组合数练习题

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 26 组合数练习题 答案 答案： D 解析： 设 A=只会划左舷的 3 人 ， B=只会划右舷的4 人 ， C=既会划左舷又会划右舷的 2 人 ，先分类：以 A 为标准划左舷的 3 人中， A 中有 3 人； A 中有 2 人， C 中有1 人； A 中有 1 人， C 中有 2 人，划右舷的在中剩下的人中选取，即可得到结论 解 ：设 A=只会划左舷的 3 人 ， B=只会划右舷的 4 人 ， C=既会划左舷又会划 右舷的 2 人 先分类：以 A 为标准划左舷的 3 人中 A 中有 3 人，划右舷的在中剩下的人中选取，有 =20种； =60种； =12 种， A 中有 2 人， C 中有 1 人，划右舷的在中剩下的人中选取 A 中有 1 人， C 中有 2 人，划右舷的在中精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 26 剩下的人中选取 所以共有 20+60+12=92 种 故选 D 2. 有 11名划船运动员 ,其中有 5人会左浆 ,4人会右浆 ,还有甲、乙两人即会左浆 ,又会右浆 ,现要派出 4 名左浆手 ,4名右浆手 ,组成划船队 ,有多少种选派方案 ? 答 案 答案： 2174 解析： 若选 3 人只会划左舷的 ,有 若选 1人只会划左舷的 ,有种 ; 若选 2人只会划左舷的 ,有种 ;若不选只会划左舷的 ,有种 ; 种 . 由加法原理可得共有 84+840+1050+200=2174 种不同的选法 . 收藏题目 4. 8 双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出 4 只。试求满足如下条件 的不同取法： 4 只鞋子恰有两双； 4 只鞋子中没有成双的； 4 只鞋子恰有一双。 题型：解答题难度：中档来源：同步题 答案 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 26 解：从 8 双鞋子中任意取出两双即可，即有 第 1 步：从 8 双鞋子中任取 4 双有 第 2 步：从取出的 4 双中各取一只有 所以共有种取法。 种取法； 种取法； 种取法； 种取法； 第 1 步：从8 双鞋子中任意取 3 双有 第 2 步：从这 3 双中任取一双，有 第 3 步：从剩下的两双中各取一只有 所以共有 种取法。 种取法； 种取法； . 在的展开式中 ,含 的系数是多少 从 分别以一个括号提供系数，其他四个括号提过 x， 则： 1+= 7 个相同的小球放在 4 个不同的盒子里面。每盒可空。不同的放法多少种 小球是相同的，所以肯定不是 4的 7 次方。 应该是 ，就是 10*9*8/3*2*1=120 你可以把本题看成三个板和 7 个小球的排列，三个把这个排列 分成 4 部分，每部分对应的就是不同的盒子，于是相当于 3 个板放在 10 个东西里面，共有 种可能 追问 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 26 不好意思。我没有看懂呢？三个板和 7 个小球的排列，这个怎么理解啊？ 回答 这是 4 个盒子啊，你把它看成 3 块板，去分小球， 3块板可以把小球分成 4 个区域啊，每个区域的小球数就是盒子里的小球数 追问 这样算的话。小盒就最少有一个小球咯哒。题目说，可以空啊。 回答 不是的，你是把板也一错误 !起排列，比如说两个板挨着，就相当于它们之间没有小球了。 又或者，你把板放在最左边，就等于第一个盒子没有小球 1. 在 边 有 5 个异于 O 点的点， 有4 个异于 O 点的点， 以这 10 个点甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面不同的安排方法共有 A 20种 B 30种 C 40种 D 60种 考点：排列、组合的实际应用 专题：分类讨论 分析：根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分 3 种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 26 案 解答：解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有 3 种分配方 法，即甲在星期一、二、三； 分 3 种情况讨论可得， 甲在星期一有 2 种安排方法， 甲在星期二有 种安排方法， 甲在星期三有 种安排方法， 总共有 12+6+2=20 种； 故选 A 6. 某人有 3 种颜色的灯泡，要在如图所示的 6 个点A、 B、 C、 各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 12 种 考点：排列、组合及简单计数问题 专题：计算题；压轴题 分析：本题需要用分步计数原理，先安排底面三个顶点，再安排上底面的三个顶点由分步计数原理可知所有的安排方法本题也可以先安排上底面的三个顶点 解答：解：先安排底面三个顶点共有 不同的安排方法， 再安排上底面的三个顶点共有 不同的安排方法 由分步计数原理可知， 共有 21=12 种不同的安排方法 故答案为： 12 7. 某人有 4种颜色的灯泡，要在如图所示的 6个点 A、精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 26 B、 C、 求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方 法共有种 A 26B 16C 240 D 216 考点：排列、组合的实际应用 专题：概率与统计 分析：由题意知分 3 步进行，为 A、 B、 C 三点选三种颜色灯泡共有 选法；在 选一个装第 4种颜色的灯泡，有 3 种情况；为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为 同色，则 点颜色；若 C 同色，则 A、 B 处两种颜色可选故为 1选灯泡共有 3 种选法，即剩下的两个灯有 3 种情况，根据计数原理得到结果 解答 ：解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分 3 步进行， 第一步， A、 B、 C 三点选三种颜色灯泡共有 选法； 第二步，在 种颜色的灯泡，有 3 种情况； 第三步，为剩下的两个灯选颜色，假设剩下的为 1，若 同色，则 点颜色； 排列与组合习题 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 26 1 6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为 A 40 B 50 C 60 D 70 解析 先分组再排列，一组 2 人一组 4 人有 5种不同的分法；两组各 3 人共有 0 种不同的分法，所以乘车方法数为 252 50，故选 B. 2有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 A 36种 B 48种 C 72种 D 96种 解析 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插 空，从而共 72种排法，故选 C. 3只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有 A 6 个 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 26 B 9 个 C 18个 D 36个 解析 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选 四个数字共有 3 选法，即 1231,1232,1233，而每种选择有 2 3 6 排法，所以 共有 36 18情况，即这样的四位数有 18 个 4男女学 生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30种不同的选法，其中女生有 A 2 人或 3 人 B 3 人或 4 人 C 3 人 D 4 人 解析 设男生有 n 人，则女生有人，由题意可得n 30，解得 n 5 或 n 6， 代入验证，可知女生为 2 人或 3 人 5某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法有 A 45种 B 36种 C 28种 D 25种 解析 因为 108 的余数为 2，故可以肯定一步一个台阶的有 6 步，一步两个台阶的有 2 步，那么共有 28精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 26 种走法 6某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有 A 24种 B 36种 C 38种 D 108种 解析 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有 2 种方法，第二步将 3 名电脑编程人员分成两组，一组 1 人另一 组 2 人，共有 后 再分到两部门去共有 第三步只需将其他 3 人分成两组，一组 1 人另一组 2人即可，由于是每个部门各 4 人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有 由分步乘法计数原理共有 236 7已知集合 A 5， B 1,2， C 1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 A 33 B 34C 35 D 36 解析 所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含 1精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 26 的有 33 12个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 1 个 1 的有 3 3 18 个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有 2 个 1 的有 3 个 故共有符合条件的点的个数为 12 18 333个，故选 A. 8由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且 1、 3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 A 72 B 9 C 108 D 144 解析 分两类：若 1 与 3 相邻，有 1372，若 1 与 3 不相邻有 36 故共有 72 36 108个 9如果在一周内安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 A 50种 B 60种 C 120种 D 210种 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 26 解析 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有 6 种：、 、，甲任选一种为 后在剩下的5 天中任选 2 天有序地安排其余两所学 校参观，安排方法有 ，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法 120种，故选 C. 10安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2日，不同的安排方法共有 _种 解析 先安排甲、乙两人在后 5 天值班，有 20排法，其余 5 人再进行排列，有 120 排法，所以共有20120 2400安排 方法 11今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有 _ 种不同的排法 解析 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有 3 1260排法 12将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有 _种 2 解析 先将 6 名志愿者分为 4 组，共有 4 组人员精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 26 分到 4 个不 若 5在十位或十万位，则 1、 3有三个位置可排， 324个 若 5 排在百位、千位或万位，则 1、 3 只有两个位置可排，共 312个 算上个位偶数字的排法，共计 3 108个 答案： C 17. 在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有 0和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 5 2 2 22 同场 馆去，共有 4 所有分配方案有： 1 080 13要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有 _种不同的种精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 26 法 解析 有 4 种种法， 1 有 3 种种法， 4 有 2 种种法若1、 3 同色， 2 有 2 种种法，若 1、 3 不同色， 2 有 1 种种法， 有 432 72种 14. 将标号为 1， 2， 3， 4， 5， 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中若每个信封放 2 张， 其中标号为 1， 2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 12种 18种种 4 种 标号 1,2的卡片放入同一封信有 种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两 18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A ?18；若有 1 人从事司机工分类讨论：若有 2 人从事司机工作，则方案有 3 个有种方法，共有种，故选 B. 15. 某单位安排 7 位员工在 10月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中 的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，丁不排精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 26 在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有 A. 04 种 解析：分两类：甲乙排 1、 2 号或 6、 7号 共有 2?方法 甲乙排中间 ,丙排 7 号或不排 7 号，共有 4方法 故共有 1008种不同的排法 16. 由 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成没有重复数字且 1、 3都不与 5 相邻的六位偶数的个数是 910814 解析：先选一个偶数字排个位，有 3 种选法 k*s*u.c o*m k*s*u.c o*m 123?3?108 种，所以共有 18+108=126 种，故 B 正确 作，则方案有 14 19. 甲组有 5 名男同学， 3 名女同学；乙组有 6 名男同学、 2 名女同学。若从甲、乙两组中各 1 1 3 24 选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 150种 180种 00种 345种 解 : 分两类 甲组中选出一名女生有 3?25 种精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 26 选法 ; 乙组中选出一名女生有 6?20 种选法 45种选法 2 1 1 112 20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班 ，则不同分法的种数为 间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 序有 甲乙被分在同一个班的有 种，所以种数是 3?30 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 A. 0 法一、从 3名女生中任取 2人 “ 捆 ” 在一起记作 A，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、 乙；则男生甲必须在 A、 B 之间此时共有 62 12种排法最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有 124 48种精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 26 不同排法。 解法二；同解法一，从 3 名女生中任取 2 人 “ 捆 ” 在一起记作 A，剩下一名女生记作 B，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况： 第一类：女生 A、 B 在两端，男生甲、乙在中间，共有6 =24 种排法； 第二类： “ 捆绑 ”A 和男生乙在两端，则中间女生 B 和男生甲只有一种排法，此时共 有 6A 2 2 12 种排法 第三类：女生 B 和男生乙在两端，同样中间 “ 捆绑 ” 此时共有 6 12种排法 三类之和为 24 12 12 48种。 22. 从 10名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 C A 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 26 解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有： 2?2，另一类是甲乙都去的选法有 2?，所以共有 42+7=49，即选 C 项。 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是 B. 析： 6 位同学站成一排， 3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 32 种，其中男生甲站两端的有 44，符合条件的排法故共有 18 解析 2：由题意有 2 2 1 1 2 2 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 26 2 2?3?88,选 B。 24. 12 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组，则 3 个强队恰 好被分在同一组的概率为 A 1155 B 355 C 4 D 13 解析因为将 12个组分成 4 个组的分法有 3种，而 3 个强队恰好被分在同一组分法有 32 ， 故 个 强 队 恰 好 被 分 在 同 一 组 的 概 率 为 55 25. 甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 26 同的站法种数是 对于 7 个台阶上每一个只站一人，则有 种；若有一个台阶有 2 人，另一个是 1 人 ，则共有此共有不同的站法种数是 336种 26. 锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为 A 891 B 2591 C 486091 D 91 因为总的滔法 5,而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按 1， 2， 1； 2， 1，1 三类，故所求概率为 12116?4?54?5?48 1591 27. 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种 分两步完成：第一步将 4 名大学生按， 2， 1， 1 分成三组，其分法有 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 26 4?1 2 第二步将分好的三组分配到 3 个乡镇，其分法有 3 五位数，所以全部合理的 五位数共有 24个。 1142?36 28. 将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的 球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 A 10种 B 20种 C 36种 D 52种 解析：将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论： 1 号盒子中放 1 个球，其余 3个放入 2 号 盒子 ，有 种方法； 1 号盒子中放 2 个球，其余2 个放入 2 号盒子，有 4?6 种方法； 则不同的放球方法有 10种，选 A 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 26 29. 将 5 名实习教师分配到高一年级的个班实习，每班至少名，最多名，则不同的分配方案有 种种种 种 解析：将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习，每班至少 1 名，最多 2 名，则将 5 名 12 教师分成三组，一组 1 人，另两组都是 2 人，有 4 15种方法，再将 3 组分到 3 个班， 2 共有 15?90种不同的分配方案，选 B. 30. 某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教 ,其中甲和乙不同 去 ,甲和丙只能同去或同不去 ,则不同的选派方案共有种 解析：某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论， 甲、丙同去，则乙不去，有 45 4 =240 种选法； 甲、丙同不去，乙去，有 选法； 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 26 甲、乙、丙都不去，有 ?405?120 种选法，共有 600种不同的选派方案 1. 用数字 0，1， 2， 3， 4 组成没有重复数字的五位数，则其中数字 1， 2相邻的偶数有个 解析：可以分情况讨论： 若末位数字为 0，则 1， 2，为一组，且可以交换位置， 3， 4， 各为 1 个数字，共可以组成 2?12 个五位数； 若末位数字为 2，则 1 与它相邻，其余 3 个数字排列，且 0 不是首位数字，则有 2?4个五 位数； 若末位数字为 4，则 1， 2， 为一组，且可以交换位置， 3， 0，各为 1 个数字，且0 不是首位数字，则有 2?=8个 32有一排 8 个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有 3 个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？ 解析 因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把 3 个点亮的二极管插放在未点亮的 5 个二极管之间及两 ?a ” 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 /