【数值分析】第六章 线性代数方程组的直接法课件.ppt

第六章,线性方程组 的直接解法,问题驱动：投入产出分析,投入产出分析是20世纪30年代由美国经济学家首先提出的， 它是研究整个经济系统各部门之间“投入”与“产出”关系的线性 模型，一般称为投入产出模型。国民经济各个部门之间存在着 相互依存的关系，每个部门在运转中将其它部门的成品或半成 品经过加工（称为投入）变为自己的产品（称为产出），如何 根据各部门之间的投入-产出关系，确定各部门的产出水平，以 满足社会的需求，是投入产出综合平衡模型研究的问题，试讨论 如下简化问题。,设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入和产出关系、外部需求、初始投 入等如表6.1.1所示（数字表示产值，单位为亿元）。,表6.1.1 国民经济各个部门间的关系,表中第一行数字表示农业总产出为100亿元，其中15亿元农产品用于农业生产本身，20亿元用于制造业，30亿元用于服务业，剩下的35亿元农产品用于满足外部需求。类似地可以解释第二、三行数字。第一列数字中，15亿元如前所述，30亿元是制造业对农业的投入，20亿元是服务业对农业的投入，35亿元的初始投入包括工资、税收、进口等，总投入100亿元和总产出相等。假定每个部门的产出和投入是成正比的，由表6.1.1能够确定这三个部门的投入产出表，如表6.1.2所示。,表6.1.2 投入产出表,表中的第一行，第二列的数字表示生产1个单位产值的制造业产品需要投入0.10个单位的产值的农产品，同样第三行、第一列的数字表示，生产1个单位产值的农产品需要0.20个单位的服务业产值。表6.1.2的数字称为投入系数和消耗系数，如果技术水平没有变化，可以假设投入系数是常数。已知投入系数如表2.1.2所示，若今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为50、150、100亿元，试计算三个部门的总产出分别为多少？,若共有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为 xi, 其中对第 j个部门的投入为xij ，满足的外部需求为 di ，则,(6.1.1),记第j个部门的单位产出需要第i个部门的投入为aij ，在每个部门的产出与投入成正比的假定下，有,(6.1.2),投入系数即为aij，将(6.1.2)式代入(6.1.1)）式得方程组,用矩阵表示为,因此投入产出模型最终可归结为求解线性方程组的问题，下面 介绍求解线性方程组数值方法。,ax = b,（3.1）,线性方程组数值解法的分类,直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组） gauss消去法及其变形 矩阵的三角分解法,迭代法（适用于高阶线性方程组） jacobi迭代法 gauss-seidel迭代法 逐次超松弛法 共轭斜量法,1 高斯消去法,1三角形方程组的解法-回代法,（3.2）,（3.3）,2顺序高斯消去法,基本思想：通过消元将上述方程组 化为三角形方程组进行求解。,消元公式,回代公式,顺序gauss消去法可执行的前提,定理 1 给定线性方程组 ，如果n阶方阵 的所有顺序主子式都不为零，即 则按顺序gauss消去法所形成的各主元素 均不为零，从而gauss 消去法可顺利执行。,注：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角占优阵时，按gauss消去法计算是稳定的。,3、列主元gauss消去法计算步骤：,1、输入矩阵阶数n，增广矩阵 a(n,n+1);,2、对于,(1) 按列选主元：选取 l 使,(2) 如果 ，交换 a(n,n+1) 的第k行与第l 行元素,(3) 消元计算 ：,3、回代计算,4无回代过程的主元消去法,算法：,第一步：选主元，在第一列中选绝对值最大的元素，设第k行为主元行， 将主元行换至第一行，将第一个方程中x1的系数变为1，并从 其余n 1个方程中消去x1。,第二步：在第二列后n 1个元素中选主元，将第二个方程中x2的 系数变为1，并从其它n 1个方程中消去x2。,第k步：在第k列后n k个元素中选主元，换