动力响应分析.ppt

,返回首页,theory of vibration with applications,无阻尼系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对激励的响应 有阻尼系统对激励的响应,多自由度系统 动力响应分析,返回首页,theory of vibration with applications,已知n自由度无阻尼系统的自由振动运动微分方程,当t=0时，系统的初始位移与初始速度为,求系统对初始条件的响应。,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,求解的方法是：,利用主坐标变换或正则坐标变换，将系统的方程式转换成n个独立的单自由度形式的运动微分方程；,利用单自由度系统求解自由振动的理论，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；,再反变换至原物理坐标求出n自由度无阻尼系统对初始条件的响应.。本节只介绍用正则坐标变换求解的方法。,返回首页,theory of vibration with applications,由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法,对于半正定系统，有固有频率 i = 0,系统具有刚体运动振型,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,例9 在例1中，设初始条件是 , 求系统的响应。,解：已求出系统的正则振型矩阵和质量矩阵,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,得到用正则坐标表示的响应,求出系统对初始条件的响应,其中,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,例10 三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对转轴的转动惯量均为i，各段轴的扭转刚度系数均为 ，轴重不计。若已知运动的初始条件,解：系统的位置可由三圆盘的转角 确定，,求系统对初始条件的响应。,运动微分方程是,求主振型,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,写出特征方程,得到系统的频率方程,解出三个固有频率,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,三个固有频率,求出特征矩阵的伴随矩阵的第一列,将各频率依次代入，即得各阶主振型,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,各阶主振型,将三阶主振型为列，依次排列组成主振型矩阵,求出主质量矩阵,求出正则振型，进一步建立正则振型矩阵,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,求系统初始条件的正则坐标表示,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,求出响应为,若初始条件为,求系统的响应,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频率2作谐振动。,多自由度系统 无阻尼系统对初始条件的响应,返回首页,theory of vibration with applications,设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用,它们为同一频率的简谐函数。则系统的运动微分方程为,为了求系统对此激振力的响应，现采用主振型分析法和正则振型分析法。,利用主坐标变换或正则坐标变换使方程解偶的分析方法，称为正规模态法或实模态分析法。,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,利用主坐标变换,以主坐标表示的受迫振动方程式，它是一组n个独立的单自由度方程，即,同单自由度无阻尼受迫振动一样，设其稳态响应是与激振力同频率的简谐函数，即,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,返回原物理坐标,这就是系统对简谐激振力的稳态响应。上述方法即为主振型分析法。,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,将正则坐标变换的关系式,由正则振型的正交条件可得到解偶的运动微分方程,可写成n个独立的方程,返回原物理坐标,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,可以看出，当激振力的频率等于系统固有频率中任何一个时，以上二式的分母都将为零，这时振幅将会无限增大，即系统发生共振。与单自由度系统不同，n自由度系统一般有n个固有频率，因此可能出现n次共振。可以证明，当系统发生共振时，譬如 ，这时第i阶主共振的振幅会变得十分大，称系统发生了第i阶共振，且系统在第i阶共振时的振动形态接近于第i阶主振型。,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,例11 在图示的三自由度弹簧质量系统中，物块质量均为m，且，,试求系统的稳态响应。,解：设取广义坐标x1、 x2、 x3 如图所示。,系统的运动微分方程为,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,由线性系统的叠加原理，先分别计算系统在f1(t)和f2(t)单独作用下的响应，然后再将两部分叠加起来，最后得到系统对激励 f (t)的响应。,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,现在求出系统的固有频率和正则振型矩阵,利用正则坐标变换得到以正则坐标表示的运动微分方程,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,将qn分成两种情况(用下标1，2分别表示f1(t)、f2(t)单独作用的情况)。,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,由于激振力是不同频率的， f2(t)的频率是f1(t)的三倍，因此系统的总响应不再是简谐的，而是周期性的。,多自由度系统 无阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,在线性振动理论中，一般采用线性阻尼的假设，认为振动中的阻尼和速度的一次方成正比。在多自由度系统中，运动微分方程式中的阻尼矩阵一般是n阶方阵。有,c是阻尼矩阵，与刚度影响系数和柔度影响系数类似，阻尼矩阵中的元素cij称阻尼影响系数。它的意义是使系统仅在第j个坐标上产生单位速度而相应于在第i个坐标上所需施加的力。,多自由度系统 有阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,利用主坐标分析法，用主振型矩阵ap试对阻尼矩阵c进行对角化,cp一般不是对角阵,1. 将阻尼矩阵假设为比例阻尼,假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合,a、b是正的常数,称为主阻尼矩阵,多自由度系统 有阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,若用正则振型矩阵变换,振型比例阻尼系数或模态比例阻尼系数,振型阻尼比或模态阻尼比,多自由度系统 有阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,2. 由实验测定各阶振型阻尼比 对于实际系统，阻尼矩阵中各个元素往往有待于实验确定。有时更方便的办法是，通过实验确定各个振型阻尼比。这样，在列写系统的运动微分方程式时，先不考虑阻尼，等经过正则坐标变换后，再在以正则表示运动微分方程式中引入阻尼比，直接写出有阻尼存在时的正则坐标表示的运动微分方程式。实践证明，这一方法具有很大的实用价值。,它一般试用于小阻尼系统，即 的情形,多自由度系统 有阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,当振动系统的计算模型已经确定，可根据计算模型写出阻尼矩阵c，然后经过正则坐标变换，即求出,3. 忽略矩阵cp中的全部非对角元素,若cn不是对角阵，则可这样处理，即考虑到工程上大多数振动系统中的阻尼都比较小，可将cn中的非对角元素改为零，只保留对角元素进行分析计算。这样做的结果往往也能得到较好的近似解。,多自由度系统 有阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,当多自由度振动系统中的阻尼矩阵是比例阻尼时，利用正则坐标变换解偶。即,稳态响应为,由正则坐标变换关系式,得到系统的稳态响应,这种方法称有阻尼系统的响应的振型叠加法,多自由度系统 有阻尼系统对激励的响应,其中 ,各阶振型阻尼比为 , 试求系统的响应。,返回首页,theory of vibration with applications,例12 图所示有阻尼的弹簧质量振动系统，如k1= k2= k3= k ; m1= m2= m3= m，各质量上作用有激振力,解： 1 由简化模型列写无阻尼受迫振动方程,多自由度系统 有阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,解：1、,2 求固有频率和正则振型 由频率方程,由特征矩阵的伴随矩阵的第一列,多自由度系统 有阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,求出主振型和正振型矩阵,3 进行坐标变换,多自由度系统 有阻尼系统对激励的响应,返回首页,theory of vibration with applications,4 引入振型阻尼