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第一章 信号的分类与描述1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|cn|和n图，并与表1-1对比。 解答：在一个周期的表达式为.积分区间取（-T/2，T/2）图1-4 周期方波信号波形图0tx(t)A-A所以复指数函数形式的傅里叶级数为，。没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。|cn|n/2-/200305030502A/2A/32A/5幅频图相频图周期方波复指数函数形式频谱图2A/52A/32A/-0-30-50-0-30-501-2 求正弦信号的绝对均值和均方根值。解答：1-3 求指数函数的频谱。解答：单边指数衰减信号频谱图f|X(f)|A/a0(f)f0/2-/21-4 求符号函数(见图1-25a)和单位阶跃函数(见图1-25b)的频谱。tsgn(t)01-1tu(t)01图1-25 题1-4图a)符号函数b)阶跃函数a)符号函数的频谱t=0处可不予定义，或规定sgn(0)=0。该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数x(t)的频谱。符号函数tx1(t)01-1符号函数频谱f(f)0/20f|X(f)|-/2b)阶跃函数频谱在跳变点t=0处函数值未定义，或规定u(0)=1/2。阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。解法1：利用符号函数结果表明，单位阶跃信号u(t)的频谱在f=0处存在一个冲激分量，这是因为u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于u(t)不是纯直流信号，在t=0处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。单位阶跃信号频谱f|U(f)|0(1/2)f(f)0/2-/2解法2：利用冲激函数根据傅里叶变换的积分特性1-5 求被截断的余弦函数(见图1-26)的傅里叶变换。图1-26 被截断的余弦函数ttT-TT-Tx(t)w(t)1001-1解：w(t)为矩形脉冲信号所以根据频移特性和叠加性得：可见被截断余弦函数的频谱等于将矩形脉冲的频谱一分为二，各向左右移动f0，同时谱线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。fX(f)Tf0-f0被截断的余弦函数频谱1-6 求指数衰减信号的频谱指数衰减信号x(t)解答： 所以单边指数衰减信号的频谱密度函数为根据频移特性和叠加性得：00X()-()指数衰减信号的频谱图1-7 设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡。在这个关系中，函数f(t)叫做调制信号，余弦振荡叫做载波。试求调幅信号的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若时将会出现什么情况？图1-27 题1-7图F()0f(t)0t-mm解：所以根据频移特性和叠加性得：可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频0，同时谱线高度减小一半。fX(f)0-0矩形调幅信号频谱若将发生混叠。1-8