[高一数学]函数奇偶性案例.doc

案例：函数的奇偶性 该案例获教育部第一届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第四名（主讲人：陕西师范大学数学与信息科学学院2005级高原同学；指导教师：罗增儒老师）。说明 本文可以认为是师范生教育实习的一个成果汇报，也可以认为是信息技术与数学内容整合的一个有益尝试教案所使用的教材版本见人民教育出版社版高中数学（必修一）第二章第一节第四小节，教学环境是多媒体教室整个教学过程分为四个阶段：创设情境，提出课题；任务驱动，操作探究；合作交流，归纳发现；应用巩固，深化提高 （一）创设情境，提出课题教师：同学们，上一节课我们学习了函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生（众）：数形结合？教师：对，我们“利用函数的图像来理解函数的性质”，是先从图像看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后用函数的解析式（从数的角度）表示为“当时，有（增函数）或（减函数）”这一节课我们继续学习函数的更多性质，首先，请大家观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？（教师先做出立正姿势，然后两手平伸，微笑状）学生1：男的？ 教师：不错，是男老师，但性别不属于数学特征，数学是从空间形式和数量关系上来看事物的，请再从数学上看看老师有什么样的特征？学生2：身高1米76教师：这个说法有“数感”，估算眼力也不错学生3：是个轴对称图形教师：说得很好，把老师画下来是个“轴对称图形”老师的左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与右手也是对称的，这是我们初中学过的图形对称图性知识那么，大家还记得什么叫做轴对称图形？什么叫做中心对称图形吗？ 定义：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形绕某一点旋转后的图形能和原图形完全重合的图形叫中心对称图形教师：大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽 图1 大自然中的图形教师：这一章我们学习的是函数，函数的图像也是一种图形，当函数的图像也是轴对称或中心对称时，我们如何利用函数的解析式来刻画函数图像的几何特征呢？这就是本节课我们要共同探究的课题函数的奇偶性（板书214函数的奇偶性）（二）任务驱动，操作探究教师：同学们，大家一定已经发现了，在每个人的桌面上有一个大信封，信封里装的是什么呢？（引发好奇心）让我们打开来看看（参见本案例后附录1）教师：哦，原来是一张函数的奇偶性数学试验单，试验单内有类、类“任务函数”各一组，每类“任务函数”各有三个具体的函数，接下来我们要借助Microsoft Math软件完成三项任务（见试验单）：任务1：在同一坐标系上分别作出两类任务函数的图像,并在实验单对应项下方绘制出函数图像任务2：利用Create Table（制表）功能，在每类函数中任取一个具体的函数，取定自变量范围为到的10个点，填写对应的数据表任务3：分析函数的图像和数据表，从对称性的角度找出共同的几何特征，再找出自变量和函数值之间的本质关系下面大家就分小组，利用Microsoft Math软件完成数学试验（同学们小组合作，用Microsoft Math软件完成三个实验任务，教师巡视各小组任务进展情况，对存在困难的小组给予适当的帮助，待全班都完成任务后，交流共享各小组的发现成果）（三）合作交流，归纳发现教师：大家都已完成了实验任务，下面我们进行交流，通过具体操作和图像观察，各个小组都有什么发现？哪个小组首先将自己的成果与大家共享交流？ 小组1：（通过计算机报告类函数的图像，屏幕5打出图2）我们小组通过观察发现： 类任务函数的定义域关于原点对称，图像关于轴对称 小组2：（通过计算机报告类函数的图像，屏幕6打出图3）我们小组通过观察发现：类任务函数的定义域是关于原点对称的，图像是关于原点对称的图2 A类任务函数图像 图3 B类任务函数图像教师：非常好！大家通过函数图像的观察发现了：类函数和类函数的定义域都是关于原点对称的；类任务函数的图像是关于轴对称的，类任务函数的图像是关于原点对称的我们知道，“关于轴对称”就是对应点的连线（线段）以轴为垂直平分线，这时， 的横坐标之间有什么关系？的纵坐标之间有什么关系？ 小组3：（通过计算机报告类函数中的图像及其数据表，屏幕7打出图4）我们小组通过图像和数据表的观察发现：对应点的横坐标成相反数时纵坐标相等或者说类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值相等图4 函数的图像及其数据表教师：对，（屏幕7继续打出）关于轴对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标相等；或自变量互为相反数时函数值相等那么，这个数值特征怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？学生4：时 教师：对，这是轴对称的一个数值表示 同样，“关于原点对称”就是对应点的连线（线段）以原点为中点，这时的横坐标之间有什么关系？的纵坐标之间有什么关系？小组4：（通过计算机报告类函数中的图像及其数据表，屏幕8打出图6）我们小组通过图像和数据表的观察发现：对应点的横坐标成相反数时纵坐标也成相反数或者说类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值也互为相反数图5 函数的图像及其数据表教师：对，（屏幕8继续打出）关于原点对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标也成相反数 或自变量互为相反数时函数值也互为相反数那么，怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？学生5：时 教师：现在我们已经从函数图像的图形特征得出了函数图像的数值特征，下面，我们分别验证类任务函数中的和类任务函数中的，看看如何用函数的表达式来刻画“自变量互为相反数时，其函数值相等或互为相反数”学生6：我通过验证类任务函数，有，确实是自变量互为相反数时，函数值相等（学生叙述，教师板书）教师：就是说类任务函数满足，这正是用函数解析式表达的本质特征学生7：我通过验证类任务函数，有，确实是自变量互为相反数时，函数值也互为相反数（学生叙述，教师板书）， 教师：这样一来，就把上面的式“时”改写为， 把式“时”改写为 同学们，我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应（屏幕9打出对照表）： 形的特征数的特征图像横坐标成相反数函数自变量成相反数图像纵坐标相等（成相反数）函数值相等（成相反数）横坐标成相反数时纵坐标相等（成相反数）时（时）图像性质：关于轴对称（关于原点对称）函数性质：（）教师：同学们，如果称类这样的函数为偶函数，称类这样的函数为奇函数，你们能给偶函数和奇函数下个定义吗？ （学生通过独立思考和合作交流，得出定义 屏幕10打出偶函数和奇函数的定义）定义1 设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有且，则这个函数叫偶函数定义2 设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有且，则这个函数叫奇函数教师：对于偶函数的定义需要强调三点（屏幕11打出三点解释）：一是对“任意一个”都成立，是整体性质而非局部性质；二是“都有”，即是存在的；三是“”，这是偶函数的本质属性，是它的标志同学们，对于奇函数的定义你们认为需要强调什么呢？（同样，同学们得出奇函数的定义需要强调的三点认识，屏幕12打出）：一是对“任意一个”都成立，是整体性质而非局部性质；二是“都有”，即是存在的；三是“”，这也是奇函数的本质属性，是它的标志.教师：记忆这个定义，可借助函数（为正整数），当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数（四）应用巩固，深化提高教师：下面我们利用奇函数和偶函数的定义来做练习（屏幕13打出题目）例1 用定义来判断下列函数的奇偶性（1）（见类函数）； （2）（见类函数）；（3）； （4）教师：首先，我们一起来分析第（1）题（屏幕14打出分析）分析：第1步，先看的定义域，易知定义域为，是关于原点对称的；第2步，计算，看与之间的关系，通过计算，有，第3步，下结论：是偶函数具体的解题过程如下（屏幕14继续打出）解：函数的定义域为，当时，因为，所以是偶函数 下面请同学们继续做第（2）、（3）、（4）题学生8：（通过计算机报告第（2）题的解法，由屏幕15打出）教师：很好，判断正确，书写规范.我们再来看看第（3）题学生9：（通过计算机报告第（3）题的解法，由屏幕16打出）教师：这个解法的两个判断都正确，但是还没有给出结论到底这是个什么函数呢？像这样的既不满足奇函数定义也不满足偶函数定义的函数，我们就叫它非奇非偶函数吧下面提个问题，函数既不是奇函数也不是偶函数，那么，它的图像是不是“既非轴对称图形又非中心对称图形”？学生10 ：应该是吧教师：理由呢？学生10：不是偶函数就不会关于轴对称，不是奇函数就不会关于原点中心对称，所以是“既非轴对称图形又非中心对称图形”教师：不以轴对称有没有可能以别的直线为轴对称？不以原点对称有没有可能以别的点为中心对称？ 学生10：（恍然大悟）哦，明白了函数虽然既不是奇函数也不是偶函数，但它的图像是一条直线，既是轴对称图形又是中心对称图形教师：这是一个有趣的发现因为直线的任意一条垂线都是它的对称轴，直线的任一点都是它的对称中心，所以“非奇非偶函数”的图像，“既是轴对称图形又是中心对称图形”再看第（4）小题 学生11：（通过计算机报告第（4）题的解法，由屏幕17打出）教师：解法出来了，对任意的实数，均为偶函数的判断过程有疑问吗？学生（齐）：没有 教师:那么呢？ 学生12：，满足偶函数的定义学生13：我觉得当时,也成立，还满足奇函数的定义老师，这样的函数叫啥？教师: 当时, 既满足奇函数的定义又满足偶函数的定义，我们就把这样的函数叫做既奇且偶函数这道题的完整求解可分与两种情况来讨论:当时为偶函数；当时为既奇且偶函数那么，以函数的奇偶性为标准我们可以对函数作怎样的分类？学生（齐）：分四类教师:哪四类？ 学生14：是奇函数而非偶函数；是偶函数而非奇函数；既奇且偶函数；非奇非偶函数 教师：非常好！下面，根据做例1的过程，我们再来总结一下判断函数奇偶性的方法第一步看什么？学生（齐）：看定义域是否关于原点对称教师：对，如果定义域关于原点不对称，就不是奇函数也不是偶函数.那怎么确定“定义域关于原点不对称”呢？学生15：只要定义域上有一个取值使不存在，则定义域就关于原点不对称.教师：很好，只要定义域上有一个取值使不存在，则就既不是奇函数也不是偶函数第二步呢？学生（齐）：计算，看是否满足或者教师：对，这一步的实质是验证一个恒等式，只要有定义域的一个取值使（或），则就不是偶（奇）函数根据恒等式证明的经验，请进一步思考你们能对这一步发表些什么看法呢？学生16：证明可以转为证；证明可以转为证学生17：当时，证明还可以转为证；而证明又可以转为证教师：这又是一些小小的发现，很好.第三步呢？学生（齐）：下结论，判断为上述说的4类函数之一教师：总结得不错，下面看第2个练习（屏幕18打出题目）例2 选择题（1）给出4个命题：如果一个图形是轴对称图形，那么这个图形一定是某个偶函数的图像；如果一个函数的图像是轴对称图形，那么这个函数一定是偶函数；奇、偶函数的定义域必定关于原点对称；如果奇函数在原点有定义，那么；其中为真命题的个数是（ ）（）1 （）2 （）3 （）4（2）函数的奇偶性为（ ）（）是奇函数而不是偶函数 （）是偶函数而不是奇函数（）既是奇函数又是偶函数 （）既不是奇函数也不是偶函数教师：看第（1）小题，大家先判断四个命题的真假学生18：命题是假命题，比如圆是轴对称图形，但不是函数的图像教师：因为存在这样的，有两个与之对应，不满足函数的定义，是吗？学生18：是的教师：很好，谁来判断命题？学生19：命题是假命题，比如函数的图像是轴对称图形，但这个函数不是偶函数 学生20：，例1中的函数也是一个反例教师：只要把一个偶函数的图像左右平移一下就可以得到反例继续说命题学生21：命题是真命题，若不然，就存在一个，使，既然都不存在，更谈不上或 教师：对，比如函数在上为奇函数，但在上就成了非奇非偶函数了（因为时没有定义）“奇、偶函数的定义域必定关于原点对称”可以成为判断函数奇偶性的一个必要条件继续说命题.学生22：命题是真命题，由奇函数的定义，令有，移项得教师：“如果奇函数在原点有定义，那么”可以成为奇偶性的一个必要条件现在四个命题都判断清楚了，下来应该选什么？学生（齐）：选（）教师：回答得很好再看第（2）小题学生23：（学生口述，教师板书）因为， ， 所以既不是奇函数也不是偶函数，选（）教师：你是说对定义域内的每一个，不等式、都成立？学生23：不，我的、式是说恒等式，都不成立教师：既然是否定恒等式，那有定义域内的一个值就够了大家把代入看看学生23：有可见，肯定不是恒等式，至于式我想取别的值会使左右两边不相等的教师：好，我们一块来找使式左右两边不相等的值？（学生验证了，终于有学生省悟）学生24：根据例1的总结，判断函数的奇偶性应该先求定义域，并看它是否关于原点对称教师：继续说，函数的定义域是什么？ 学生24：由被开方式非负知，函数的定义域为，是关于原点对称的教师：很好，在这个前提下，函数的表达式能否化简？ 学生24：可以，在定义域内有，函数表达式的分母为，得 教师：这就思路清晰了，我们请学生23再作一次判断学生23：函数的定义域为，得，则函数表达式可化简为 有 ，得是偶函数又，不满足奇函数的必要条件，所以是偶函数而不是奇函数选（）教师：非常完满最后，让我们来总结一下：今天学习了什么？经历了什么？感悟到了什么？同学们七嘴八舌，谈到：学习了奇函数和偶函数的概念.学习了用定义判断函数奇偶性的方法.知道了奇函数的图像关于原点对称，但不知道图像关于原点对称的函数为什么叫做奇函数.知道了偶函数的图像关于轴对称；但不知道图像关于轴对称的函数为什么叫做偶函数.经历了从初中“图形对称性”到高中“函数奇偶性”的提炼过程.经历了从几个具体函数提炼函数本质属性的过程.经历了小组讨论和课堂交流.感悟到判断函数奇偶性的关键是证明恒等式.感悟到了数学思想方法，如函数思想、数形结合思想等.感悟到了数学的对称美教师：时间关系先谈到这里今天的作业有3个，作业1是课本53页练习第1题，作业2是课本54页练习第2题（选做题），作业3是完成实验单上的几个问题（参见附录1：函数的奇偶性数学实验单）：通过本节课，你收获了什么？通过本节课，你发现了什么？在本节课的学习中，你还有什么不明白的？本节课后，你还想继续探究什么？让我们“带着问题走进课堂，带着思考走出课堂”案例：抛物线的定义 石生民高中数学课例点评M西安：陕西师范大学出版社，2008年，第77-81页（一）从已有概念出发教师出示问题1：平面内，与一个定点和一条定直线的距离的比是常数（）的点的轨迹是什么曲线？（投影片打出）教师先让学生独立思考，然后师生一起归纳结论：（1）时轨迹是椭圆；（2）时轨迹是双曲线教师：是否有补充意见？或者说除了以上两种曲线外，还有其他可能性吗？这时，学生才意识到的情形遗漏了！教师强调，对问题的讨论要全面，并要求学生对该问题当时重新表述，然后板书在黑板上板书：平面内，与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹是什么曲线？教师：这样的轨迹是否存在？轨迹的形状是什么？它的方程是什么？（板书）这就是我们所要研究的问题（二）探求轨迹的存在性问题2：轨迹是否存在？你通过什么方法加以验证？这时教师并不急于引导，而是要求学生先独立思考，然后分组讨论很快就有六个小组认为找到了验证存在性的方法，教师与他们分别进行了交流，并要求其中两个小组的代表发言小组1：过作，垂足为，取线段的中点为，则就是轨迹上的一点，因此轨迹是存在的（图1）. 小组2：以为中点作线段，使，则，都为轨迹上的点（图2）.教师：这样我们已经发现了轨迹上的三个特殊点：，并且是关于的对称点这时，一个小组认为该轨迹不但存在，而且一定是轴对称图形，对称轴为直线教师对这一发现非常赞赏，学生们的脸上显露出成功的喜悦，教师把这些特征做了板书（10分钟）（三）描绘出轨迹的图形，给出定义问题3：既然轨迹是存在的，那么它是什么形状？我们能否像椭圆、双曲线一样也用工具描绘出来呢？教师让学生用课前就准备好的纸板、图钉、拉线、直尺以及三角板等工具，寻求画轨迹的方法，并在小组内协作进行学生显然遇到了很大的困难，5分钟过去了，没有一个小组找到办法教师只好让学生停下来，并用较快的速度介绍画法（显然是有点焦急了，因为后面还有许多教学任务等待完成），然后让学生按要求进行操作，多数小组画出了轨迹的图形（图3）教师：请大家考虑，点在运动过程中是否满足了轨迹的条件，并加以说明学生：符合条件，由于绳长等于，即，所以，即点到直尺的距离，因此点到定点的距离等于点到定直线的距离，符合轨迹的条件.接着，教师又用几何画板演示轨迹的描绘过程（图4）：用鼠标拖动点在直线上滑动，则点描绘出轨迹，并让学生留意与的长度始终保持相等教师：至此，我们不仅明确了轨迹的存在性，还描绘出了轨迹的完整图形，这条轨迹在以前的学习中我们已经学过了，如果将图板旋转90像什么？学生：抛物线教师：对，是抛物线，这样我们建立了抛物线的定义板书：平面内，与一个定点和定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线（20分钟）（四）的图象与抛物线定义问题4：初中学习的函数的图象符合抛物线定义吗?教师：以前学习时我们是默认的, 现在已经对抛物线进行了定义, 是否能加以证明?学生：只要证明函数图象上的任意一点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离相等即可.教师: 很好！到一个定点的距离与它到一条定直线的距离相等是定义的本质属性，也是判断一条曲线是否为抛物线的标准. 请大家按照这一想法进行证明.但是, 学生却无从入手. 教师做出提示：应先设出图象上的任意一点、定点的坐标及定直线的方程，才能进行数学证明. 这时，一部分学生已经开始证明了. 很快，有的学生表示已经完成了证明，教师要求各小组进行交流后，将一种典型方法用实物投影显示.证明：设为图象上的任意一点，为定点，为定直线. 令，两边平方并整理，得. ，.因此函数图象上任意点与和定直线的距离相等，显然是抛物线.教师：类似地，可以证明函数的图象也一定是抛物线，随着学习的深入，我们将能证明任何二次函数的图象都是抛物线.（五）巩固定义教师投影（1）如图5，已知定直线及定点，定直线上有一动点，过垂直于的直线与线段的垂直平分线相交于点，则点的轨迹是什么形状的曲线？（2）点与的距离比它到直线的距离小1，点的轨迹是什么形状的曲线？（3）已知圆，动圆与圆外切且与轴相切（图6），的轨迹是什么形状的曲线？对于第（1）题，大部分学生没有遇到太大的困难这时教师指出，刚才利用几何画板描绘抛物线，其制作原理就是利用了本题的条件紧接着，教师打开了文件的所有隐藏，向学生加以说明，这时学生表现出了浓厚的兴趣对于第（2）题，学生很快认识到，若将向右平移一个单位得到直线，那么点与的距离与它到直线的距离相等，符合抛物线的定义，的轨迹是抛物线.对于第（3）题，相当一部分学生产生了困难，教师不急于提示，而是坚持让他们在小组内互相交流，探讨问题的思路，几分钟后基本解决了.教师进一步强调：轨迹的形状判断，要紧扣定义，并充分运用平面图形的几何性质，有时还要对条件进行必要的转化，使之符合抛物线的定义（35分钟）（六）抛物线与椭圆、双曲线的比较教师：现在我们回到问题1上来，通过以上的研究我们得到了较为完美的结果：（1）当时，轨迹为椭圆；（2）当时，轨迹为双曲线；（3）当时，轨迹为抛物线.这恰恰表现出数学的和谐美，我们可以想象：如果把他们放在一起会是什么情景呢？请看投影（图7）.由于，根据以上三种不同取值，容易发现为椭圆，为抛物线，为双曲线的右支. 由此看来，这三种曲线有着其内在的必然联系. 教师让学生翻到教材第90页的章首图，指出：垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到的截面是一个圆.如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到一些不同的图形，本图所示的分别是椭圆、双曲线、抛物线等，其中当截面平行于轴时，所得的图形就是抛物线. 因此，通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.这时已经是45分钟了，看来最后小结只好拖堂了. 但是，学生的表情仍然表现得全神贯注！尽管如此，教师也要做课堂小结了（七）课堂小结教师：我们今天学习了抛物线的定义，主要经历了下列过程：（投影）但是，所有这些仅仅是定性研究，这还远远不够，根据解析几何的基本思想，还需要建立抛物线的方程，并通过方程研究它的性质，这就是我们下一节课的任务.案例：余弦定理（第一课时） 石生民高中数学课例点评M西安：陕西师范大学出版社，2008年，第16-22页一、教学目标1.使学生掌握余弦定理，并会初步运用余弦定理解斜三角形；2.使学生理解用坐标法证明余弦定理的过程，逐步学会用坐标法解决具体问题；3.通过启发、诱导学生发现和证明余弦定理的过程，培养学生观察、分析、归纳、猜想、抽象、概括等逻辑思维能力；4.通过发现教学法，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学、现身科学、勇于创新的精神。二、教学重点难点重点：余弦定理及其发现和证明。难点：余弦定理的证明。关键：建立适当的直角坐标系。三、教具准备三角板，投影仪，投影片1和投影片2.四、教学过程（一）复习教师：叙述任意角的三角函数的定义。（在黑板上作图1）学生：，它们分别叫做角的正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数，统称为三角函数。（二）发现教师：请同学们考虑并回答下面的问题：在直角三角形中，已知两个锐角和三边共五个元素中的几个怎样的元素，可以求其余元素？学生：两个元素。教师：是否有不同的意见和补充？学生1：其中至少有一边。教师：好！在这样的条件下，其余元素均可求，这时直角三角形是确定的。那么，在斜三角形中三个角和三边共六个元素，已知几个怎样的元素可确定这个三角形？学生：三个，其中至少有一边。教师：已知两边一夹角，三角形能否确定？说明理由。（在黑板上作图2）学生：能，根据三角形全等的判定定理。教师：既然在这样的条件下三角形是确定的，那么，其余元素，比如第三边与已知的两边一夹角一定存在着某种必然的联系，让我们从特殊的三角形直角三角形入手，来研究这个问题（出示投影片1）。教师：问题1：如果已知，怎样求斜边？学生：勾股定理：。 （*）教师：问题2：若已知，及，怎样用它们表示直角边？学生：（困惑，期待）教师：受（*）式启发，与，之间仍然存在着“平方和”关系：。教师：想一想，若已知，及，怎样用其表示？学生：。教师：能否将（*）式也写成，的形式？学生：能，。教师：太好了！显然，三个等式的结构相同，这是巧合吗？（稍停，语气加重）不，这是我们发现的一个客观规律！学生：（惊奇转而兴奋）。教师：你能否用文字语言叙述这一规律？学生3：直角三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。教师：很好！得出了这一规律以后，你想到了什么？学生：它在斜三角形中是否也成立。教师：太棒了！我非常高兴地告诉大家，你们的这个猜想是正确的，这就是我们这节课学习的重要定理余弦定理（板书课题）。（三）证明教师：下面我们来证明余弦定理，余弦定理的证明有很多方法，你能想到哪些方法？学生4：作一个已知边的高，利用直角三角形证明。学生5：在直角坐标系中证明。教师：对于学生4 的方法，若三角形是锐角三角形，则任意边的高均在三角形内，而三角形如果是钝角三角形（在黑板上作出图2），则夹钝角的两边上的高均在三角形外，因而 需要讨论这两种情况，同学们可以在课后试一下。对于学生5的方法，我们称为坐标法，它是处理几何问题的一种常用方法，下面我们用坐标法来证明余弦定理。想一想，用坐标法证明，你应该先做什么？学生：建立直角坐标系。教师：你怎样建立直角坐标系？为什么？学生6：以顶点为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系。好像前面一些三角公式的推导，也是这样建立直角坐标系的。教师：对，其实这样建立直角坐标系，可使三点坐标容易表示，为下面的证明带来方便。（在图2中建立直角坐标系变为图3），请指出三点的坐标。学生7：，。教师：很好！你能否证明下去？（指向图3）学生7：由两点的距离公式有 ，两边平方，得。教师：这就是等式，若分别以为原点建立相应的直角坐标系（出示投影片2），则会得出怎样的等式？学生：，。教师：以上两个等式分别为等式和。至此，我们证明了等式在斜三角形中也成立，即余弦定理得到了证明。（用彩笔将等式，框起来）请你用文字语言叙述余弦定理。学生8：（任意）三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍。（四）剖析教师：勾股定理与余弦定理有什么关系？学生9：勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广。教师：余弦定理共有三个等式，每个等式都有同一个三角形中的四个元素，那么余弦定理的作用是什么？学生10：已知三角形中的三个元素，可用余弦定理求出其余元素。教师：是否有不同的意见？学生11：三个元素中至少有一边。学生12：不对！三个元素中至少有两边。教师：还有吗？学生13：已知三个元素应是两边夹一角，或三边。学生14：已知两边和一边对角应该也能用余弦定理求出其他元素。教师：为什么？学生14：教师：学生14的见解是否正确还不得而知，但是很有价值，我们以后会研究这个问题。学生13说出了余弦定理的两种不同情况的用途，那么已知三边如何求角？学生15：用，（或）教师：这是余弦定理的三个变形，与余弦定理的三个等式同样的重要。（五）应用教师：请看投影屏幕，应用余弦定理解决几个问题，计算时可以使用计算器。【显示】：（1）在中：（）已知，求；（）已知，求；（）已知，求；（2）在中，已知，求及。学生16：（）；（）；（）。学生17：，。（六）小结教师：本节课我们学习了一个非常重要的定理余弦定理。（1）请同学们掌握余弦定理，会熟练地运用它解决已知三角形两边夹一角和三角形三边求其余的边和角的问题。（2）我们用坐标法证明了余弦定理，请同学们要理解这个证明过程，要逐步学会运用坐标法。（3）我们运用了由特殊到一般的方法，“发现”了余弦定理，这种方法是人们认识客观世界的一种重要的方法，也是数学发现的重要方法之一，我们要逐步学会并善于运用这种方法探索数学问题，提高我们的创造能力。（七）作业（1）常规作业（2）课后研究题：已知三角形的两边和其中一边的对角，能否利用余弦定理求出其余的边和角？给出一个令你自己满意的结论。案例：圆的一般方程的习题课 石生民高中数学课例点评M西安：陕西师范大学出版社，2008年，第50-53页一、教材分析 高中平面解析几何（必修）第64页“2.6圆的一般方程”为2课时，本节课是在学习了圆的一般方程后设计的一堂习题课，内容是圆的轨迹方程的探求。教材上的内容较简单，只有第66页上的例2如果不对教材深入挖掘，不注意教材的纵横联系，将会失去一次培养学生探究和应用能力的机会本节课站在着眼于发展学生潜能的高度设计教学过程，教学生学会学习和学会创造，同时培养学生的应用意识教学目标：通过本节课的教学，使学生掌握圆的轨迹的求法，同时通过引导学生挖掘教材内涵，培养学生探究和应用的能力，提高学生的整体素质教材重点：轨迹方程的探求教学难点：应用问题的建模二、教学设计美国著名数学教育家波利亚认为：学习任何东西的最好途径是学生自己去发现，为了有效地学习，学生应当在给定的条件下，尽量多地自己去发现要学习的材料（主动学习原则）；学习材料的生动和趣味是学习的最佳刺激，强烈的心智活动所带来的愉快乃是这种活动的最好报偿，所以他认为，最佳学习动机是“学生应当对学习的材料感兴趣，并且在学习活动中找到乐趣”（最佳动机原则）；学生必须学习有序，教师教学有进（阶段渐进原则）波利亚的“教与学三原则”为本节课的教学设计提供了理论依据，对习题课的教学具有重要的指导意义本节习题课采用“引导探究型”教学模式设计所谓“引导探究”是教师把教学内容设计为若干问题，从而引导学生进行探究的课堂教学模式，教师在教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机地结合起来，教师的每项教学措施，都会给学生创造一种思维情境，一种动脑、动手、动口，并主动参与学习的机会，激发学生的求知欲，促使学生解决问题，其教学模式是：三、教学过程1复习旧知，以旧悟新教师：我们已经学习了圆的一般方程，圆的一般方程的形式怎样？它的圆心坐标和半径是什么?学生1：当时，叫做圆的一般方程，它的圆心坐标为，半径教师：求曲线（图形）的方程分几个步骤?学生2：（1）建立直角坐标系，用表示曲线上任意一点的坐标；（2）用坐标表示条件，列出方程；（3）化方程为最简形式教师：今天我们继续学习圆的一般方程（板书课题）2提出问题，自我练习教师：下面我们来求一条曲线的方程（幻灯片显示）例1 已知一条曲线是与两定点，距离的比为的点的轨迹，求这条曲线的方程并画出曲线（学生自我练习，一位学生上黑板板书，教师巡视，对基础差的学生予以启发）学生3：解：在给定的坐标系里，设点是曲线上任意一点，由两点间的距离公式得，将上式两边平方整理，得，这就是所求的曲线方程3讲评点拨，强化矫正教师根据巡视得到的反馈信息进行讲评教师：上述解答过程中，和两点间的距离表示为，对吗？，表示什么？和之间的距离应怎样表示？学生4：，分别表示的是有向线段，的数量，和两点间的距离应表示为，教师：求出曲线方程以后，依题意还要画出曲线，这个方程表示什么曲线？为了画出曲线，应先求一些什么量？学生5：这个曲线方程表示的是圆的方程，圆心坐标为，半径教师补充画图形（略）4深化探索，内化回味教师：以上题为基础，改动其中某些数值，编出一些新题，结果如何？学生6：将定点改为，则由，经整理化简，得，所表示的曲线仍然是圆学生7：将定点改为，比值改为，得到的曲线方程为，还是圆的方程教师：由此你们能猜测出什么结论？学生8：在平面内一个动点到两个定点的距离的比是常数的轨迹是圆教师：此题即课本第143页第3题，请同学们证明学生8：以两点连结线段的中点为原点，两定点所在的直线为轴，建立直角坐标系，设点的坐标为，点的坐标为，动点的坐标为，由，经整理化简，得。当时，方程变形为，配方整理，得，此方程表示的曲线是圆当时，点的轨迹是线段的垂直平分线（轴）教师：以上证明很好，从上述证明中可知时才是圆的方程，因此猜测必须加上教师：下面我们再看一道应用题（幻灯片显示）例2 有一种商品，、两地都有出售，两地的售价相同，但某地区的居民从地往回运时，每单位距离运费是从地往回运的2倍，已知、两地距离为3公里，顾客购买这种商品选择从或购买的标准是包括运费在内的总费用比较便宜，求、两地售货区域分界线的轨迹图形及居民选择在或购货的区域学生9：若以点为原点，为轴正向建立直角坐标系，则解答过程同例1，在圆周上的居民到两地购买总费用相同，圆周内居民到处购买合算，而圆周外的居民则到地购货合算教师：本节课我们学习了轨迹方程的探求，由例1的进一步探索，我们得到了圆的又一定义：平面内一个动点到两个定点的距离之比为（）的轨迹是圆将例1演变为例2，则得到了一道与生活相关的应用题，解答应用题的关键是将实际问题转化、抽象为数学问题，如将例2转化抽象为例1，然后解答5布置作业，巩固深化第69页第14，15题一次函数复习课案例【教材分析】本课的内容是人教版八年级上册第11章复习课，是对本章关于一次函数重点内容的复习，本章中关于一次函数的知识结构如图所示：一次函数一次函数的图象一次函数的性质图象特征及画法与正比例函数图象的联系解析式的确定增减性应用通过本课的学习使学生巩固一次函数图象的画法和一次函数的性质，并对一次函数进行拓展，是今后继续学习其它函数的基础，本章起着承上启下的作用。本节教学内容还是学生进一步学习“数形结合”这一数学思想方法的很好素材。【学情分析】本节课主要是复习巩固一次函数的图象与性质，是在学完一次函数之后，并初步了解了如何研究一个具体函数的图象与性质的基础上进行的。原有知识与经验对本节课的学习有着积极的促进作用，在复习巩固的过程中，学生进一步理解知识，促进认知结构的完善，进一步体验研究函数的基本思路，而这些目标的达成要求教学必须发挥学生的主体作用，给予学生足够的活动、探究、交流、反思的时间与空间，不以老师的讲演代替学生的探索。【教学目标】知识与技能（1）进一步理解一次函数和正比例函数的意义；（2）会画一次函数的图象，并能结合图象进一步研究相关的性质；（3）巩固一次函数的性质，并会应用。过程与方法（1）通过先基础在提升的过程，使学生巩固一次函数图象和性质，并能进一步提升自己应用的能力；（2）通过习题，使学生进一步体会“数形结合”、“方城思想”、“分类思想”以及“待定系数法”。情感态度与价值观（1）通过画函数图象并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美；（2）在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。【教学重难点】教学重点：复习巩固一次函数的图象和性质，并能简单应用。教学难点：在理解的基础上结合数学思想分析、解决问题。【教法、学法】1、教学方法依据当前素质教育的要求：以人为本，以学生为主体，让教最大限度的服务与学，因此选用了以下教学方法。（1）自学体验法让学生通过作图经历体验并发现问题，分析问题，进一步解决问题。 目的：通过这种教学方式来激发学生学习的积极主动性，培养学生独立思考能力和创新意识。 （2）直观教学法利用多媒体现代教学手段。目的：通过几何画板动画演示来激发学生学习兴趣，把抽象的知识直观的展现在学生面前，逐步将他们的感性认识引领到理性的思考。2、学法指导作为一名合格的老师，不止局限于知识的传授，更重要的是使学生学会如何去学。本着这样的原则，课上指导学生采用以下学习方法。（1）自主探究。培养学生独立思考能力，阅读能力和自主探究的学习习惯。（