函数奇偶性的进一步学习.doc

函数奇偶性的进一步学习函数的单调性与奇偶性是函数的两个重要性质，对它们的讨论有助于我们对函数的把握，也可以帮助我们绘制图象，函数的单调性与奇偶性常常灵活地应用于一些与函数有关的综合问题中.也仍是高考考查的重点内容.1.函数的单调性与奇偶性的关系(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，且奇函数不一定是单调函数.(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，且偶函数在其定义域上不是单调函数.(3)既是奇函数又是偶函数的函数是存在的，这样的函数不是单调函数.2.函数单调性与奇偶性的应用例1奇函数（）在，上单调递减，试判断该函数在，上的单调性?并证明.解答：函数（）在，上是单调递减函数.证明：任取，且，则有，又，.，（）（）又（）是奇函数，即有（）（），（）（），则可得（）（）即（）（）函数（）在，上单调递减.评述：在判断此题结论时，可借“奇函数的图象关于原点对称”这一性质直接得到.例2设函数（）在（，）（，）上是奇函数，又（）在（，）上是减函数，并且（），指出（）在（，）上的增减性?并证明.证明：设，（，），且，则（）在(0，)上是减函数.（）（） 又（）在（，）（，）上是奇函数，（）（），（）（）由式得（）（）（）（）当时，F（）（）（）（）又（）在（，）上总小于0.（）（），（）（）又（）（）（）（）且故（）在（，）上是增函数评述：由于（）在（，)上是减函数，要判断（）在（，）上的单调性，可设，且须将（）与（）的大小关系转化到（）与（）的大小关系，这里奇偶性这一性质起到了关键的促进作用.例3若奇函数（）在区间，上的最小值是5，那么（）在区间，上( ).最小值是5 B.最小值是.最大值是D.最大值是5分析：用定义去求：可设为，上任意一个值，则，由题意（），由于（）是奇函数，所以，有（）（），则（），得（），故，为（）在，上的最大值，故选.评述：（1）由于奇函数的图象关于原点对称，故可通过作出图象也能得出答案；（2）从以上例3可以体会到从定义及图象两个方面去理解函数的奇偶性，体现了数与形的统一.请读者试探索：如果偶函数()在区间，上是增函数，且最小值是，那么（）在区间，上是( ).增函数且最小值为 B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为答案：例4定义在区间（，）上的奇函数（）为增函数，偶函数（）在，上图象与()的图象重合.设，给出下列不等式，其中成立的是( )（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）. . .分析：本题可采用三种解法：解法一：直接根据奇、偶函数的定义：由（）是奇函数得：（）（），（）（），（）（），（）（），（）（），（）（）以上四个不等式分别可简化为（）；（）；（）；（）又()是奇函数又是增函数，且，故（）（）（），从而以上不等式中、成立.故选解法二：结合函数图象由如图(右图)，分析得：（）（）（）（）（）（）（）（）从而根据所给结论，得到与是正确的.故选解法三：利用间接法，即构造满足题意的两个模型函数（），（），取特殊值，.如：，可验证正确的是与，故选.评述：（1）本题考查了函数的奇偶性和单调性等性质，还考查了图象的对称性和不等式，体现了高考突出重点知识的考查及在各知识网络交汇点上出题这一观点，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用；（2）由于选择题的特点，故本题可利用特殊值求解比较简单.例5定义在（，）上的函数（）是奇函数，并且在（，）上（）是减函数，求满足条件（）（）的取值范围.分析：考查函数的奇偶性与单调性综合性的问题需要两个重要性质熟练把握.解：()的定义域是（，） 又()是奇函数（）（）（）又（）（），有（）（）（）（）在（，）是减函数， 由组成不等式组：所求的范围为：评述：研究有关函数问题时，不考虑函数的定义域是出现错误的主要原因.例6已知函数（)是定义在区间，上的偶函数，当，时，()是减函数，如果不等式（）（）成立，求实数的取值范围.分析：此题关键是如何去掉函数符号“”，与分类讨论思想的应用.解：()在，上是减函数，在，上是增函数，故分类可得：(1)当得，故此情况不存在.(2)当得()在，上为减函数（）（）可转化为 (3)当得（）（）（）（）可转化为（）（）（）在，上是增函数 (4)当 得（）（）（）（）可转化为（）（）（）在，