自考资料：高等数学公式.pdf

导数公式导数公式 1幂函数 0 c 1 )( nn nuu 2指数函数 aaa uu ln)(eee uu ln)( 3对数函数 auauln 1 )(log u u 1 )(ln 4三角函数 uucos)(sinuusin)(cos uu 2 csc) uu 2 sec)(tan(cot uuutansec)(sec uuucotcsc)(csc 5反三角函数 2 1 1 )(arcsin u u 2 1 1 )(arccos u u 2 1 1 )(arctan u u 2 1 1 )cot( u uarc 6其他 1u 2 11) ( u u u u 2 1 )( 2 3 2 11 )( u u 22 )( 22 au u au 积分公式积分公式 1幂函数 cdu 0 cuduu n n n 1 1 1 auadu 2指数函数 cedue uu cdua a a u u ln 3有关对数 cu u du ln 4三角函数 cuudu cossin cuudu sincos cuudu tansec 2 cuudu cotcsc 2 cuuduu sectansec cuuduu csccotcsc cuudu coslntan cuudu sinlncot cuuudu tanseclnsec cuuudu cotcsclncsc 5反三角函数 cauu au du 22 ln 22 c a u ua du arcsin 22 c ua ua a ua du ln 2 1 22 c a u a ua du arctan 1 22 6其他 c u u du 1 2 cuduu 2 3 3 2 cudu u 2 1 2 1 cu u udu 2 2 2 2 cu u udu 2 2 1 1 1ln 2 cuuuudu lnln 定义域定义域 )(10(，xaaay x )010(logxaaxy a ， 对数公式对数公式 b n b a a n log log log mnm a n a log)(log 2lg1lg 2lg1lg log 2 1 lg 2 1 lg 2 1 2 1 qq kk q q k k k k q q 三角公式三角公式 cossin22sin 22 sincos2cos 2cos1cos2 2 2cos1sin2 2 因式分解因式分解 32233 33)(yxyyxxyx 高等数学复习公式高等数学复习公式 高等数学公式 导数公式： 导数公式： ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 )( 1 1 )( )(arccos )(arcsin x arcctgx arctgx x x x x x 基本积分表： 基本积分表： axx ax dx cshxchxdx cchxshxdx c a a dxa cxctgxdxx cxdxtgxx ctgxxdx x dx tgxxdx x dx x x ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 2 22 2 2 2 2 c c c ) 2 c a x xa dx c xa xa axa dx c ax ax aax dx c a x arctg axa dx cctgxxxdx ctgxxxdx cxctgxdx cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 c a xa xa x dxxa caxx a ax x dxax caxx a ax x dxax i n n xdxxdxi n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 三角函数的有理式积分： 三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x ， ， ， 第第 1 页页 共共 15 页页 高等数学复习公式高等数学复习公式 一些初等函数： 两个重要极限： 一些初等函数： 两个重要极限： x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 .590457182818284. 2) 1 1 (lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 三角函数公式： 诱导公式： 三角函数公式： 诱导公式： 函数 角 a sin cos tg ctg - -sincos-tg -ctg 90- cossin ctgtg 90+ cos-sin-ctg-tg 180- sin -cos-tg -ctg 180+ -sin-costg ctg 270- -cos-sinctgtg 270+ -cossin -ctg-tg 360- -sincos-tg -ctg 360+ sin costg ctg 特殊角三角函数值 特殊角三角函数值 第第 2 页页 共共 15 页页 高等数学复习公式高等数学复习公式 和差角公式： 和差化积公式： 和差角公式： 和差化积公式： 2 2 sin 2 sin2coscos cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( 倍角公式： 倍角公式： 第第 3 页页 共共 15 页页 半角公式： 半角公式： cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理：正弦定理：r c c b b a a 2 sinsinsin 余弦定理：余弦定理： cabbaccos2 222 反三角函数性质：反三角函数性质：arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式莱布尼兹（leibniz）公式： 高阶导数公式莱布尼兹（leibniz）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vucuv 中值定理与导数应用： 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx f f afbf afbf abfafbf )(f )( )( )()( )()( )()()( 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 高等数学复习公式高等数学复习公式 曲率： 曲率： . 1 ; 0 . )1 ( limm smm:. ,1 320 2 a ka k y y ds d s k mm s k tgydxyds s 的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式： 定积分的近似计算： 定积分的近似计算： b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )(4)(2)( 3 )( )( 2 1 )( )()( 1312420 110 110 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式： 定积分应用相关公式： b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kf apf sfw )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数： 空间解析几何和向量代数： 第第 4 页页 共共 15 页页 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 5 页页 共共 15 页页 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间 ,cos)( sin, cos ,cos prpr)(pr ,cospr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uabababj zzyyxxmmd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 , 22 2 11 ;, 13 02 ),(,0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx cba dczbyax d c z b y a x dczbyax zyxmcbanzzcyybxxa 多元函数微分法及应用 多元函数微分法及应用 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 6 页页 共共 15 页页 z y z x y x y x y x yx f f y z f f x z zyxf dx dy f f yf f xdx yd f f dx dy yxf dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz ， ， 隐函数 ， ， 隐函数 隐函数的求导公式： 时，当 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 全微分： 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )(),( ),(),( 2 2 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),( 0),( yu gf jy v vy gf jy u xu gf jx v vx gf jx u gg ff v g u g v f u f vu gf j vuyxg vuyxf vu vu 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： 微分法在几何上的应用： ),(),(),( 3 0)(,()(,()(,(2 ),(),(),(1 ),(0),( , 0),( 0),( 0)()()( )()()( ),( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxf zz zyxf yy zyxf xx zzzyxfyyzyxfxxzyxf zyxfzyxfzyxfn zyxmzyxf gg ff gg ff gg ff t zyxg zyxf zztyytxxtm t zz t yy t xx zyxm tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线 方向导数与梯度：方向导数与梯度： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 7 页页 共共 15 页页 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 不确定时 值时， 无极 为极小值 为极大值 时， 则： ，令：设 ,0 0 ),( , 0 ),( , 0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 bac bac yxa yxa bac cyxfbyxfayxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用： 重积分及其应用： d z d y d x zyx d y d x d d y d x d dd ayx xdyx faf ayx ydyx ff ayx xdyx ff ffffaamzxoy dyxxiydyxyix dyx dyxy m m y dyx dyxx m m x dxdy y z x z ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 d 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( ,)0(), 0 , 0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心： 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 8 页页 共共 15 页页 dvyxidvzxidvzyi dvxmdvz m zdvy m ydvx m x drrrfddddrdrrfdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrf dzrdrdzrfdxdydzzyxf zz ry rx zyx r )()()( 1 , 1 , 1 sin),(sin),(),( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),( ,),(),(,sin cos 222222 2 00 ),( 0 22 2 ， ， 转动惯量： ， 其中 重心： ， 球面坐标： 其中： 柱面坐标： 曲线积分：曲线积分： )( )()()()(),(),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx llyxf l 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 9 页页 共共 15 页页 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， 。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、 0),(),(),( ),( (),(),(2 00 ),( ),( 00 yxdyyxqdxyxpyxu yxuqdypdx y p x q y p x q gyxqyxp yx yx ，应 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 )0 , 0 1 2 1 2, )()( )coscos( )()(),()()(),(),(),( )( )( g ydxxdydxdyad y p x q xqyp qdypdxdxdy y p x q qdypdxdxdy y p x q l dsqpqdypdx dttttqtttpdyyxqdxyxp ty tx l dl dldl ll l 曲面积分： 曲面积分： dsrqprdxdyqdzdxpdydz dzdxzxzyxqdzdxzyxq dydzzyzyxpdydzzyxp dxdyyxzyxrdxdyzyxr dxdyzyxrdzdxzyxqdydzzyxp dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy d d d d yx )coscoscos( ),(,),( ,),(),( ),(,),( ),(),(),( ),(),(1),(,),( 22 系：两类曲面积分之间的关 号。，取曲面的右侧时取正 号；，取曲面的前侧时取正 号；，取曲面的上侧时取正 ，其中：对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式：高斯公式： 高等数学复习公式高等数学复习公式 dsadva dsrqpdsadsna z r y q x p dsrqprdxdyqdzdxpdydzdv z r y q x p n n div )coscoscos( ., 0div,div )coscoscos()( 成：因此，高斯公式又可写 ，通量： 则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度： 通量与散度：高斯公式的物理意义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： dstardzqdypdxa rqp zyx a y p x q x r z p z q y r rqp zyx rqp zyx dxdydzdxdydz rdzqdypdxdxdy y p x q dzdx x r z p dydz z q y r 的环流量：沿有向闭曲线向量场 旋度： ， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： kji rot coscoscos )()()( 常数项级数： 常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 ) 1( 321 1 1 1 12 级数审敛法： 级数审敛法： 第第 10 页页 共共 15 页页 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 11 页页 共共 15 页页 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus u u u lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,( nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛： 绝对收敛与条件收敛： 时收敛 时发散 级数： 收敛； 级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 ) 1(1 ) 1 () 1 ()2( ) 1 ()2( )2( ) 1 ( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数： 幂级数： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 12 页页 共共 15 页页 0 0 1 0 )3(lim ) 3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 r r r aa a a r rx rx rx r xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数 时，发散 时，收敛于 函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： n n n n n n n n n x n f x f xffxfx rxfxx n f r xx n xf xx xf xxxfxf ! )0( ! 2 )0( )0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )( )( ! 2 )( )()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数： 一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数： )( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin ) 11( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 欧拉公式： 欧拉公式： 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数： 三角级数： 。上的积分 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，其中， 0 ,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtabaaaaa nxbnxa a tnaatf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数： 傅立叶级数： 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 13 页页 共共 15 页页 是偶函数 ，余弦级数： 是奇函数 ，正弦级数： （相减） （相加） 其中 ，周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 )(2 , 1 , 0cos)( 2 0 sin)(3 , 2 , 1nsin)( 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 周期为的周期函数的傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数： l 2 高等数学复习公式高等数学复习公式 第第 14 页页 共共 15 页页 l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 1 0 其中 ，周期