组合与组合数公式相关练习题

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 21 组合与组合数公式相关练习题 41若 6 n 的值为 A B 7 C 8D 9 解析：选 n n?n 1?n 2?n 3? 321 n 3 化简得 1， n 7. 2以下四个命题，属于组合问题的是 A从 3 个不同颜色的小球中，取出 2 个排成一列 B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C在电视节目中，主持人从 100位幸运观众中选出 2名幸运之星 D从 13 位司机中任选出两位开同一辆车从甲地到乙地 解析：选 00位幸运观众中选出 2 名幸运之星，与顺序无关，是组合问题 783若 1 n 等于 A 12B 13 C 14D 15 7787878 解析：选 1 1 n 1， 所以 n 1 7 8，即 n 14. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 21 4四面体的一个顶点为 A，从其他顶点与各棱的中点中取 3 个点，使它们和点 A 在同一平面上，不同的取法有 A 30种 B 33种 C 36种 D 39种 解析：选 一类：与 A 在同一侧面，如 C、 D、E、 F、 G 有 个侧面有 3二类：与 A 在同一棱和相对棱的中点， 如 E、 D、 H 有 1 种取法，三条棱有 3 种取法，共有 33种不同的取法 5组合数 r 1r 1 11B 1 n 1 n 1 1C n 11 r 1r 1r 1 解析：选 n 11 ?n 1?n 2?n r 1?r?r 1?r， ?r 1?！ n?n 1?n ?n 1?n 2?n r 1?r?n 1?r 1?r 1B 中n 1方程 _ 析： 7 1 6 2x 2，即 x 1. 答案： x 1 56127已知 等差数列，则 值为_ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 21 56解析：由已知得 2 n！ n！ n！ 5！ ?n 5?！ 4！ ?n 4?！ 6！ ?n 6?！ 整理得 21n 98 0， 解得 n 7 或 n 14. 12要求 故 n12 ， n 14， 14132 C 91. 141421 答案： 91 8三名医生，六名护士，每名医生带两名护士，去三个学校为学生体检，有 _种分配方案 21212 解析：有 540 答案： 540 3 C 9已知 3，求 3 5119解：原方程可变形为 13 143即 3 ?n 1?n 2?n 3?n 4?n 5?即！ 14?n 3?n 4?n 5?， 3！ 化简整理得 3n 54 0. 解此二次方程得 n 9 或 n 6 n 9. 110证明： k nn 1； 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 21 m 1m 1C. n mn n！证明： k k ?n k?！ ?n 1?！ 1 n n 1. ?k 1?！ ?n 1? ?k 1?！ m 1m 1m 1n！ Cn n m?m 1?！ ?n m 1?！ n！ m！ ?n m?！ 高考水平训练 1有 6 名男医生、 5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有 A 60种 B 70种 C 75种 D 150种 1 解析：选 2 名男医生、 1 名女医生的方法有 75 22对所有满足 1mn5 的自然数 m、 n，方程 1 所表示 的不同椭圆的个数为 _ 1121231234 解析： 1mn5 ， 3， 10个其 21314232 以 x 1 能表示的不同椭圆有 6 个 答案： 6 3现有 10名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名 现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 21 选出 2名男教师或 2名女教师去外地学习的选法有多少种？ 现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解：从 10名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10个不同元素中取出 2 个元素的组合数， 109 即 45， 10 21 即共有 45种不同的选法 可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师：有 法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师：有 2 根据分类加法计数原理，共有 15 6 21种不同选法 2 从 6 名男教师中选 2 名的选法有 ，从 4 名女教师中选 2 名的选法有 据 65432 分步乘法计数原理，共有选法 90 42121 x?x 1?x m 1?定 其中 xR ， 1，这是组合数 的一种推广 求 15的值； m 组合数的两个性质： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 21 1m 1是否都能推广到 能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，则说明理由 ? 15? 16? 17? 18? 19?5解： C 15 5！ 5 1128. 1 C 1 1 性质 不能推广，例如当 C 性质 能推广，它的推广形式是 xR ， m 为正整数 证明：当 m 1 时， 01 有 x 1 1. 当 m2 时， x?x 1?x m 1?m 1 x x?x 1?x 2?x m 2?m 1?！ x?x 1?x m 2?x m 1 1) m?m 1?！ ?x 1?x?x 1?x m 2?m 1. m！ 综上，性质 的推广得证 有意义，但 m 11， 排列组合公式 排列 组合 C 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 21 排列分顺序 ,组合不分 例如 把 5 本不同的书分给 3 个人 ,有几种分法 .” 排列 ” 把 5 本书分给 3 个人 ,有几种分法 “ 组合 ” 1排列及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m 个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 p 表示 . p=n= n!/!. 2组合及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 c 表示 . c=p/m!=n!/!*m!)； c=c; 3其他排列与组合公式 从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数p/r=n!/r!. n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是 n1,.n 个元素的全排列数为 n!/. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 21 每类的个数无限 ,从中取出 c. 排列 n. ； n！ /！； n！； 0！ =1； n 组合 n！ /m！； 1 ； n；式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列。公式C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行排列。 R 参与选择的元素个数 ！ ，如！9*8*7*6*5*4*3*2*1 从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n* 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表 “ 三国联盟 ” ，可以组合成多少个 “ 三国联盟 ” ？ 13 组合和 312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于 “ 组合 C” 计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 C=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题分析 例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组每名学生都只参加一个课外小 组；每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 21 解由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法 由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法 点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法 原理进行计算 例排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？ 解依题 意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共 3 类，每一类中不同排法可采用画 “ 树图 ” 的方式逐一排出： 符合题意的不同排法共有 9 种 点评按照分 “ 类 ” 的思路，本题应用了加法原理为把握不同排法的规律， “ 树图 ” 是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型 例 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果 高三年级学生会有 11人： 每两人互通一封信，共通了多少封信？ 每两人互握了一次手，共握了多少次手？ 高二年级数学课外小组 共 10人： 从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？ 从中选 2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 21 有 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19八个质数： 从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？ 从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ 有 8 盆花： 从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？ 从中选出 2盆放在教室有多少种不同的选法？分析 由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列； 由于每两人互握一次手，甲与 乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题其他类似分析 是排列问题，共用了 封信； 是组合问题，共需握手 是排列问题，共有 不同的选法； 是组合问题，共有 种不同的选法 是排列问题，共有 种不同的商； 是组合问题，共有 种不同的积 是排列问题，共有 种不同的选法； 是组合问题，共有 种不同的选法 例 证明 证明 左式 右式 等式成立 点评 这是 一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 21 的形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化 例化简 解法一 原式 解法二 原式 点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化例解方程： ； 解 原方程 解得 原方程可变为 ， ， 原方程可化为 即 ，解得 第六章 排列组合、二项式定理 一、考纲要求 能用这两个原理分析解决一些简单的问题 . 合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题 . 能用它们计算和论证一些简单问题 . 二、知识结构 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 21 三、知识点、能力点提示 加法原理乘法原理 说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据 . 例 1 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种 ? 解： 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有 33333=35 排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择 题或填空题考查 . 例 由数字 1、 2、 3、 4、 5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000的 偶数共有 解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有于 50 000 的五位数，万位只能是 1、 3 或 2、 4 中剩下的一个的排法有 首末两位数排定后，中间 3 个位数精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 21 的排法有 36 由此可知此题应选 C. 例 将数字 1、 2、 3、 4 填入标号为 1、 2、 3、 4 的四个方格里，每格填一个数 字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种 ? 解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 3 种，即 214， 3142， 4123；同样将数字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填法；将数字 1填入第 4 方格，也对应 3 种填法，因此共有填法为 3. 例四 例五可能有问题，等思考 三 )组合、组合数公式、组合数的两个性质 说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查 . 例 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台，则不同的取法共有 解： 抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 25 种；甲型 2 台乙型 1 台的取法有 15 种 根据加法原理可得总的取法有 25+15=40+30=70 可知此题应选 C. 例 甲、乙、丙、丁四 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 21 个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项，丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式 ? 解： 甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2项工程的方式有 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程 排列与组合 排列 学习目标 正确理解排列的意义。能利用树形图写出简单问题的所有排列； 了解排列和排列数的意义， 能根据具体的问题，写出符合要求的排列； 掌握排列数公式，并能根据具体的问题，写出符合要求的排列数； 会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力； 通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 21 题的能力和严谨的学习态度。 例题分析 例 1、用 0 到 9 这十个数字可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析： 这一问题的限制条件是： 没有重复数字； 数字“0” 不能排 在千位数上； 个位数字只能是 0、 2、 4、 6、 8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是 “0”的四位偶数，个位数是 2、 4、 6、 8 的四位偶数由此解法一与二 如果从千位数入手四位偶数可分为：千位数是 1、 3、5、 7、 9 和千位数是 2、 4、 6、 8 两类，由此得解法三 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四 解法 1：当个位数上排 “0” 时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选 3 个来排列，故有个当个位上在 “2 、 4、 6、 8” 中任选一个来排，则千位上从余下的八个 非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 21 没有重复数字的四位偶数有 个 解法 2： 当个位数上排 “0” 时，同解一有 个；当个位数上排2、 4、 6、 8 中之一时，千位，百位，十位上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列数中减去千位数是 “0 ” 排列数得： 个 没有重复数字的四位偶数有 个 解法 3： 千位数上从 1、 3、 5、 7、 9 中任选一个，个位数上从0、 2、 4、 6、 8 中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 个 干位上从 2、 4、 6、 8 中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个，百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 没有重复数字的四位偶数有个 个 解法 4： 将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数 没有重复数字的四位数有 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 21 其中四位奇数 有 没有重复数字的四位偶数有 个 说明； 个 这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用 例 2、三个女生和五个男生排成一排 如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ 如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ 如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ 如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 解： 因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 个女生之间又都有 种不同排法对于其中的每一种排法，三 种不同的排法 对种不同的排法，因此共有 要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档这样共有 4 个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 21 能保证任意两个女生都不相邻由于五个男生排成一排有 位置中选出三个来让三个女生插入都有 法 解法 1：因为两端不能排女生，所以两端只能挑选 5个男生中的 2 个，有 有 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个 种方法，因此共有 种不同的排 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，所以共 种不同的排法 解法 2： 3 个女生和 5 个男生排 成一排共有 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情 况时被扣去一次，在 扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有 种不同的排法 种不 解法 3：从中间 6 个位置中挑选出 3 个来让 3 个女生排入，有 同的排法，对于其中的任意一种排活，其余 5 个位置又都有 种不同的排法，所以共有 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 21 种不同的排法，解法 1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 生，有 种排法，这时末位就只能排男生，有 种不同的 排法，这样可有 种不同的排法 种不同的排法；如果首位排女 种排法，首末两端任意排定一种情况后， 种不同排法因此共有其余 6 位都有 解法 2： 3 个女生和 5 个男生排成一排有 种，就能得到两端不都是女生的排法种数 因此共有 说明： 种排法，从中扣去两端都是女生排法 种不