毕业后走入社会，如果不是在与数学 相关的领域工作，他们学过的具体的数学定理、公式和解 题方法可能大多用不上，以至很快就忘记了；而他们有所 欠缺的数学素养，反而是数学让人终生受益的精华。 一位数学教育家说，不管人们从事什么工作，深深 铭刻在头脑中的数学的思想精神、数学的思维方法和看问 题的着眼点等，都会随时随地发生作用，使人们终生受益 。 那么，各个阶段的数学教学中，我们为什么不在传 授知识的同时，有意识地提高学生的数学素养（也即数学 素质）呢？这，正是教学思路、教学理念的大问题。 8 数学不仅是一种重要的“工具” ，也是一种思维模式，即 “数学方式的理性思维”； 数学不仅是一门科学，也是一种文化，即“数学文化 ”； 数学不仅是一些知识，也是一种素质，即“数学素质 ”。 在提高一个人的推理能力、抽象能力、分析能力和创 造能力方面，数学训练的作用，是其他训练难以替代的。 9 而现在大学里的“高等数学”课，由于各种原 因，也常常采取重结论不重证明、重计算不重推理 、重知识不重思想的讲授方法。 在这种情况下，我们考虑专门开设一门校公共 选修课“数学文化” ， 着重教授数学的思想 、精神和方法；提高学生的数学素质 ，也提高学 生的文化素质和思想素质。 这，就是开设“数学文化”课的初衷。 10 数学素养使人终身受益 一个人的学历教育中，从小学一年级到大学一年级 ，一般要学十三年的数学课程，只有语文课能与之相比 ；但许多人并未因为学的时间长就掌握了数学的精髓。 在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用， 不到一两年，很快就忘掉了。 然而，不管他们从事什么工作，深深铭刻在头脑中 的数学的思想精神、数学的思维方法和看问题的着眼点 等，却随时随地发生作用，使人们终生受益。 11 “数学素养”的通俗说法 把所学的数学知识都排除或忘掉 后，剩下的东西： n从数学角度看问题的出发点； n有条理地理性思维，严密地思考、求证，简洁、 清晰、 准确地表达； n在解决问题时、总结工作时，逻辑推理的意识和 能力； n对所从事的工作，合理地量化和简化，做到地运 筹帷幄； 12 n所谓数学思维： n（1）逻辑性 n（2）抽象性 n（3）对事物主要、基本的属性的准确把握 数学思维的特征是推理的严密、因果关系的 清晰、从条件到结论的环环紧扣；是从具 体到抽象再到具体的过程。这些特征，对 于训练人的素质是十分有用的。 13 “数学素养”的专业说法 主动探寻并善于抓住数学问题的背景和本质的素养； 熟练地用准确、简明、规范的数学语言表达自己数学思 想的素养； 具有良好的科学态度和创新精神，合理地提出新思想、 新概念、新方法的素养； 对各种问题以“数学方式”的理性思维，从多角度探寻解 决问题的方法的素养； 善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化 ，建立数学模型的素养。 14 n举例： n1。乒乓球比赛问题 n2。头发数目问题 n3。haoli塔问题 n4。悖论：山村理发师问题 n5。换啤酒问题：小明父亲买回10瓶啤酒， 商店规定3个空瓶可以换回一瓶啤酒。问他 不再化钱，最多可以喝多少瓶啤酒？（类 似有11头羊各分1/2,1/4,1/6.如何分） 15 微软公司招考员工的一道面试题 一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些 狗中有一部分病狗。 假定有如下条件：1、狗的病不会传染，也不会不治而愈 ；2、狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病, 只能靠看 别人的狗和推理，来发现自己的狗是否有病；3、一旦主人 发现自己的狗是一只病狗，就会在当天开枪打死这条狗； 4、狗只能由他的主人开枪打死。 如果他们在一起，第一天没有枪声、第二天没有枪声 第十天发出了一片枪声，问有几条狗被打死？ （ 不是“脑筋急转弯”！） 16 提高数学素养 数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践 中培养的。教师在数学教学中，不但要向学生传 授数学知识，更要让学生体会数学知识中蕴涵的 数学文化，了解“数学方式的理性思维”，提高学 生的数学素养。 17 三、数学文化中的 素质教育举例 18 海岸线的长度问题与分形和混沌 19 1. b.b.mandelbrot的工作 1967年法国数学家b.b.mandelbrot在 科学杂志上发表文章“英国的海岸线 有多长？” 。 这看似极其简单，但mandelbrot发现： 当 测量单位变小时，所得的长度是 无限 增大的。 20 在理论数学中，瑞典数学家koch早在 1904年就构造了如今称之为“柯赫曲线” (koch curve)的几何对象。 自相似性 21 2. e.n.lorenz的工作 美国气象学家e.n.lorenz在天气预报中的发现 是混沌认识过程中的一个里程碑。 1963年，他在麻省理工学院操作着一台当时比 较的先进工具计算机进行天气模