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文档简介

第六章 逐次逼近法,计算机数值方法,2,本章要点,非线性方程的数值方法,简单迭代法、 newton迭代法,p254. 2. 4. 9. 14.(1) 17. 21(3).,本章作业,线性方程组的迭代法:,简单迭代法:g-j迭代法、g-s迭代法、,3,6.1 基本概念,“范数“是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维 和三维向量长度概念的一种推广,数域:,数的集合,对加法和乘法封闭,线性空间:,可简化为向量的集合,对向量的加法和 数量乘法封闭,二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度,高维向量的“长度“能否定义呢?,也称为向量空间,4,定义1.,一、向量和矩阵的范数,5,6,显然,并且由于,7,8,例1.求下列向量的各种常用范数,解:,9,定义2.,10,定义3.,算子范数和其对应的向量范数是相容的,11,定义4.,根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵范数,12,13,例3.,14,解:,15,特征方程为,由于,16,容易计算,17,定义5.,而,因此,显然,18,即,所以,定理1.,19,二、误差分析简介,20,定义6.,即有,21,所以,又因为,可得,两式相乘,得,表明,由常数项产生的误差,最多可将解的 相对误差放大 倍,22,在上式能直接使用范数吗？,23,如果假设,则由定理1.,可知,且,则有,24,定义7.,25,且,即任意方阵的条件数必不小于1,根据算子范数的不同也有不同的条件数:,26,27,6.2 线性方程组的迭代法,28,如果能将线性方程组变换为,显然,两方程组同解,我们称其等价,对线性方程组，采用以下步骤:,依此类推,29,30,一、简单迭代法（基本迭代法）,设线性方程组的一般形式为,jacobi迭代法,31,依此类推,线性方程组可化为,32,作迭代过程,则上式转化为矩阵形式,33,令,34,故迭代过程化为,等价线性方程组为,称上述方法为解线性方程组的jacobi迭代法(j法),35,例1.,用jacobi迭代法求解方程组,误差不超过1e-4,解:,36,37,38,依此类推,得方程组满足精度的解为x12,迭代次数 为12次,x4 = 3.0241 1.9478 0.9205 d = 0.1573 x5 = 3.0003 1.9840 1.0010 d = 0.0914 x6 = 2.9938 2.0000 1.0038 d = 0.0175 x7 = 2.9990 2.0026 1.0031 d = 0.0059 x8 = 3.0002 2.0006 0.9998 d = 0.0040 x9 = 3.0003 1.9999 0.9997 d = 7.3612e-004 x10 = 3.0000 1.9999 0.9999 d = 2.8918e-004 x11 = 3.0000 2.0000 1.0000 d = 1.
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