第二节_数项级数及审敛法.ppt

二、交错级数及其审敛法,三、绝对收敛与条件收敛,第二节,一、正项级数及其审敛法,常数项级数的审敛法,第十二章,若,则称,为正项级数 .,的收敛（发散）问题归结为数列,的收敛（发散）问题。,次都直接用定义去判断级数收敛与否，除在少数场合外，往往是很困难的。因此，需要简单易行的判敛法。,如果数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数.,级数,对于同号级数，只需研究正项级数.,如果每,但在具体应用中，,一、正项级数及其审敛法,定理 1. 正项级数,收敛,部分和序列,有界 .,若,收敛 ,部分和数列,有界,故,从而,又已知,故有界.,单调递增,收敛 ,也收敛.,对于正项级数,由于,可见部分和数列单调增加。,单调有界数列必有极限.,此定理是本节诸判敛法的理论基础.,其部分和,发散,趋向,收敛准则,证,例1,该正项级数的部分和为:,所以原级数收敛.,正项级数的收敛或发散，直观看，,可以说决定于,其通项趋于0的快慢.,若通项趋于0足够快，那么正项级数,收敛.,若通项趋于0不够快或不趋于0，那么正项级数,发散.,但是，什么是趋于0足够快或不够快？因为快慢,是相对的.,将它和已知是收敛或发散的正项级数的通项,来比较，,即可知道趋于0足够快或不够快 .,都有,定理2 (比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若级数,则级数,(2) 若级数,则级数,证:,设对一切,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,分别表示两个级数的部分和, 则有,是两个正项级数,因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨,(1) 若级数,则有,因此对一切,有,由定理 1 可知,则有,(2) 若级数,因此,显然不是有界数列。这说明级数,也发散 .,也收敛 .,发散,收敛,级数,注：怎样使用比较审敛法？,当需要判别一个正项级数,如果能把它的（从某项起的）各项,适当的放大，,使放大后的级数是已知收敛的正项级数时，那么就,可判断,是收敛的；如果能把,的（从,某项起的）各项,使缩小后的级数,那么就可判断,是否收敛时，,是已知发散的正项级数，,是发散的。,适当的缩小（保持非负），,例2,解,发散 ,故原级数发散 .,（2）对于任何 x1,都有,则对于 任何 自然数,，有,例3. 讨论 p 级数,(常数 p 0),的敛散性.,2) 若,因为对一切,而调和级数,由比较审敛法可知 p 级数,发散 .,发散 ,解: 1) 若,原级数为,调和级数发散 .,由图可知,3),小结,重要参考级数:,几何级数、 p-级数和调和级数.,常用方法:,如，判定下列级数的敛散性,证明级数,发散 .,证: 因为,而级数,发散,根据比较审敛法可知,所给级数发散 .,例4.,定理3. (比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,证: 据极限定义,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,由定理 2 可知,同时收敛或同时发散 ;,(3) 当l = 时,即,由定理2可知, 若,发散 ,(1) 当0 l 时,(2) 当l = 0时,由定理2 知,收敛 ,若,的敛散性.,例5. 判别级数,的敛散性 .,解:,根据比较审敛法的极限形式知,例6. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,说明：用比较判敛法来判断正项级数的敛散性，虽,然有时是很方便的，但使用比较判敛法需要另外找到一,个适当的正项级数作为比较级数。在实践上，找到这样,一个级数，往往不是一件轻而易举的事。,能否不必另外寻找（至少是表面上不必另外寻找）,比较级数，而从级数本身判断它是否收敛？,定理4 . 比值审敛法 ( dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,(3)当 时级数可能收敛也可能发散.,证明：,原级数收敛.,因此,所以级数发散.,时,(2) 当,从而,(1),比值审敛法的优点:,不必找参考级数.,两点注意:,例如,2.条件是充分的,而非必要,解,例7,比值审敛法失效, 改用比较审敛法.,例8. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理4可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,例9. 讨论级数,的敛散性 .,解:,则对于任何n,均有,一般的，当正项级数的一般项,是因子的乘积形式且,中含有,时，用比值法较方便。,比值法失效；,如何使用比值审敛法判别正项级数的敛散性？,定理5. 根值审敛法 ( cauchy判别法),设,为正项级,则,数, 且,注：根值审敛法的实质与比值审敛法相同，都是把,给定的的级数与等比级数相比较.,时 , 级数可能收敛也可能发散 .,例如 , p 级数,说明 :,但,级数收敛 ;,级数发散 .,例10. 讨论级数,的敛散性 .,解:,根据定理5可知:,级数收敛 ;,级数发散 ;,所以级数发散。,例11,极限不存在，因此，无法使用比值判敛法.,解法一：,根据根值审敛法知所给级数收敛.,问题：能否用比值审敛法判别？,并且其和为,此级数也可以看作是由两个收敛的等比级数,的对应项相加所得的级数.,根据级数的线性性质，当然是收敛的.,解法二：,解法三：,时，用根值判敛法比较方便。,如何使用根值审敛法判别正项级数的敛散性？,或是一些因子的乘积，,其内含有,根值判别法法失效；,能用比值判别法判别的正项级数，都能用根值法,判别，反之，不一定.,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,定理6 . ( leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 , 且其和,其余项满足,二 、交错级数及其审敛法,证:,是单调递增有界数列,又,故,（第一章习题1-2第6题结论）,故级数收敛于s, 且,收敛,收敛,用leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,为条件收敛 .,均为绝对收敛.,例如 ：,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,三、绝对收敛与条件收敛,定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .,证: 设,根据比较审敛法,显然,收敛,收敛,也收敛,且,收敛 ,令,定理7表明：,上述定理的作用：,任意项级数 敛散性问题,正项级数 敛散性问题,使得一大类级数的收敛判定问题，转化为正 项级数的收敛问题 .,例12. 证明下列级数绝对收敛 :,证: (1),而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,(2) 令,因此,收敛,绝对收敛.,例13. 判别下列级数的敛散性，如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 :,解:,故级数条件收敛.,因此原级数绝对收敛 .,leibnitz 判别法，即,解:,因此原级数非绝对收敛 .,满足leibnitz 判别法，,所以原级数条件收敛.,解:,所以原级数发散.,分析：这是交错级数，但不满足 ，无 法用leibniz判别法.,故加括号后级数发散，,所以原级数发散.,解: 加括号,例14. 证明:,分析：只需证 收敛即可.,解:,其和分别为,*定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.,( p265 定理9 ),说明: 证明参考 p265p268, 这里从略.,*定理9. (