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浅谈SIR流行病模型的建立和发展摘要：应用传染病动力学模型可描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供决策依据。本文介绍传染病动力学的最基本模型SIR模型。探讨SIR模型的发展进程和研究动向,并用SIR模型对SARS的传播进行模拟。关键词：传染病；动力学模型；SIR模型Abstract:The dynamics models of infectious diseases can be used to describe the spread characters of infectious diseases, predict the status of the infection and evaluate the efficacy of control strategies, which are useful tools in diseases control decision making. A brief introduction to the basic dynamics model SIR was made。Discusses the development of SIR models process and the trend ,and by using SIR model to simulate the propagation of SARS.Key words: epidemic; dynamic model; SIR model目录1、绪论11.1 流行病对社会的影响11.2流行病模型的研究概况22、SIR流行病模型的建立42.1 SIR流行病模型的简介42.2 SIR流行病模型的建立43、不同条件下的SIR流行病模型103.1具有年龄结构的SIR流行病模型103.2具有人口流动的SIR流行病模型134、SARS的SIR模型204.1 SARS问题的重述与分析204.2 模型假设204.3 模型的建立214.4 模型的求解及仿真224.4.1 模型参数的确定224.4.2 模型求解244.4.3 仿真结果结论25致谢27主要参考文献27附录27外文资料翻译及原文35601、绪论1.1流行病对社会的影响疾病历来是人类健康的大敌，基本上每一个时代，每一个国家，都会受到疾病的侵蚀，从而对人类的发展产生重大的影响。公元二世纪，瘟疫在罗马帝国的流行，引起了人口的急剧下降和经济恶化，加速了外族的入侵，导致了罗马帝国的崩溃。公元六世纪，鼠疫首次大流行发生于于埃及的西奈半岛，波及到欧洲所有国家，死亡近二千五百万人；第二次发生于十四世纪，起源于美索不达米亚，仅欧洲就死亡二千五百万人，即历史上著名的黑死病；第三次发生于十九世纪末至二十世纪初，死亡一千二百万人。公元十六世纪到十八世纪，每年死于天花的人数，欧洲约为50万人，亚洲约为80万人，而整个18世纪欧洲人死于天花的总数，则约在1.5亿人以上。18世纪，天花到达世界上最后一个尚未被它蹂躏的澳大利亚，杀死了50的澳洲原住民。19世纪至20世纪初，天花依然横行无忌；这种状况一直持续到20世纪下半叶。自1817年以来，霍乱至少爆发过10次之多，影响遍布世界各地，直至今日，海地等地区依然遭受着霍乱的侵蚀，截至2012年1月，已造成7000人死亡，52万人感染，平均每天新增200名患者。可见，传染病的流行给人类生存和国计民生带来巨大的灾难。随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是一些新的、不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。 传染病和新出现的疫病严重危害人类健康与社会经济发展。对传染病发病机 理、传播规律和防治策略研究的重要性日益突出。目前，对传染病的研究方法主要有描述性研究、分析性研究、实验性研究和理论性研究。不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播模型机理建立几种模型。传染病动力学是对传染病的流行规律进行理论性定量研究的一种重要方法.它是根据种群生长的特性,疾病发生和在种群内传播的规律以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性、定量分析和数值模拟,来显示疾病的发展过程,揭示其流行规律,预测其变化发展趋势,分析疾病流行的原因和关键因素,寻求对其预防和控制的最优策略,为人们防治决策提供理论基础和数量依据.与传统的生物统计学方法相比,动力学方法能更好的从疾病的传播机理方面来反映流行规律,能使人们了解流行过程中的一些全局性态。传染病动力学与生物统计学以及计算机仿真的相互结合、相辅相成,能使人们对疾病流行规律的认识更加深入、全面,能使所建立的理论与防治策略更加可靠和符合实际。1.2流行病模型的研究概况流行病模型的研究及发展的时间并不算很长。虽然早在1760年，DBernoulli就曾用数学方法研究过天花的传播，但确切的说传染病模型的研究应该说是始于20世纪。1906年，Hamer为了理解麻疹的反复流行，构造并分析了一个离散时间模型。1911年，公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群间传播的动态行为进行了研究。1926年，Kermack和McKendrick为了研究16651666年黑死病在伦敦的流行规律以及1906年瘟疫在孟买的流行规律，构造了著名的SIR（Susceptible-Infective-Recovered）仓室模型之后，又在1932年提出了SIR（Susceptible-Infective-Susceptible）仓室模型，并在分析所建立模型的基础上，提出了区分疾病流行与否的“阈值理论”，为传染病动力学的研究奠定了基础。近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题。从传染病的传播机理看，这些模型涉及接触传播、垂直传播、虫媒传播等不同感染方式，是否考虑疾病的潜伏期，对病人的隔离，因病或因接种而获得的免疫力以及免疫力的逐渐丧失，是否可以忽略因病死亡率、种群自身的增长规律等因素。对模型的理论研究主要集中在疾病的持续生存，平衡位置特别是导致地方病平衡点的平衡位置和周期解的存在性和稳定性，再生数以及分歧点的寻找等动力学性态。早期的传染病模型大多假设种群为常数或者渐近常数，在某些条件下是合理的。但在实际问题中，不论动物还是植物的数量总是随着外界的扰动而波动，因此需要研究总人口具有种群动力学的流行病模型。常见的种群动力学行为是对易感者仓室的常数输入，种群的指数增长，Logistic型增长等。关于传染病模型研究目前已取得许多成果，研究有各种类型，所用方法有构造Liapunov函数法，极限方程理论，矩阵理论，分支理论，K序单调系统理论，中心流形理论等。2、SIR流行病模型的建立2.1 SIR流行病模型的简介大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统。SIR仓室模型就是针对这一类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：易感者（Susceptible）类，染病者（Infective）类，移出者（Recovered）类。SIR模型是比较简单粗糙的模型，这个模型得到了历史上发生过的大规模的传染病，如上个世纪初在印度孟买发生的瘟疫数据的有力支持。后来很多研究人员对SIR模型做了推广。2.2 SIR流行病模型的建立所谓仓室模型就是针对某类传染病将该地区的人群分成以下三类（即三个仓室）：易感者（susceptible）类：记为S(t),表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数.染病者（infective）类：其数量记为I(t),表示t时刻已被感染成病人而且具有传染力的人数.移出者（Recovered）类：其数量记为R(t),表示t时刻已从染病者类移出的人数.设总人口为,则有.K-M的SIR模型是一个十分简单粗糙的模型.它的建立基于以下三个基本假设：（1）不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素.这意味着考虑一个封闭环境而且假定疾病随时间的变化要比出生、死亡随时间变化显著得多,从而后者可以忽略不计.这样,此环境的总人口始终保持为一个常数,即,或（2）一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力，这里假设时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数成正比,比例系数为，从而在时刻单位时间内被所有病人传染的人数（即新病人数）为。（3）时刻，单位时间内从染病者类移出的人数与病人数量成正比，比例系数为,从而单位时间内移出者的数量为。显然,是单位时间内移出者在病人中所占的比例，称为移出率系数，当不致混淆时也简称为移出率.当移出者中仅包括康复者时，移出率系数又称为恢复率系数或简称为恢复率。在以上三个基本假设下,易感者从患病到移出的过程可用下述框图描述。对每一个仓室的人口变化率建立平衡方程式,便得到以下模型： (2.2.1)下面,我们通过对模型（2.2.1）的分析和解的渐近性态研究来初步显示动力学模型对认识传染病流行规律所起的作用。将（2.2.1）中三个方程两端分别相加，得，从而（常数）由于（2.2.1）中前两个方程中不含,故实际上我们只需先讨论前两个方程： （2.2.2）由于,单调递减且有下界（为0）,故极限存在.由（2.2.2）有 , . (2.2.3)可见，当时,达到极大值。从而不难在相平面上画出系统（2.2.2）的轨线分布图，如图2.1所示.方程（2.2.3）的所有平衡点都在轴上，而且为系统（2.2.2）的一条奇线。由图2.1可见,当初始时刻易感者数量时,随着时间增长,染病者数将先增加达到最大值，然后再逐渐减少而最终消亡。这一现象表明,只要,即,疾病就会流行。 I 0 S 图2.1令 , (2.2.4)则当时,疾病流行;当时，疾病不会流行，染病者数量将单调下降而趋向于零.是区分疾病流行与否的阈值。应当指出，（2.2.4）中的表示平均移出时间，也就是平均患病期。事实上，由移出率系数的定义可见，若病人数量为，则单位时间内移出者的数目为，故经过时间,病人全部移出。要防止疾病流行，必须减少使它小于，有表达式（2.2.4）可知，这可以通过加强治疗以缩短染病期或采取杀菌等措施以减少疾病的传染力，或通过隔离措施以减少与患病者可能接触的人数即这里的易感者数来实现。更为有效的方法是通过疫苗接种以使易感者成为免疫者而直接进入移出者类,从而减少初始时刻易感者数量。设人群中通过接种疫苗成功的比例为,则就变成了,从而变小为.要求,即要求 . (2.2.5)由（2.2.5）式可知，越大,为防止疾病流行所需要接种的人口比例就越高。由此可见,对值的估计是十分重要的。由（2.2.4）式可见,要估计的值，难点在于估计，因为不仅取决于疾病的种类，而且还依赖于人群所处的社会环境和病人的活动情况。下面介绍一种对的近似估计法。求解方程（2.2.3）,它通过初值的解为 , （2.2.6）由于当时，,，代入(1.1.6)式并注意到，得 （2.2.7）用数学分析的方法容易验证方程（2.2.7）有且仅有惟一的正实根。并可解得 （2.2.8）与是可以测定的,例如可以通过血清检查测定。从而可根据（2.2.8）式确定的值，然后由来确定。在测得平均患病期后,也可由（2.2.8）式估算出。3、考虑不同条件的SIR流行病模型3.1具有年龄结构的SIR流行病模型2009是不寻常的一年，这是因为在夏季流感症状患者数量激增，原因在于新型流感H1N1的爆发，以及民众的恐慌。对于在校生这个群体而言，流感病案例显著增加。通常流感在学校环境中传播速率高，但是H1N1的恐慌在2009年夏季是导致流感患者激增的关键因素。H1N1的患者具有明显的年龄结构，流感症状患者在5-24岁之间是占主导地位的，这是新型流感的一个显著特点。传播看起来在不同的年龄组间是同比例的，尽管有许多报告的案例发生在5-24岁年龄组。这一年在0-4岁之间被报告的案例几乎和25-64岁间被报告的案例的数量是一样的，这可以理解为父母群体和婴儿群体紧密相关。最后这些被报告的案例对于65岁以上的人在这一年中显示的是不变的。为建立一种流感的动态模型，一种间隔的易受感染的、传染的、康复的模型（SIR模型）经常被采用。人群可以进一步被分为4组，相应分为4个年龄组：0-4岁、5-24岁、25-64岁以及65岁年龄阶段的人群。给每个年龄阶段三个公式，分别对应SIR模型中的易受感染的（S）、传染的（I）、康复的（R）。除此之外，四组公式将因四个不同的年龄组而存在。就眼前来看，刚出生的和死亡的人群将被忽略。总而言之，离散的SIR模型对于不变的人群来说用一下不同的公式来建立模型是足够的。 (3.1.1) 意味着变化通过一些传染速率Beta对于易受感染的人和传染的人是成比例的。是依赖于时间的或者它自己与其他的因素成比例的。为简便起见，我们假定是常数。受感染的人数将被移动到受感染组。n是时间，单位是天数。 (3.1.2)再次，传染速率Beta是时间的函数，受学期和季节的影响。除此而外，从感染的人群中康复的人的数量将被移动到康复组，速率是。 (3.1.3)本着简便的目的，我们认为这是康复人群的数量（包含在案例中受免疫的人）。我们假定那些受感染的人不能再次受到感染。这是很明显的因为这个公式只含有一项。 (3.1.4)在这个模型中，假定人群封闭。对于年龄结构常微分模，同样的公式组将被应用。例如，让我们考虑(3.1.5)的年龄结构模型： (3.1.5)同样的规则用于(3.1.6)、(3.1.7)、(3.1.8)，除了它们对传播和康复可能拥有不同的数量： (3.1.6) (3.1.7) (3.1.8)总而言之，这个模型对于易受感染的、被感染的和康复的将拥有一些原始的数据。可以进行一次仿真来决定在n次循环之后对人群将发生怎么样的事情。这个模型考虑到诸如此类的因素，比如在不同年龄组间的传播、在孩子中或者老年人中有流感的案例也被使用到。为简便起见、系数再次假定为常数，但是事实上会随着工作日、学期、假期和其他许多情况而变化。不幸的是，这是一个非线性模型并且解决方法甚至是不存在的。但是数值模拟仍然是很有用处的。显然，SIR模型的连续形式对于以下形式有解决方法：当时间t趋于无穷，其中是流感的基本增值比率定义，它等于。3.2具有人口流动的SIR流行病模型传染病是当今世界人类面临的重大问题之一，尤其是随着交通的进步，传染病入侵人类的概率明显增强。在2003年的几个月内，SARS就借助交通工具传播到30多个国家和地区，近万人受感染。除此之外，还有其他的传染病，如禽流感、霍乱等也不断攻击着人类，特别是近几年流行的甲型H1N1流感。以下忽略传染病在路途中的传播，采用Cook给出的第3种出生函数，简历如下两个斑块的SIR模型： (3.2.1)其中：对分别表示第斑块易感者、染病者、恢复者的数量；具有永久免疫；，分别表示第斑块人口出生率和死亡率；表示第斑块上的传染率；是第斑块人口恢复率；，表示斑块间的人口流动率。，是非负常数。系统(3.2.1)有无病平衡点，其中：，由再生矩阵可知其中：，本文将主要研究无病平衡点的全局稳定性、正平衡点的局部稳定性和传染病的持续问题。主要结果:首先讨论系统(3.2.1)无病平衡点的全局稳定性。定理3.1 若，则系统(3.2.1)的无病平衡点全局稳定。证明 系统(3.2.1)中前4个方程中不含，故只考虑前4个方程所构成的系统 (3.2.2)系统（2.1）的Jacobi矩阵为计算可得，特征值的实部均负，所以局部渐近稳定。设为系统(3.2.2)的任一非负解，则建立辅助系统 (3.2.3)是平衡点，易证它是全局稳定的。故当时，有由可知，当时，。因此，全局稳定。现在分析人口流动对传染病传播的影响。首先考虑两个斑块孤立时，系统（1.1）分成了两个子系统： (3.2.4) (3.2.5)显然，系统(3.2.4)和(3.2.5)的无病平衡点分别是，；基本再生数分别为，。令，则，。易证：若时，则全局稳定；若时，则全局稳定。下面考虑人口在两个斑块间流动的情形。定理3.2 当，时，则疾病在系统(3.2.1)的一个斑块中流行，在另外一个斑块中消失；或者疾病在系统(3.2.1)的两个斑块中都消失。证明 先证 (3.2.6)不成立。事实上，如果式(3.2.6)成立，则有 (3.2.7)令式(3.2.1)中第2个不等式左边为，则有 这显然矛盾。所以，当，时，有如下3种情形成立：， (3.2.8)， (3.2.9)， (3.2.10)不失一般性，这里只考虑式(3.2.8)成立。由式(3.2.8)的第2个不等式可知，。当充分小时，故当时，。因此，疾病在第2个斑块上消失。设令，由式(3.2.8)的第1个不等式可知。当时，有。选取，使得。取，使得，则现证明不成立（当t充分大）。在，时，有，即。矛盾。假设是下列系统的解则存在，使得，。设。事实上，如果，则定理结论成立。反之，存在，使得。且，。显然，当时。由比较定理，。由，的任意性可知，当t充分大时，。故疾病在第1斑块持续。同理可证，式(3.2.9)成立时，疾病在第1斑块消失，在第2斑块中流行；式(3.2.10)成立时，疾病在两个斑块中消失。根据定理3.2的证明可以得到如下推论：推论3.1 若则疾病在系统(3.2.1)两个斑块中流行。当时，系统(3.2.1)存在正平衡点，其中：；;.定理3.4 若，则系统(3.2.1)正平衡点局部渐近稳定。证明 系统(3.2.1)的Jacobi矩阵为由圆盘定理可知，特征根的实部均负。根据稳定性理论可知局部渐近稳定。4、SARS的SIR模型4.1 SARS问题的重述与分析2003 年上半年，SARS 开始大面积的在中国大陆传播。SARS 的爆发和蔓延给我们的国家、社会和人们的生活带来了巨大的影响。SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21 世纪第一个在世界范围内传播的传染病。通过研究我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。 医学科学的发展已经能够有效的预防和控制许多传染病，但是对于一些新出现的传染病的研究，由于人们不可能通过去做传染病传播的试验以获取数据，所有有关传染病的数据，资料只能从医疗卫生部门已有的传染病报告中获取。但是由于得到的资料也是不完全和不充分的，难以根据这些数据来准确的确定某些参数，只能大概估计其范围。基于上述原因，依据机理分析的方法建立数学模型和计算机仿真便成为研究传染病流行过程的有效途径之一。4.2 模型假设1.世界卫生组织提供的SARS疫情统计数据资料真实可信。2.将SARS所有可能的传播途径都视为与病源的直接接触。3.在SARS传播期内所考察的地区的总人数N视为常数，即认为本地区流入的人口与流入的人口数相等，时间以天为计量单位。4.根据医学调查资料显示，SARS康复者尚未复发情况，因为对于一个SARS康复者，他势必会更注重自己的个人卫生习惯并主动远离SARS传染源;从社会心理学的角度来看，其身边的人会主动远离他。因此，可以假设一个SARS康复者二度感染SARS的概率为0，这些人既不是健康者，也不是病人，他们已经退出传染系统。5.不考虑这段时间内的人口出生率和自然死亡率。4.3 模型的建立这个模型近似于经典的S-I-R模型。S(susceptible)是易感人群，I(Infected)是感染人群，R(Recovered)是已经康复的人群。感染人群有一定几率传染易感人群，使其转变成为感染人群。而感染人群也可能得到治愈成为已康复的人群。感染的强度和恢复天数的长短可以由参数控制。总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为。日接触率；L确诊病人治愈率；D确诊病人死亡率；病人、健康人和移出者比例之和为： 根据以上假设，经分析得到如下的SARS传播微分方程:4.4模型的求解及仿真鉴于每个地区的情况(医疗卫生水平，经济发展情况，人口密度等)不同，所以对于模型中各参数不能用同一个参数值来分析，而应该各个城市分别对待。在这里，我们应用香港疫情统计数据对模型进行仿真。选取2003年4月10日到2003年6月18日的数据进行计算，设定4月10日为时间零点，则4月11日为第一天，依次类推。4.4.1模型参数的确定(1) L确诊病人治愈率:L的值主要取决于治疗手段和医疗设施等因素，其计算公式为: L= 应用香港地区疫情统计数据，对L的变化趋势进行考察，实际计算结果和其拟合结果如图4.1所示。(2) D确诊病人死亡率D的值与L的值一样，主要也是取决于医疗手段和医疗设施等因素，其计算公式为: L= 应用香港地区疫情统计数据，对D的变化趋势进行考察，实际计算结果和其拟合结果如图4.2所示。确诊病人的治愈率 SARS传播的时间（天）图 4.1 确诊病人的治愈率（平滑曲线为拟合曲线）确诊病人的死亡率 SARS传播的时间（天）图 4.2 确诊病人的死亡率（平滑曲线为拟合曲线）4.4.2 模型求解根据真实数据可以解得L0.045，D0.008，经过调试，用matlab求解,输出的简明计算结果列入表1。可以看出,I(t)由初值增长至约t=4时达到最大值,然后减少,t,I0,S(t)则单调减少,t,S0.0143,R(t) 单调增加t,R0.9857表1tI(t)S(t)R(t)10.50190.37580.122320.51130.33960.149130.51720.30640.176440.51990.27620.203950.51960.2480.2315100.48440.15000.3655150.41910.09540.4856200.34790.06500.5872250.28210.04750.6705300.22560.03680.7375350.17900.03010.7909450.11090.02270.8664550.06810.01900.9129650.04150.01710.94144.4.3 仿真结果 数值解与实际数据的相对误差如图4.4和图4.5所示。从比较结果可知，我们建立的微分方程模型可以很好的模拟SARS传播发展的趋势，是符合实际情况的。SARS传播的时间（天）模型仿真结果 图 4.4 模型仿真结果（实线）与实际数据（圆点）的比较（I）SARS传播的时间（天）图 4.5 模型仿真结果（实线）与实际数据（圆点）的比较（R）结论在本论文中，首先概述SIR流行病模型的历史背景和作用，介绍SIR流行病模型的基本构成，并介绍了两种考虑不同条件的SIR模型，最后使用SIR模型对SARS进行建模。这里采用了数值计算,图形观察与理论分析相结合的方法,进行数值验证和估算,可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。比较全面地达到了建模的目的,描述传播过程、分析感染人数的变化规律。虽然完成建模的目的，但是由于考虑的条件较少，仿真结果仍和实际有着一定的差距。致谢首先要感谢我的毕设指导老师孙冠颖老师。孙老师多次询问研究进程，敦促我完成毕业设计，并为我指点迷津，帮助我开拓思路。此次毕设从选题到框架的建立再到最终完稿无不倾注着恩师的心血。孙老师一丝不苟的作风、严谨的治学态度、勤奋的工作精神将永远是我学习的榜样。在此谨致以由衷的感谢！其次，感谢在论文的写作过程中对我给予了帮助的其他老师和同学。同时，我还要感谢那些在这大学四年的生活中给过我关心和帮助的老师、同学和朋友们，你们对我的帮助和教导我永远不会忘记。主要参考文献1Agur Z,Cojocaur L,Mazor G,et al. 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SARS传染扩散的动力学随机模型J.科学通报,2003,48(13)1373-1377附录Matlab代码function y=ill(t,x)a=0.2;b=0.045;c=0.008;y=a*x(1)*x(2)-(b+c)*x(1),-a*x(1)*x(2),(b+c)*x(1);ts=0:69;x0=0.489,0.415,0.096;t,x=ode45(ill,ts,x0);z=x*1755p=814,858,858,885,914,933,950,960,914,900,886,872,874,831,812,781,774,741,709,663,641,604,563,544,532,520,495,466,445,442,427,413,399,374,343,309,297,276,263,250,236,227,217,209,196,189,183,174,165,157,158,151,148,145,138,126,121,114,109,105,100,96,96,87,82,79,77,74,73,67q=184,201,250,263,276,299,318,337,444,473,502,530,560,627,676,729,753,801,848,909,948,996,1048,1077,1097,1117,1151,1188,1216,1225,1247,1266,1284,1315,1355,1394,1409,1434,1449,1464,1482,1492,1505,1515,1528,1536,1543,1554,1565,1575,1578,1588,1595,1601,1609,1622,1627,1636,1642,1647,1653,1658,1658,1668,1673,1676,1678,1681,1682,1688figure(1)plot(t,z(:,1),t,p,.)figure(2)plot(t,z(:,3),t,q,.)ts=0:69;x0=0.489,0.415,0.096;t,x=ode45(ill,ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3)x=0:1:69;y=0.017482517,0.053613054,0.007909605,0.007658643,0.015005359,0.014736842,0.015625,0.099562363,0.027777778,0.027088036,0.027522936,0.028604119,0.073405535,0.055418719,0.060179257,0.023255814,0.052631579,0.055007052,0.073906486,0.049921997,0.071192053,0.078152753,0.036764706,0.030075188,0.030769231,0.056565657,0.055793991,0.053932584,0.015837104,0.046838407,0.03874092,0.037593985,0.064171123,0.110787172,0.103559871,0.037037037,0.072463768,0.041825095,0.044,0.06779661,0.035242291,0.046082949,0.038277512,0.056122449,0.026455026,0.027322404,0.051724138,0.060606061,0.044585987,0.012658228,0.039735099,0.033783784,0.027586207,0.050724638,0.103174603,0.033057851,0.061403509,0.04587156,0.047619048,0.05,0.03125,0,0.103448276,0.036585366,0.025316456,0.025974026,0.027027027,0.01369863,0.089552239,0.047619048;plot(x,y)p=polyfit(x,y,9);f = polyval(p,x);plot(x,f,x,y)香港SARS疫情表日期累计患病人数（人）死亡人数（人）治愈人数（人）2003-4-10998301542003-4-111059321692003-4-121108352152003-4-131148412222003-4-141190472292003-4-151232562432003-4-161268612572003-4-171297652722003-4-181358813632003-4-191373853882003-4-201388904122003-4-211402944362003-4-221434994612003-4-2314581055222003-4-2414881095672003-4-2515101156142003-4-2615271216322003-4-2715421306712003-4-2815571387102003-4-2915721507592003-4-3015891577912003-5-116001628342003-5-216111708782003-5-316211798982003-5-416291839142003-5-516371879302003-5-616461939582003-5-716542049842003-5-8166120810082003-5-9166721010152003-5-10167421210352003-5-11167921510512003-5-12168321810662003-5-13168922510902003-5-14169822711282003-5-15170323411602003-5-16170623811712003-5-17171024311912003-5-18171224712022003-5-19171425112132003-5-20171825312292003-5-21171925512372003-5-22172225812472003-5-23172426012552003-5-24172426212662003-5-25172526512712003-5-26172626712762003-5-27172826912852003-5-28173027012952003-5-29173227313022003-5-30173627413042003-5-31173927813102003-6-1174328013152003-6-2174628213192003-6-3174728313262003-6-4174828313392003-6-5174828413432003-6-6175028613502003-6-7175128713552003-6-8175228713602003-6-9175328813652003-6-10175429013682003-6-11175429013682003-6-12175529113772003-6-13175529313802003-6-14175529413822003-6-15175529413842003-6-16175529513862003-6-17175529513872003-6-1817552951393外文资料翻译及原文寿命有限的Lotka-Mckendrick方程的近似求解摘要：我们考虑线性Lotka-Mckendrick方程，并详细讨论当死亡率无界时，如何解决通常的有限差分法的崩溃问题。通常的误差界需要一些死亡率在所有年龄的导数是有界的。我们的方法适用于模型类的死亡率，我们表明，并不是所有的方法都适用于任何死亡率函数。2001爱思唯尔科技有限公司版权所有。关键词：年龄结构;数值方法1.简介在过去15年中，许多确定性、微分、年龄结构人口模型的近似解的数值方法已在文献中被提出1-7,9-20。然而,很少有人注意到这种情况：当种群的所有个体有一个有限的寿命。实际上，考虑有限寿命导致更多的问题。事实上，所有收敛性的证明需要一些死亡率的导数是有界的这个条件不符合有的年龄生存概率为0。在本文中，我们考虑Lotka-McKendrick方程（见例8），并详细讨论如何证明不要求所有年龄段死亡率有界时有限差分方法的收敛。在下一节中，我们提出模型并给出的死亡率的“”的主要假设。在第3节中，我们讨论了一些模型的例子，说明它是如何处理与有限寿命有关的问题。最后，在第4节中，我们给出了一些数值模拟的结果，并在第5节中，我们总结了我们的研究结果。2问题及模型的死亡