自动控制理论PPT课件-第2章 自动控制系统的数学模型.ppt

自动控制理论,讲授人：范 娟,研究自动控制系统的方法与目的,实际控制系统,实际系统的组成框图,建立各组成工作框的数学模型,系统稳定性,系统稳态性,系统动态性,找出改进系统的有效方法,应用,分析研究,系统建模,弄清系统的工作原理,第2章 自动控制系统的数学模型,引言,2.1 控制系统的时域数学模型,2.2 控制系统的复数域数学模型,2.3 控制系统的结构图与信号流图,本章小结,引言,数学模型:描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。 时域模型微分方程 差分方程 状态方程 复域模型传递函数 结构图 信号流图 频域模型频率特性,引言,建模方法： 解析法（机理分析法）：根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。 实验法（系统辨识法）：给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。,2.1 控制系统的时域数学模型,1.线性元件的微分方程,微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，又称之为控制系统时域内的运动方程。,用解析法建立系统微分方程的步骤： （1）确定系统中各元件的输入量和输出量； （2）根据各元件所遵循物理、化学、生物等定律（机理），列出各自的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （3）消去中间变量，把微分方程整理成输入输出关系式。,电学系统,例1 试求如图所示rlc无源网络的微分方程,解：设回路电流为i(t)，由希尔霍夫定律可列回路方程，并消去中间变量i(t)，得描述网络输入输出关系的微分方程：,控制系统的时域数学模型,例2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力f(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力f(t)与质量块的位移x(t)之间的微分方程。,解:,弹簧的弹力：方向与运动方向相反，大小与位移成比例，k是弹性系数 阻尼器的阻尼力：方向与运动方向相反，大小与运动速度成比例，f是阻尼系数,机械系统,控制系统的时域数学模型,例3 如图所示为一机械位移相同。当外力f(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力f(t)与位移x1(t)之间的微分方程。,解：,注意：列写机械系统的微分方程式，关键是要选择合适的质点作受力分析，然后利用有关定律求解微分方程。,控制系统的时域数学模型,例4 试列写如图所示电枢控制直流电动机的微分方程。,解:,电枢控制直流电动机的工作实质：将输入的电能转换为机械能，也就是由输入的电枢电压在电枢回路中产生电枢电流，再由电流与激磁磁通相互作用产生电磁转矩，从而拖动负载运动。,其它系统,控制系统的时域数学模型,线性系统微分方程的编写步骤：, 确定系统和各元部件的输入量和输出量。, 对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。, 对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。, 从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。,控制系统的时域数学模型,2.控制系统微分方程的建立,例：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。,控制系统的时域数学模型,-,（1）各环节微分方程： 运放： 运放： 功率放大： 反馈环节： 电动机环节： 齿轮系：,见书例2-2,控制系统的时域数学模型,（2）消去中间变量：推出 之间的关系： 显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。,控制系统的时域数学模型,2.2 控制系统的复数域数学模型,传递函数：是在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,一、传递函数的定义和性质,描述该线性定常系统的传递函数为：,线性定常系统的微分方程式一般表达式为：,在零初始条件时，对上式进行拉氏变换，得：,控制系统的复数域数学模型,传递函数的性质,传递函数是复变量s的有理真分式函数 传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息,传递函数与微分方程有相通性,控制系统的复数域数学模型,传递函数与s平面上一定的零极点图相对应,放大系数或增益,控制系统的复数域数学模型,例1 试求如图所示rlc无源网络的传递函数uc(s)/ur(s),方法一：由前面例题可知描述网络输入输出关系的微分方程：,在零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换，得,由传递函数定义，得,控制系统的复数域数学模型,方法二：引用复数阻抗直接列写网络的代数方程，然后求其传递函数。,解：用复数阻抗表示电阻时仍为r，电容c的复数阻抗为1/cs，电感的复数阻抗为ls。则由分压定律可得：,总结：系统的传递函数与微分方程具有相通性，通常由微分方程可写出传递函数，但对于电网络，用复阻抗法直接求传递函数往往更简单。,控制系统的复数域数学模型,例2 求如图所示有源网络的传递函数uc(s)/ur(s),分析：依运算放大器的特点，可认为放大器输入电压u00；又运算放大器输入阻抗很大，可近似认为输入电流i0=0。,由上式整理，得,解：则运用复数阻抗可得：,控制系统的复数域数学模型,控制系统的复数域数学模型,例3 系统如右图所示，已知 方框对应的微分方程为 ，求系统的传递函数uc(s)/ur(s)。,解：对g0(s)相应的微分方程进行 拉氏变换得：,又由运算放大器特性，有,控制系统的复数域数学模型,有,二、典型环节的传递函数,控制系统的复数域数学模型,比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化,比例环节的传递函数为,比例环节又称放大环节。其数学方程为,1.比例环节,机械杠杆、齿轮变速器、放大器、测速电机电压与转速关系、电位器,电位器,比例环节举例,控制系统的复数域数学模型,齿轮穿动系统,比例环节举例,控制系统的复数域数学模型,测速发电机,2.惯性环节,惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为,式中：t 时间常数;k 比例系数,惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数t表征了该环节的惯性。,电热炉温度随电压变化系统、直流电机的励磁回路、两相伺服电动机,控制系统的复数域数学模型,惯性环节举例,控制系统的复数域数学模型,单容水槽,隔热加热系统,惯性环节举例,控制系统的复数域数学模型,电枢控制直流电动机,两相伺服电动机,惯性环节举例,控制系统的复数域数学模型,积分环节的微分方程是,积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。,式中k=1/t，称为积分环节的放大系数，t称为积分时间常数,模拟机的积分器、电动机角速度和转角间的传递函数,3.积分环节,控制系统的复数域数学模型,积分环节举例,控制系统的复数域数学模型,液压伺服马达,典型电路,其它积分环节举例,控制系统的复数域数学模型,4.振荡环节,振荡环节的微分方程是,式中 振荡环节的自然振荡频率 振荡环节的阻尼比,有两个储能元件的系统：弹簧阻尼系统、机械旋转系统、rlc电路,控制系统的复数域数学模型,rlc电路,振荡环节举例,控制系统的复数域数学模型,电枢控制式直流伺服电机,5.微分环节,理想微分环节的微分方程为,式中 微分时间常数。,实际微分环节：,控制系统的复数域数学模型,rc电路,运动方程： 传递函数：,微分环节举例,当tc1时，又可表示成：,控制系统的复数域数学模型,测速发电机,微分环节举例,控制系统的复数域数学模型,阻尼器,其他微分环节举例,控制系统的复数域数学模型,6.迟延环节,迟延环节的数学表达式为,式中 迟延时间,对于迟延时间很小的迟延环节，常把它展开成泰勒级数，并略去最高项，得如下简化迟延环节传递函数：,控制系统的复数域数学模型,注意：信号通过迟延环节，不改变其性质，仅仅 发生时间上延迟了时间。,控制系统的复数域数学模型,2.3控制系统的结构图与信号流图,控制系统结构图：是描述系统各元部件之间信号传递关系的数学图形。它们表示了系统中各自变量之间的因果关系以及各变量所进行的运算。,系统结构图的组成和绘制,绘制系统结构图的步骤如下： 1.首先按照系统的结构和工作原理，分解出各环节并写出它的传递函数。 2.绘出各环节的动态方框图，方框图中标明它的传递函数，并以箭头和字母符号表明其输入量和输出量。 3.按照信号的传递方向把各方框图依次连接起来，就构成了系统结构图。,控制系统的结构图与信号流图,例1 试绘制如图所示无源网络的结构图,解: (1) 应用复阻抗概念，根据克希霍夫定律，可写出以下方程：,控制系统的结构图与信号流图,(2) 按照上述方程可分别绘制相应元件的方块图，如下所示：,(3) 按信号流向将各框图连起来,控制系统的结构图与信号流图,控制系统的结构图与信号流图,基本连接方式：串联、并联、反馈,1.串联方框的等效变换,2.并联方框的等效变换,方框图等效变换,控制系统的结构图与信号流图,3.反馈连接方框的等效变换,化简一般方法：移动分支点或相加点 交换相加点 合并,控制系统的结构图与信号流图,4.相加点和分支点的移动,注意：移动前后必须保持信号的等效性 相加点和分支点一般不宜交换其位置 “-”号可以在信号线上越过方框移动，但 不能越过相加点和分支点,遵循原则：交换前后变量关系保持等效 交换前后前向通路中传递函数的乘积应保持不变； 回路中传递函数乘积应保持不变,控制系统的结构图与信号流图,相加点前移,相加点后移,控制系统的结构图与信号流图,交换或合并相加点,负号在支路上移动,控制系统的结构图与信号流图,分支点前移,分支点后移,控制系统的结构图与信号流图,交换相加点和分支点（一般不采用）,例2 试化简如下系统结构图，并求传递函数c(s)/r(s),合并,方框图等效变换举例,控制系统的结构图与信号流图,合并,控制系统的结构图与信号流图,合并,合并,控制系统的结构图与信号流图,例3 试化简如下系统结构图，并求传递函数c(s)/r(s),解：将g3(s)输出端的分支点后移得：,合并,控制系统的结构图与信号流图,合并h3所在的反馈环节得：,合并h2/g4所在的反馈环节得：,合并,合并,控制系统的结构图与信号流图,得出传递函数为：,简化结构图求总传递函数的一般步骤： 1. 确定输入量与输出量。 2. 若结构图中有交叉关系，应运用等效变换法则，将交叉消除，化为无交叉的多回路结构。 3. 对多回路结构，由里向外进行变换，直至变换为一个等效的方框。,控制系统的结构图与信号流图,控制系统的结构图与信号流图,信号流图起源于梅森（s. j. mason）利用图示法来描述一个或一组线性代数方程式，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,信号流图中常用的名词术语： 源节点：只有输出支路的节点称为源节点或输入节点 阱节点：只有输入支路的节点称为阱节点或输出节点 混合节点：既有输入节点也有输出节点的节点称为混合节点 通路：从某一节点开始，沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一点）构成的路径，称为通路。通路中各支路增益的乘积称为通路增益。,信号流图的绘制和梅森增益公式,控制系统的结构图与信号流图,闭通路：如果通路的终点就是通路的起点，并且与任何其它节点相交不多于一次的称为闭通路或称为回路。回路中各支路传输的乘积称为回路增益。 前向通路：是指从输入节点开始并终止于输出节点，且与其它节点相交不多于一次的通路。该通路的各传输乘积称为前向通路增益 不接触回路：如果一信号流图有多个回路，各回路之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环。,控制系统的结构图与信号流图,信号流图的绘制,1.由系统方程绘制信号流图 首先按照设定的节点次序绘出各节点，然后根据各方程绘制各支路。,控制系统的结构图与信号流图,在结构图的信号线上用小圆圈标志出传递的信号，得到节点 用标有传递函数的线段代替结构图中的方框，得到支路,控制系统的结构图与信号流图,2、由系统结构图绘制信号流图,由系统结构图画信号流图时，有以下几个技巧： 系统的输入、输出各变为一个节点 每个相加点变为一个节点 若分支点与相加点相邻，则按信号流动的方向，在 相加点之前的分支点要变为一个节点，在相加点之后 的分支点可以和相加点合并为一个节点 若分支点与相加点不相邻，则该分支点要变为一个节点,控制系统的结构图与信号流图,梅森(mason)公式,梅森增益公式是利用拓扑的方法推导出来的，公式表述如下：,式中： p 系统的总传输； pk 第k条前向通道的传输； n 从输入节点到输出节点的前向通路数； 信号流图的特征式；,控制系统的结构图与信号流图, 信号流图中所有单独回路增益之和； 信号流图中每两个互不接触回路增益的乘积之和； 信号流图中每三个互不接触回路增益的乘积之和； 称为第k条通路特征式的余因子式，是在中除去与第k条前向通路相接触的回路增益项（即将其置零）以后的余项式。,式中：,控制系统的结构图与信号流图,例4：如图系统。,梅逊 (mason)公式 举例,控制系统的结构图与信号流图,均接触。,五个回路：,控制系统的结构图与信号流图,例5 试求如图所示信号流图中的传递函数c(s)/r(s),解：单独回路有四个,两个互不接触回路有四组，即,控制系统的结构图与信号流图,三个互不接触回路有一组，即,信号流图特征式为：,前向通道有四条，即,控制系统的结构图与信号流图,由梅逊公式得系统传递函数为：,注意：对于复杂的系统，要注意找全所有的前向通路和单独 回路，对不同输入要注意其前向通路的变化,控制系统的结构图与信号流图,例 某控制系统的结构图如下图所示，试求系统的传递函数c(s)/r(s),解法1：用结构图等效变换方法求解,控制系统的结构图与信号流图,合并,合并,控制系统的结构图与信号流图,控制系统的结构图与信号流图,解法2：用梅逊公式求解,前向通道两条，单独回路三个，两个互不接触回路一组，即,控制系统的结构图与信号流图,信号流图特征式为：,由梅逊公式得系统传递函数为：,控制系统的结构图与信号流图,闭环系统传递函数,1.系统开环传递函数,定义：系统开环传递函数是主反馈量b(s)与误差量e(s)之比。,控制系统的结构图与信号流图,