应用数学毕业论文分块矩阵行列式计算的若干方法.doc

编号 2009011445 毕 业 论 文（设 计）（ 2013 届本科）论文题目: 分块矩阵行列式计算的若干方法学 院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 09级本科4班 作者姓名： 朱会萍 指导教师： 杨明霞 职称： 讲师 完成日期： 2013 年 05 月 05 日目 录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明1中文摘要2分块矩阵行列式计算的若干方法21 分块矩阵的基本概念31.1 分块矩阵的运算31.2 分块矩阵的乘法31.3 分块矩阵的转置41.4 分块矩阵的初等变换42 分块矩阵的应用42.1 从行列式性质出发推导分块矩阵行列式的若干性质,并应用这些性质来计算行列式4 2.2 用分块矩阵计算行列式6 2.3 利用分块矩阵求高阶行列式8结束语9参考文献9致谢101陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二0一 年 月 日 0 分块矩阵行列式计算的若干方法朱会萍（陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000）摘要:在理论研究和实际应用中,经常会遇到阶数或者结构特殊的矩阵,为了便于分析计算,我们通常按照实际需要或矩阵的特征对所讨论的矩阵进行适当的拆分,分成阶数较低的矩阵,这个过程称为矩阵的分块.本文主要对分块矩阵的定义,分块方法,基本运算及分块矩阵行列式计算的应用进行了探讨,使用了大量的例题充分说明对矩阵进行分块能简化计算过程.关键词:分块矩阵;行列式;初等变换引言 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,在实际生活中,很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行计算.如在各循环赛中常用的赛况表格等,矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握,对于矩阵的运算和应用,则有很多的问题值得我们去研究,其中当矩阵的行数和列数都相当大时,矩阵的计算和证明会是一个很繁琐的过程,因此我们得有一个新的矩阵处理工具,使这些问题得到更好的解决,这样就产生了矩阵分块的思想1.在矩阵的行,列之间加上一些横线和纵线,就把矩阵分成若干个小块,每一小块矩阵称为子块,以这些子块为元素构成的矩阵称为分块矩阵.分块矩阵的一些应用:（1）从行列式的性质出发,推导出分块矩阵的若干性质,并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用2;（2）分块矩阵在线性代数中是一个基本工具,借助它的初等变换可以解决分块矩阵在行列式计算中的许多问题;（3）利用分块矩阵求高阶行列式3.1 分块矩阵的基本概念 为了研究行数和列数较高的矩阵,通常需要对这类矩阵采用分块的方法,即将这些矩阵分为若干块,以这些划分的子块为元素的矩阵就称为分块矩阵. 1.1 分块矩阵的运算 分块矩阵运算形式上和数字矩阵的运算比较相似,在恰当运用分块矩阵计算时,分块矩阵的运算规则就近似于普通矩阵的运算规则.例如a.分块矩阵的加法设是两个同型矩阵并且对都采用同样的方法来分块:, ,.b.分块矩阵的数乘 设是一个数,那么,可见,分块矩阵的加法和乘法是一样的,就只是把块当作“元素”. 1.2 分块矩阵的乘法设两个矩阵分别如下：=, ,则. 1.3 分块矩阵的转置 设, 则,这个矩阵称为矩阵的转置.这里要注意的是分块矩阵的转置是先把的行变列,列变行后,再把每一小块矩阵转置,方能得到矩阵分块的转置矩阵. 1.4 分块矩阵的初等变换分块矩阵的初等列变换和普通矩阵的初等列变换相似,因此分块矩阵也有三种形式的初等列变换4: （1）把矩阵中的一个块列的右乘倍（是矩阵）加到矩阵的另一个不同的块列上;（2）将矩阵中两个不同块列的位置互换;（3）用任意一个可逆的矩阵右乘矩阵中某一块列.同样的分块矩阵的初等行变换也与之类似有:（1）把矩阵中的一个块行的左乘倍（是矩阵）加到矩阵的另一个不同的块行上;（2）将矩阵中两个不同块行的位置互换;（3）用任意一个可逆的矩阵左乘矩阵中某一块行.2 分块矩阵的应用 2.1 从行列式性质出发推导分块矩阵行列式的若干性质,并应用这些性质来计算行列式 在行列式的计算中,我们经常会用到下面三条性质5: (1) 若行列式中某行有公因子,则可提到行列式号外面; (2) 把行列式中的某一行乘上某一个非零数,加到另一行中去,其值不变; (3) 把行列式中的某两行互换位置,其值变号.利用矩阵的分块,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行推广.性质2.1.1 设方阵是由如下分块矩阵组成, 其中都是矩阵,又是任一阶方阵.对于矩阵 ，则.证明 由性质2.1.1得 ,其中是阶单位矩阵,对上式两边同时取行列式得 6.性质2.1.2 设方阵是由如下分块矩阵组成其中都是矩阵,又是任一阶方阵.对于矩阵 ,则.证明 设为阶单位矩阵,则,于是 .性质2.1.3 设方阵和写成如下形式 , ,其中都是矩阵.则证明 可由中的与相应的两行互换而得到,而交换行列式的两行,行列式变号,故当为偶数时,;当为奇数时,7.例2.1.4 计算行列式.解 设,则,这里的可为任一阶矩阵,所以 .2.2 用分块矩阵计算行列式在线性代数中经常需要求一些繁杂的行列式,由于在行列式阶数较高情况下直接运算难以很快得出结果,但是借助于分块矩阵的初等变换来计算行列式可大大简化行列式计算.关于分块矩阵有以下引理和推论:定理2.2.1 设 ,其中分别是阶和阶方阵,是阶矩阵,是阶矩阵,则 (1) 当可逆时,有. (2) 当可逆时,有.证明 (1)由于为可逆矩阵,用分块矩阵的初等变换把消为零矩阵,得 对两边的矩阵取行列式,并且由 ,得 . (2)与(1)的证明大致相同. 推论2.2.2 设都是阶方阵,其中0,并且,则有.证明 根据性质2.1.1,因为存在,并有,用乘矩阵的第一行后加到第二行中去得 . 例2.2.3 计算行列式. 解 设,其中,.由计算知,且,所以.2.3 利用分块矩阵求高阶行列式推论2.3.1 设都是阶方阵,则有 . 证明 作阶行列式 ,由拉普拉斯展开定理得 ,又由性质2.1.1并应用于列的情况,则有 8.推论2.3.2 设都是阶方阵,则有. 证明 根据性质2.1.1,并应用于下列的情况,有. 例2.3.3 计算阶行列式. 解 令,则 .结束语通过以上实例分析可以看出,分块矩阵的初等变换等方法在处理线性代数的一些问题上具有简洁快速高效等特点,对比我们常用的方法,更利于我们掌握和应用.所以说分块矩阵在解决矩阵问题上是一种有效且重要的方法.参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.北京:高等教育出版社,2003.2钱丽丽.巧妙利用四分块矩阵求高阶行列式J.科技信息（科学教研）,2008:1-2.3胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中的应用J.河北工程技术高等专科学校学报,2004,(4):50-534张禾瑞,郝鈵新.高等代数M.北京:高等教育出版社,2004.5林旭升.线性代数教程.M.武汉:华中科技大学出版社,2004.6王萼芳.线性代数M.北京:清华大学出版社,2000.7杨子胥.高等代数习题解（上册）M.济南:上冻科学出版社,2002.8杨儒生,朱天平.线性代数习题解集M.南京:江苏教育出版社,1996.9林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用J.广东广播电视学报,2006.10同济大学数学教研室.工程数学线性代数（第三版）M.北京:高等教育出版社,1999.11王莲花,李念伟,梁志新.分块矩阵在行列式计算中的应用J.河南教育学院学报（自然科学卷）,2005.Block matrix determinant calculation methodZHU Hui-ping (School of Mathematics and Statistics,Longdong University,Qingyang, Gansu 745000)Abstract: In theoretical research and practical application, we often meet order number or a matrix with special structure. In order to make the analysis and calculation simple, the process which we usually make appropriate resolution on discussed matrix, and divide it into a lower order matrix according to actual need or characteristic of the matrix is called block matrix. This paper majorly discussed the block matrix from definition, block method, basic operation and applications of matrix determinant calculation. A lot of examples are used to completely explain the block matrix can simplify the p