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数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 1 第三章第三章 函数极限函数极限 在数学分析中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限” ，第二部 分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特 例. 通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说： “极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列这种 n a 变量即是研究当时，的变化趋势.n n a 我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是 n afN ，即 n a ; 或 或.:() n fNR na ( ), n f na nN( ) n f na 研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势. n an ( )f n 此处函数的自变量 n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即( )f n .但是，如果代之正整数变量 n 而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体n xR 地说，此时自变量 x 可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？x 为此，考虑下列函数: 1,0; ( ) 0,0. x f x x 类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x ( )f x 时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量x ( )f xx ( )f x 时，的变化趋势, .xa( )f x 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同 时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、 证明方法上都类似于数列的极限. 下面，我们就依次讨论这些极限. 11 函数极限的概念函数极限的概念 教学目标教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 2 教学要求教学要求：掌握当；时函数极限的分析 0 xx xxx 0 xx 0 xx 定义，并且会用函数极限的分析定义证明和计算较简单的函数极限 教学建议：教学建议：本节的重点是各种函数极限的分析定义对多数学生要求主要掌握当时函数 0 xx 极限的分析定义，并用函数极限的分析定义求函数的极限. 一、一、时函数的极限时函数的极限x ( (一一) ) 引言引言 设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值 ,)a x 能否无限地接近于某个定数.这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数 都具此性质. 例如 无限增大时，无限地接近于 0；无限增大时， 1 ( ),f xx x ( )f x( ),g xarctgx x 无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近.正因为如此，( )f x 2 ( ),h xx x( )f x 所以才有必要考虑时，的变化趋势.我们把象，这样当时，对x ( )f x( )f x( )g xx 应函数值无限地接近于某个定数的函数称为“当时有极限”.x 问题问题 如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.x ( (二二) ) 时函数极限的定义时函数极限的定义x 定义定义 1 1 设为定义在上的函数，为实数.若对任给的，存在正数，f ,)a 0()a 使得当时有 , 则称函数当时以为极限.记作xM|( )|f xAfx 或.lim( ) x f xA ( )()f xA x ( (三三) ) 几点注记几点注记 1、义 1 中作用与数列极限中作用相同，衡量与的接近程度，正数的作用与( )f x 数列极限定义中相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比大的所有实x 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 3 数，而不仅仅是正整数 n.x 2、的邻域描述：当时，lim( ) x f xA ,(),U()xU( )( ; ).f xU A 3、的几何意义：对，就有和两条直线，形成以为中lim( ) x f xA yAyA 心线，以为宽的带形区域.“当时有”表示：在直线的右方，曲2xM|( )|f xAxM 线全部落在这个带形区域内.( )yf x 如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域xM 如何窄，总存在正数，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内.( )yf xxM 4、现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无f()U ( )U x x ( )f x 限地接近于常数，则称当或时时以为极限，分别记作，fx x 或，lim( ) x f xA ( )()f xA x 或.lim( ) x f xA ( )()f xA x 这两种函数极限的精确定义与定义 1 相仿，简写如下： 当时，lim( ) x f xA 0,0,M xM |( )|f xA 当时，.lim( ) x f xA 0,0,M |xM|( )|f xA 5、推论推论 设为定义在上的函数，则( )f x( )U .lim( ) x f xA lim( )lim( ) xx f xf xA ( (四四) ) 利用利用的定义验证极限等式举例的定义验证极限等式举例lim( ) x f x 例例 1 1 证明 . 1 lim0 x x 例例 2 2 证明 1）；2）.lim 2 x arctgx lim 2 x arctgx 二、二、时函数的极限时函数的极限 0 xx ( (一一) ) 引言引言 上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是fx f ,)a ，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数.()U f()U x ( )f x 本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，.现在讨论当f 0 x 0 0 Ux 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 4 时，对应的函数值能否趋于某个定数数列. 00 ()xxxx 先看下面几个例子： 例例 1 1 .（是定义在上的函数，当时，）.( )1(0)f xx( )f x 0(0) U0x ( )1f x 例例 2 2 .（是定义在上的函数，当时，）. 2 4 ( ) 2 x f x x ( )f x 0(2) U2x ( )4f x 例例 3 3 .（是定义在上的函数，当时，）. 1 ( )f x x ( )f x 0(0) U0x ( )?f x 由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数 00 ()xxxx( )f x ；但对有些函数却无此性质.所以有必要来研究当时，的变化趋势. 00 ()xxxx( )f x 我们称上述的第一类函数为当时以为极限，记作.( )f x 0 xx 0 lim( ) xx f xA 和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法.不是严格的数学定义.那么如何给 出这类函数极限的精确定义呢？ 作如下分析： “当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数”只要充分x 0 x( )f xx 接近，函数值和的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可 0 x( )f x|( )|f xAx 0 x 以了.即对，当时，都有.此即.0,0 0 0 |xx|( )|f xA 0 lim( ) xx f xA ( (二二) ) 时函数极限的时函数极限的定义定义 00 ()xxxx 定义定义 2 2 设函数在点的某个空心邻域内有定义，为定数，若对任给的( )f x 0 x 0 0; Ux ，使得当时有，则称函数当 趋于时以0,()0 0 0 |xx|( )|f xAfx 0 x 为极限（或称为时的极限） ，记作或（. 0 xx( )f x 0 lim( ) xx f xA 0 ( )()f xA xx ( (三三) ) 函数极限的函数极限的定义的几点说明定义的几点说明 1、是结论，是条件，即由推出.|( )|f xA 0 0 |xx 0 0 |xx 2、是表示函数与的接近程度的.为了说明函数在的过程中，能够任( )f x( )f x 0 xx 意地接近于，必须是任意的.这即的第一个特性任意性，即是变量；但一经给定 之后，暂时就把看作是不变的了.以便通过寻找，使得当时成 0 0 |xx|( )|f xA 立.这即的第二特性暂时固定性.即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数， 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 5 则均为任意正数，均可扮演的角色.也即的第三个特性多值性；（ 2 , 2 ）|( )|f xA|( )|f xA 3、是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的.它的第一个特性x 0 xN 是相应性.即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记0 之为；一般说来，越小，越小.但是，定义中是要求由推出 0 (; )x 0 0 |xx 即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不|( )|f xA, 2 3 是唯一的.这即的第二个特性多值性. 4、在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数f 0 xf 0 x 值是否存在，或者取什么样的值.这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程x 0 x 中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关.所以可以不考虑在点 a 的函数值是否存在，f 或取何值，因而限定“”. 0 0 |xx 5、定义中的不等式；.从而定 0 0 |xx 0 0 (, )xUx|( )|( )( ; )f xAf xU A 义 2，当时，都有，使得0,0 0 0 (, )xUx( )( ; )f xU A0,0 . 0 0 (, )( ; )f UxU A 6、定义的几何意义. 例例 1 1 设，证明：. 2 4 ( ) 2 x f x x 2 lim( )4 x f x 例例 2 2 设，讨论时的极限.( )1(0)f xx0x ( )f x 例例 3 3 证明 1）；2）. 0 0 limsinsin xx xx 0 0 lim coscos xx xx 例例 4 4 证明 . 2 2 1 12 lim 213 x x xx 例例 5 5 证明 . 0 22 0 lim 11 xx xx 0 (| 1)x 例例 6 6 证明 . 00 0 lim,lim xxxx CCxx 例例 7 7 证明 )0( 11 lim a ax ax . 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 6 证明证明 注意到 ax ax ax 11 ，要想它任意小， ax 可任意小， x 却不能任意小，当 ax 时，它必须远离零点.当2 a ax 时，2 a axax 就远离零点了. 0 , 取 ) 2 , 2 min( 2 aa ，则当 ax0 时, 有 2 |211 a ax ax . 例例 8 8 证明 ax ax lim . 证明证明 先设 0a ，要证 0lim 0 x x， 0 ，要使 xx , 取 2 ，则当 x0 时，有 xx ，即 0lim 0 x x. 再设0a， 0 , 要使 ax ， 注意到 ax aax ax ax 1 ， 只要 ax a 1 , 且 0x ，取 ) 2 ,min( a a ，则当 ax0 时，有 ax ， 即 ax ax lim . 例例 9 9 验证 . 2 2 2 lim 2 2 x xx x 证明证明 . 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 2 4 2 3 22 2 x x x x x x x x xx xx 例例 1010 验证 . 5 12 372 933 lim 2 23 3 xx xxx x 证明证明 由 , 3x 5 12 )3( ) 12( )3( )3( 5 12 372 933 2 2 23 xx xx xx xxx =. 12 395 125 395 5 12 12 3 2 x xx x xx x x 为使 需有 ,11635615595xxx; 13 x 为使 需有 , 1325562 12xxx . 2 3 x 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 7 于是, 倘限制 , 就有130 x . 5 12 372 933 2 23 xx xxx 12 395 x xx .311 1 311 x x 三、单侧极限三、单侧极限 ( (一一) ) 引言引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如 2 1 ,0 ( ) ,0 xx f x x x 或函数在某些点仅在其一侧有定义，如 . 2( ) ,0fxx x 这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法） ，而要从这些点的某一侧来讨论.如讨论在时的极限.要在的左右两侧分别讨 1( ) f x0x 0x 论.即当而趋于 0 时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于 0 时，应0x 2 1( ) f xx0x 按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于 0 时 1( ) f xx 2( ) fx0x 0x 来考察.为此，引进“单侧极限”的概念. ( (二二) ) 单侧极限的定义单侧极限的定义 定义定义 3 3 设函数在内有定义，为定数.若对任给的，使得f 0 0 (;)Ux 0,()0 当时有, 则称数为函数当趋于时的右极限，记作 00 xxx|( )|f xAfx 0 x 或或. 0 lim( ) xx f xA 0 ( )()f xA xx 0 (0)f xA 类似可给出左极限定义（，或或 0 0 (; )Ux 00 xxx 0 lim( ) xx f xA 0 ( )()f xA xx ）. 0 (0)f xA 注注 右极限与左极限统称为单侧极限. ( (三三) ) 例子例子 例例 1 1 讨论函数在的左、右极限. 1( ) f x0x 例例 2 2 讨论在的左、右极限.sgn x0x 例例 3 3 讨论函数在处的单侧极限. 2 1x1 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 8 ( (四四) ) 函数极限函数极限与与的关系的关系 0 lim( ) xx f x 00 lim( ), lim( ) xxxx f xf x 定理定理 3.13.1 . 0 00 lim( )lim( )lim( ) xx xxxx f xAf xf xA 证明证明 必要性: 0 , 由 Axf xx )(lim 0, 0 , 使得当 0 0xx 时，有 Axf)( ，特别地当 0 0xx 时，有 Axf)( ，故 Axf xx )(lim 0 0. 同理当 xx00 时，也有 Axf)( , 故 Axf xx )(lim 0 0. 充分性: 0 , 由 Axf xx )(lim 0 0， 0 1 , 使得当 10 0xx 时，有 Axf)( , 又由 Axf xx )(lim 0 0, 0 2 , 使得当 20 0xx 时，有 Axf)( . 令 ),min( 21 , 当 0 0xx 时，有 Axf)( ，故 Axf xx )(lim 0. 注注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理 3.1 知：.还可说明某些函 1 0 lim( )0 x f x 数极限不存在，如由例 2 知不存在.2），可能毫无关系， 0 limsgn x x 0 (0)f x 0 (0)f x 0 ()f x 如例 2. 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 9 22 函数极限的性质函数极限的性质 教学目标教学目标：使学生掌握函数极限的基本性质. 教学要求教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等. 教学重点教学重点：函数极限的性质及其计算. 教学难点教学难点：函数极限性质证明及其应用. 教学方法教学方法：讲练结合. 在1 中我们引进了下述六种类型的函数极限： 1、；2、；3、；4、;5、；6、.lim( ) x f x lim( ) x f x lim( ) x f x 0 lim( ) xx f x 0 lim( ) xx f x 0 lim( ) xx f x 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以为代表来叙述并证明这些性质. 0 lim( ) xx f x 至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可. 一、函数极限的性质一、函数极限的性质 性质性质 1 1（唯一性）（唯一性） 如果 )(limxf ax 存在，则必定唯一. 证法一证法一 设 )(limxf axA ， Bxf ax )(lim ,则 , 0, 0 1 当 1 |0ax 时， |)(|Axf , (1) , 0 2 当 2 |0ax 时， |)(|Bxf . (2) 取 2, 1 min ，则当 ax0 时（1）和（2）同时成立. 因而有 2)()()()(BxfAxfBxfAxfBA , (3) 由的任意性， （3）式只有当 0 BA 时，即 BA 时才成立. 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 10 证法二证法二 反证,如 )(limxf axA ， Bxf ax )(lim 且 BA ，取 2 0 BA ，则 0 ，使当 ax0 时， 00 )(,)(BxfAxf , 即 2 )( 2 00 BA BxfA BA 矛盾. 性质性质 2 2（局部有界性局部有界性） 若存在，则在的某空心邻域内有界. 0 lim( ) xx f x f 0 x 证明证明 取 1 0 , 由 Axf xx )(lim 0, 0 , 当 0 0xx 时, 有 1)( Axf , 即 1)()(AAxfAxf ， 说明 )(xf 在 );( 00 xU 上有界， 1A 就是一个界. 性质性质 3 3（保序性）（保序性） 设 bxf ax )(lim ， cxg ax )(lim . 1）若 cb ，则 0 0 ，当 0 0ax 时有 )()(xgxf ； 2）若 0 0 ，当 0 0ax 时有 )()(xgxf ，则 cb .（保不等式性保不等式性） 证明证明 1） 取 2 0 cb 即得.2）反证，由 1）即得. 注注 若在 2）的条件中, 改“”为“”, 未必就有)()(xgxf)()(xgxf 以 举例说明BA 0 , 1)( ,1)( 0 2 xxgxxf 推论（局部保号性）推论（局部保号性） 如果 bxf ax )(lim 且 0b ，则 0 0 使当 0 0ax 时 )(xf 与 b同号. 性质性质 4 4（迫敛性迫敛性） 设，且在某内有， 00 lim( )lim ( ) xxxx f xh xA 0 0 (;)Ux( )( )( )f xg xh x 则. 0 lim ( ) xx h xA 证明证明 0 , 由 Axf xx )(lim 0， 0 1 ，使得当 10 0xx 时， 有 Axf)( ，即 AxfA)( . 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 11 又由 Axh xx )(lim 0， 0 2 ，使得当 20 0xx 时 ，有 Axh)( ， 即 AxhA)( . 令 ),min( 21 ，则当 0 0xx 时，有 AxhxgxfA)()()( 即 Axg)( ，故 Axg xx )(lim 0. 性质性质 6 6（四则运算法则四则运算法则） 若和都存在，则函数当时极限 0 lim( ) xx f x 0 lim( ) xx g x ,fg fg 0 xx 也存在，且 1）；2）. 000 lim( )( )lim( )lim( ) xxxxxx f xg xf xg x 000 lim( )( )lim( ) lim( ) xxxxxx f xg xf xg x 又若，则当时极限也存在，且有 3）. 0 lim( )0 xx g x f g 0 xx 0 0 0 lim( ) ( ) lim ( )lim( ) xx xx xx f x f x g xg x 3 3）的证明）的证明 只要证 Bxg xx 1 )( 1 lim 0 ，令 0 2 0 B ，由 Bxg xx )(lim 0， 0 1 使得当 10 0xx 时， 有2 )( B Bxg ， 即 22 )()( BB BBxgBxg . 0 , 仍然由 Bxg xx )(lim 0， 0 2 , 使得当 20 0xx 时，有 2 )( 2 B Bxg . 取 ),min( 21 ，则当 0 0xx 时，有 2 2 )( 2 )( )( 1 )( 1 2 22 B B Bxg B Bxg Bxg Bxg 即 Bxg xx 1 )( 1 lim 0 . 二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限 利用“迫敛性”和“四则运算” ，可以从一些“简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极 限.已证明过以下几个极限： ;coscoslim ,sinsinlim ,lim ,lim 000 0000 xxxxxxCC xxxxxxxx （ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）. 2 lim , 0 1 lim arctgx x xx 这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性 质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的值, 即计算得所求极限. 例例 1 1 求. 0 1 lim x x x 例例 2 2 求. 4 lim(1) x xtgx 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 12 例例 3 3求. 3 1 13 lim() 11 x xx 例例 4 4 . 523 735 lim 23 3 xx xx x 例例 5 5 利用公式 1 1 lim 10 7 1 x x x 12 1(1)(1) nnn aaaaa 例例 6 6 . 2 122 lim 2 2 1 xx xx x 例例 7 7 . 53 132 lim 22 x xx x 例例 8 8 . 23 )102sin( lim 254 x xxx x 例例 9 9 . 11 11 lim 3 0 x x x 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 13 33 函数极限存在条件函数极限存在条件 教学目标教学目标：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性. 教学要求教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路. 教学重点教学重点：海涅定理及柯西准则. 教学难点教学难点：海涅定理及柯西准则 运用. 教学方法教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用. 在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”.我 们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋 势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务. 本节的结论只对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也 0 xx 是成立的. 首先介绍一个很主要的结果海涅(Heine)定理（归结原则）. 一、归结原则一、归结原则 定理定理 1 1（HeineHeine 定理定理） 设在内有定义，存在对任何含于f 0 0 (;)Ux 0 lim( ) xx f x 且以为极限的数列，极限都存在且相等. 0 0 (;)Ux 0 x n xlim() n n f x 证明证明 必要性:在中任取序列 n x ，且 0 limxxn n ，要证 Axf n n )(lim . 0 ，由 0 Ux Axf xx )(lim 0， 0 ，使得当 0 0xx 时，有 Axf)( .对于 0 ，由 0 xxn ， N ，使得当 Nn 时，有 0 0xxn ，于是当 Nn 时，有 Axf n) ( ，即 Axf n n )(lim . 充分性:如果不然，即 0 xx 时， )(xf 不以A为极限，则 0 0 ， 0 ， 000 0)(xxxUx ，使得 0 )( Axf . 令 ), 2, 1( 1 n n ，则n xxxUx nn 1 0,)( 000 ，使得 0 )( Axf n .对于序列 n x ， 0 xxn ，但 0 )( Axf n ，显然与条件 Axf n n )(lim 矛盾. 0n xUx 判断 )(lim 0 xf xx 不存在之方法：在中找到两个序列 n x 和 n x 都趋向于 0 x ，两个极 0 Ux 限 )(lim n n xf 和 )(lim n n xf 都存在，但不相等，这实际上是充要条件，充分性的证明用本节定理 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 14 就行了，必要性的证明要到第七章讲完紧性以后才能证，我们目前也只用到它的充分性. 注注 1 1 是数列，是数列的极限.所以这个定理把函数的极限归结为数() n f xlim() n n f x ( )f x 列 的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”.由此，可由数列极限的性质来推断() n f x 函数极限性质. 注注 2 2 从 Heine 定理可以得到一个说明不存在的方法，即“若可找到一个数列 0 lim( ) xx f x ，使得不存在；”或“找到两个都以为极限的数列， n x 0 lim n n xx lim() n n f x 0 x , nn xx 使都存在但不相等，则不存在.lim(),lim() nn nn f xf x 0 lim( ) xx f x 例例 1 1 证明不存在. 0 1 limsin x x 证明证明 令 0 2 1 n xn ， 0 )2( 1 2 1 n xn ， 0 1 sin n x , 当然趋于0， 1 1 sin n x , 当然趋于1，故x 1 sin 当 0x 时没极 限. 注注 3 3 对于这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表 00 ,xxxxxx 示为更强的形式.如当时有： 0 xx 定理定理 2 2 设函数在的某空心邻域内有定义， 对任何以为极f 0 x 0 0 ()Ux 0 lim( ) xx f xA 0 x 限的递减数列，有. 0 0 () n xUx lim() n n f xA 二、单调有界定理二、单调有界定理 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理.现以这 0 xx 种类型为例叙述如下: 定理定理 3 3 设为定义有上的单调有界函数，则右极限存在.f 0 0 ()Ux 0 lim( ) xx f x 注注 定理 3 可更具体地叙述如下： 为定义在上的函数，若（1）在上递增有下界，则存在，且f 0 0 ()Ux f 0 0 ()Ux 0 lim( ) xx f x ；（2）在上递减有上界，则存在，且 0 00 () lim( )inf( ) xxx Ux f xf x f 0 0 ()Ux 0 lim( ) xx f x . 0 0 0 () lim( )sup( ) xx x Ux f xf x 更一般的有： y x 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 15 定理定理 设 )(xf 在 )( 00 xU 上定义，且 )(xf 单调上升，则 )(lim 0 0 xf xx 存在且等于 )(sup )( 00 xf xUx . 证明证明 令A )(sup )( 00 xf xUx , 当集合 )(| )( 00 xUxxf 有上界时, A，当它无上界时， A. 1) A 0 , 由上确界定义， x)( 00 xU , 使得 Axf)( , 取 0 0 xx ，则当 xx00 时，由函数单调上升得 Axfxf)()( , 再由上确界定义 AxfA)( 或 Axf)( , 即 )(sup)(lim )( 0 00 0 xfAxf xUx xx . 2) A 因集合无上界，对 0M , x)( 00 xU , 使得 Mxf ) ( .取 0 0 xx ，则当 xx00 时, 有 Mxfxf)()( , 即 )(sup)(lim )( 0 00 0 xfxf xUx xx . 类似地我们有: )(xf 在 )( 00 xU 定义，且 )(xf 单调下降,则 )(inf)(lim )(0 00 0 xfxf xUxxx , 以及关 于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明. 三、三、 函数极限的函数极限的 CauchyCauchy 收敛准则收敛准则 定理定理（CauchyCauchy 准则准则） 设函数在内有定义，存在任给，存f 0 0 (;)Ux 0 lim( ) xx f x 0 在正数，使得对任何有.() 0 0 ,(; )x xUx |( )()|f xf x 证明证明 ( 利用极限的定义 ) 设 bxf ax )(lim ，则 0 ， 0 （ ）当 |0ax 时有 2/|)(|bxf ,从而当 |0ax ， |0ax 时有 2/2/|)(| )(| )()(|bxfbxfxfxf ( 利用 Heine 归并原则 ) 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 16 设 n a),( aU 且 aan n lim ，由假设， 0 ， 0 （ ） ，只要 x ， x ),(aU | )()(|xfxf ,对此， 0 n ，当 0 ,nnm 时有 |0aam ， |0aan . 从而 | )()(| mn afaf 由数列的Cauchy收敛准则， )(lim n n af 存在设为 baf n n )(lim 设 n b),( aU 为另一数列，且 abn n lim 则同上可得 )(lim n n bf 存在,设为 cbf n n )(lim ,考虑数 列 , 2211 nnn bababaC 易见 n C),( aU 且 aCn n lim 如上所证， )(lim n n Cf 存在，作为 )( n Cf 的两个子列 )( n af 、 )( n bf 必收敛于同一极限， 即 cb . 因此由归结原则得 bxf ax )(lim . 注注 按照 Cauchy 准则，可以写出不存在的充要条件：存在，对任意， 0 lim( ) xx f x 0( 0) 存在使得. 0 0 ,(; )x xUx |( )()|f xf x 例例 用 Cauchy 准则说明不存在. 0 1 limsin x x 证明证明 取 . 2 1 , 1 n x n x 例例 5 5 设在 上函数. 则极限 存在, 在) , a)(xf)(limxf x )( xf 上有界. ( 简证, 留为作业 ).) , a 综上所述：Heine 定理和 Cauchy 准则是说明极限不存在的很方便的工具. 3.43.4 两个重要的极限两个重要的极限 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 17 教学目标教学目标：掌握两个重要极限，并能熟练应用. 教学要求教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用. 教学重点教学重点：两个重要极限的证明及运用. 教学难点教学难点：两个重要极限的证明及运用. 教学方法教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习. 一、一、 的证明的证明 0 sin lim1 x x x 在单位圆盘 1| ),( 22 yxyxD 上，x是圆心角 AOB ，以弧度计，即它恰好等于 : AB, 而 BCx sin 是弦长B B 之半，它的几何意义是 : sin2sin 1 (0) 2 xxBB x xx BB ， 即圆心角趋于 0 时，对应的弦长与弧长之比趋于 1. 证明证明 设2 0 x , AOB 面积扇形AOB面积 AOD 面积，即 tgxxx 2 1 2 1 sin 2 1 ， 1 sin cos x x x , 用偶函数性质，这不等式在 0 2 x 时也成立. 令 0x , 1coslim 0 x x, 两边夹得出 1 sin lim 0 x x x . 推论推论 R x ， xx sin ，等号成立当且仅当 0x . 证明证明 2 0 x 时, 1 | |sin|sin x x x x , 当 2 x 显然 成立，而 0x 时等号成立，且只有 0x 时等号成立. 二、二、 的应用的应用 0 sin lim1 x x x 例例 1 1 求 2 0 cos1 lim x x x . 解解 2 22 22 2 2sin 1 cos1 sin 2 () 2 x x x x xx ，令 2 x t ，则 0x 时 0t ；故有 2 1 ) sin ( 2 1 lim cos1 lim 2 0 2 0 t t x x tx . 0A B D C x 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 18 例例 2 2 求 x x x sin lim . 解解 令 xt ，则 ttxsin)sin(sin ；且当 x 时 0t ， 故 1 sin lim sin lim 0 t t x x tx . 例例 3 3 求 nx mx x sin sin lim 0 （ 0, 0xn ）. 证明证明 当 0m 时 n m nx nx n mx mx m nx mx sin sin sin sin ； 当 0m 时原式 0 . 注注 利用归结原则，可求数列极限.如求，直接利用是不 1 sin 1 limlim sin 1 nn n n n n 0 sin lim1 x x x 严格的；但已知，故取，则，从而由归结原则 0 sin lim1 x x x ,(1,2,) n xn n 0() n xn . 1 sin lim()lim0 1 n nn n f x n 三、证明三、证明或或. 1 lim 1 x x e x 1 0 lim 1e 证明证明 先证 x情况，当1x时，有 1 1 1 1 1 1 1 xxx . xxx xxx ) 1 1 () 1 1 () 1 1 1 ( ， 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 19 ee xxx xxx 1 ) 1 1 () 1 1 () 1 1 1 ( 所以 e x x x ) 1 1 (lim . 再证 x 情况, 令 yyx, ， e yyyx y y y y x x ) 1 1 1 () 1 1 1 (lim) 1 1 (lim) 1 1 (lim 1 由极限与单侧极限关系定理，得 e x x x ) 1 1 (lim . 推论推论 et t t 1 0 )1 (lim . 证明证明 令x t 1 , 即得. 四、应用四、应用 例例 1 1 求 x x x 1 0 )21 (lim . 解解 令 xu2 ，则 ux 21 ；且当 0x 时 0u （ 0x 时 0u ） ， 因此， 22 0 2 0 1 0 ) 1 1(lim)1 (lim)21 (lime u ux u u u u x x . 例例 2 2 求 x x x 1 0 )1 (lim . 解解 令 ux ，则当 0x 时 0u ， 因此， eu ux u u u u x x 1 ) 1 1(lim)1 (lim)1 (lim 1 0 1 0 1 0 例例 3 3 求 x x x x ) 32 12 (lim . 解解 数学分析上册教案 第三章 函数极限 河南教育学院数学系 20 xx x xx x x ) 21 1 1 ( 1 ) 12 2 1 ( 1 ) 32 12 ( x x x ) 21 1 1 (lim ee xx x x 1) 21 1 1 () 21 1 1 (lim 2 1 21 ， 故原式 e 1 . 也可利用以下结论： 0)(lim Axf ax ，