二次函数中的存在性问题(含答案解析).docx

2018年8月4日初中数学试卷一、综合题（共9题；共135分）1.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（2，4），与x轴交于A、B两点，且A（6，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的函数解析式； （2）求ABC的面积； （3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由 2.（2017乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与直线y=x+1相交于A（1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）（1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PDx轴于点D，交直线AB于点E当PE=2ED时，求P点坐标；是否存在点P使BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 3.（2017赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式； （2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值； （3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使BDQ中BD边上的高为2 2 ？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由 4.（2017广元）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（3，0），B（2，3），C（0，3），其顶点为D（1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求APC的面积的最大值； （4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EFND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由 5.（2017巴中）如图，已知两直线l1 ， l2分别经过点A（1，0），点B（3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0， 3 ）时，恰好有l1l2 ， 经过点A，B，C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点（1）求抛物线的函数解析式； （2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由； （3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标 6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴x=1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标； （3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标 7.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当BCP面积最大时，求点P的坐标； （3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由 8.（2017临沂）如图，抛物线y=ax2+bx3经过点A（2，3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB（1）求抛物线的解析式； （2）点D在y轴上，且BDO=BAC，求点D的坐标； （3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由 答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，函数图象顶点为M（2，4），y=a（x+2）24，又函数图象经过点A（6，0），0=a（6+2）24解得a= 14 ，此函数的解析式为y= 14 （x+2）24，即y= 14 x2+x3；（2）解：点C是函数y= 14 x2+x3的图象与y轴的交点，点C的坐标是（0，3），又当y=0时，有y= 14 x2+x3=0，解得x1=6，x2=2，点B的坐标是（2，0），则SABC= 12 |AB|OC|= 12 83=12；（3）解：假设存在这样的点，过点P作PEx轴于点E，交AC于点F设E（x，0），则P（x， 14 x2+x3），设直线AC的解析式为y=kx+b，直线AC过点A（6，0），C（0，3）， 6k+b=03=b ，解得 k=12b=3 ，直线AC的解析式为y= 12 x3，点F的坐标为F（x， 12 x3），则|PF|= 12 x3（ 14 x2+x3）= 14 x2 32 x，SAPC=SAPF+SCPF= 12 |PF|AE|+ 12 |PF|OE|= 12 |PF|OA|= 12 （ 14 x2 32 x）6= 34 x2 92 x= 34 （x+3）2+ 274 ，当x=3时，SAPC有最大值 274 ，此时点P的坐标是P（3， 154 ） 【考点】二次函数的应用 【解析】【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得a、b、c的值，即可解题；（2）易求得点B、C的坐标，即可求得OC的长，即可求得ABC的面积，即可解题；（3）作PEx轴于点E，交AC于点F，可将APC的面积转化为AFP和CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF，这一个底上的高的和又恰好是A、C两点间的距离，因此若设设E（x，0），则可用x来表示APC的面积，得到关于x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题2.【答案】（1）解：点B（4，m）在直线y=x+1上，m=4+1=5，B（4，5），把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得 ab+c=016a+4b+c=525a+5b+c=0 ，解得 a=1b=4c=5 ，抛物线解析式为y=x2+4x+5（2）解：设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），则PE=|x2+4x+5（x+1）|=|x2+3x+4|，DE=|x+1|，PE=2ED，|x2+3x+4|=2|x+1|，当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=2，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P（2，9）；当x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=1或x=6，但当x=1时，P与A重合不合题意，舍去，P（6，7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，7）；设P（x，x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），BE= (x4)2+(x+15)2 = 2 |x4|，CE= (x5)2+(x+1)2 = 2x28x+26 ，BC= (45)2+(50)2 = 26 ，当BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则 2 |x4|= 2x28x+26 ，解得x= 34 ，此时P点坐标为（ 34 ， 11916 ）；当BE=BC时，则 2 |x4|= 26 ，解得x=4+ 13 或x=4 13 ，此时P点坐标为（4+ 13 ，4 13 8）或（4 13 ，4 13 8）；当CE=BC时，则 2x28x+26 = 26 ，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ 34 ， 11916 ）或（4+ 13 ，4 13 8）或（4 13 ，4 13 8）或（0，5） 【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标3.【答案】（1）解：抛物线的顶点C的坐标为（1，4），可设抛物线解析式为y=a（x1）2+4，点B（3，0）在该抛物线的图象上，0=a（31）2+4，解得a=1，抛物线解析式为y=（x1）2+4，即y=x2+2x+3，点D在y轴上，令x=0可得y=3，D点坐标为（0，3），可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=1，直线BD解析式为y=x+3（2）解：设P点横坐标为m（m0），则P（m，m+3），M（m，m2+2m+3），PM=m2+2m+3（m+3）=m2+3m=（m 32 ）2+ 94 ，当m= 32 时，PM有最大值 94（3）解：如图，过Q作QGy轴交BD于点G，交x轴于点E，作QHBD于H，设Q（x，x2+2x+3），则G（x，x+3），QG=|x2+2x+3（x+3）|=|x2+3x|，BOD是等腰直角三角形，DBO=45，HGQ=BGE=45，当BDQ中BD边上的高为2 2 时，即QH=HG=2 2 ，QG= 2 2 2 =4，|x2+3x|=4，当x2+3x=4时，=9160，方程无实数根，当x2+3x=4时，解得x=1或x=4，Q（1，0）或（4，5），综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（1，0）或（4，5） 【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QGy轴，交BD于点G，过Q和QHBD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标4.【答案】（1）解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得9a3b+c=04a2b+c=3c=3 ，解得 a=1b=2c=3 ，抛物线的解析式为y=x22x+3（2）解：配方，得y=（x+1）2+4，顶点D的坐标为（1，4）作B点关于直线x=1的对称点B，如图1，则B（4，3），由（1）得D（1，4），可求出直线DB的函数关系式为y= 15 x+ 195 ，当M（1，m）在直线DN上时，MN+MD的值最小，则m= 15 1+ 195 = 185 （3）解：作PEx轴交AC于E点，如图2，AC的解析式为y=x+3，设P（m，m22m+3），E（m，m+3），PE=m22m+3（m+3）=m23mSAPC= 12 PE|xA|= 12 （m23m）3= 32 （m+ 32 ）2+ 278 ，当m= 32 时，APC的面积的最大值是 278（4）解：由（1）、（2）得D（1，4），N（1，2）点E在直线AC上，设E（x，x+3），当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x22x+3），EF=DNx22x+3（x+3）=42=2，解得，x=2或x=1（舍去），则点E的坐标为：（2，1）当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x22x+3），EF=DN，（x+3）（x22x+3）=2，解得x= 3+172 或x= 3172 ，即点E的坐标为：（ 3+172 ， 3+172 ）或（ 3172 ， 3172 ）综上可得满足条件的点E为E（2，1）或：（ 3+172 ， 3+172 ）或（ 3172 ， 3172 ） 【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题 【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案.（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B，连接BD，BD与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值.（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.（4）设出点E的坐标，分情况讨论；当点E再线段AC上时，点F在点E上方；当点E再线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标.5.【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c点A（1，0），点B（3，0），点C（0， 3 ）在抛物线上， a+b+c=09a3b+c=0c=3 ，解得 a=33b=233c=3 ，抛物线的函数解析式为y= 33 x2 233 x+ 3（2）解：DG=DE理由如下：设直线l1的解析式为y=k1x+b1 ， 将A（1，0），C（0， 3 ）代入，解得y= 3 x+ 3 ；设直线l2的解析式为y=k2x+b2 ， 将B（3，0），C（0， 3 ）代入，解得y= 33 x+ 3 ；抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，又点G、D、E均在对称轴上，G（1，2 3 ），D（1， 433 ），E（1， 233 ），DG=2 3 433 = 233 ，DE= 433 233 = 233 ，DG=DE；（3）解：若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当MCG为等腰三角形时，分三种情况：以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（2， 3 ）；以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3 ， 点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合；作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5 ， 点M4与点D重合，点D的坐标为（1， 433 ），M5与M1重合；综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（2， 3 ），（1， 433 ） 【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c分别将A（1，0），B（3，0），C（0， 3 ）三点坐标代入得到一个三元一次方程组，解之即可得到抛物线解析式.（2）DG=DE分别求出过A（1，0），C（0， 3 ）两点的直线l1的解析式为y= 3 x+ 3 ；过B（3，0），C（0， 3 ）两点的直线l2的解析式为y= 33 x+ 3 ；由二次函数的性质和已知条件求出DG和DE的长度即可.（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当MCG为等腰三角形时，分三种情况：以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1（2， 3 ）；以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3 ， ；作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5.6.【答案】（1）解：依题意得： b2a=1a+b+c=0c=3 ，解之得： a=1b=2c=3抛物线解析式为y=-x2-2x+3对称轴为x=-1，且抛物线经过A（1，0），把B（-3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得 3m+n=0n=3 ，解之得： m=1n=3 ，直线y=mx+n的解析式为y=x+3（2）解：设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x=-1代入直线y=x+3得，y=2，M（-1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（-1，2）（3）解：如图：设P（-1，t），又B（-3，0），C（0，3），BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2 ， PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2-6t+10解之得：t=-2；若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2-6t+10=4+t2解之得：t=4，若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2-6t+10=18解之得：t1= 3+172 ，t2= 3172 ；综上所述P的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1， 3+172 ） 或（-1， 3172 ） 【考点】二次函数的应用，二次函数的实际应用-动态几何问题 【解析】【分析】先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MA+MC的值最小把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2 ， PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标7.【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），把C（0，3）代入得a1（3）=3，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x+1）（x3），即y=x2+2x+3（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+m，把B（3，0），C（0，3）代入得 3k+m=0m=3 ，解得 k=1m=3 ，所以直线BC的解析式为y=x+3，作PMy轴交BC于M，如图1，设P（x，x2+2x+3），（0x3），则M（x，x+3），PM=x2+2x+3（x+3）=x2+3x，SPCB= 12 3PM= 32 x2+ 92 = 32 （x 32 ）2+ 278 ，当x= 32 时，BCP的面积最大，此时P点坐标为（ 32 ， 154 ）（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线x=1，当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），则Q（4，a3），把Q（4，a3）代入y=x2+2x+3得a3=16+8+3，解得a=2，Q（4，5）；当四边形BCQD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3+a），把Q（2，3+a）代入y=x2+2x+3得3+a=44+3，解得a=8，Q（2，5）；当四边形BQCD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3a），把Q（2，3a）代入y=x2+2x+3得3a=4+4+3，解得a=0，Q（2，3），综上所述，满足条件的Q点坐标为（4，5）或（2，5）或（2，3） 【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=x+3，作PMy轴交BC于M，如图1，设P（x，x2+2x+3），（0x3），则M（x，x+3），利用三角形面积公式得到SPCB= 12 3PM= 32 x2+ 92 ，然后根据二次函数的性质求解