《对数相关公式》word版.doc

对数相关知识概述：对数是高中代数中一块重要内容，主要考察对数函数以及与对数相关的运算等（包括各种公式），在此总结如下：定义：对数源出于指数，且，常用对数：；自然对数：，一代数基本关系式 .(基础)把指数式代入对数式消去，得到*（F1），且，说明：特别地，对应和的情况，有*（F1.1），且*（F1.2），且把对数式代入指数式消去，得到（F2）真数还原:，且，说明：应用举例：例1：求值(E1)；(E2)；(E3)。解：(E1)(E2)(E3)为了底数变为相同，先分析与的关系，所以注：需要使用的指数恒等式：，。做这一类题的关键在于关注底数是否相同，底数不同的想办法化成同底数，然后应用公式。自己动手：(Q1)；(Q2)；(Q3)；(Q4)；(Q5)。（F3），且，证明：因为同理上面两式的左边底数相同，指数的相等由乘法交换律保证着，所以。应用举例：例1：(E2)；(E3)解：用（F3）重新做：(E2)；(E3)。注：（F3）可以方便计算这一类题，在做选择填空上可以快一点点。自己动手：(Q6)；(Q7)。二积的对数、商的对数、幂的对数。（重点）*（F4）,且，证法一：令，那么，所以。证法二：。证法一首先引入了辅助的，最后求得结果后换回。证法二是不引入辅助量而是利用了（F2）和（F1）。两种方法基本步骤一样，没有本质区别。(F4.1)扩展到多个数的积的情况：且，*（F5）,且，*（F6），且，证法一：令，那么，所以。证法二：。应用举例：例2：求值：（E8）；（E9）；（E10）；（E11）；解：（E8）；（E9）；（E10）注：把所有减法做成加法，把所有除法做成乘法。（E11）例3：(E12)已知，且，求。分析：质因数分解：，而，它们都由以或为底的幂所“组成”。注意这里要解一元二次方程组。解：因为 （1）同理 （2）从上面两式解出和（和是已知量，把和看作未知量）（2）-（1）：（1）-（2）：所以自己动手：（Q8）；（Q9）；（Q10）；（Q11）；（Q12）已知，求下列各式的值：（Q12.1）；（Q12.2）；（Q12.3）；（Q12.4）。三：对数式连锁。（这个恒等式比较难，有兴趣的同学可以看一下）（F7），。（类比：）证明：记，应用（F6）与（F2），有。（F7.1）扩展应用：，类比：应用举例：例4：（E13）；（E14）。解：由（F7.1）：（E13），。（E14）自己动手：（Q13）；（Q14）。四：换底公式。（既是重点又是难点）前面的恒等式的变换（F1F6）都没有触及底数，对数的运算大多要求底数相同，当底数不同时，对底数进行变换令其变为相同非常必要，所以换底公式是为了在运算中统一底数，降低运算难度而出现的。*（F8），。（类比：）证法一：由（F7）得，即。证法二：令，那么，所以。注意到，换底公式从左到右的应用过程中，底数由变为，右边成为对数的商的形式，其中可以在范围内根据实际情况任意选取。只需对取一些特殊值，便可得到换底公式一些常用形态。（F8.1）取，；（F8.2）取，；（F8.3）取，即，底数与真数互换之后的对数式与原对数式互为倒数；*（F8.4），且，证明：用换底公式（F8），把底数换成，得到，再应用(F6)与(F1)，有，结合起来便得到（F8.4）。恒等式（F8.4）是恒等式（F6）的增强版本。（F8.5）对数式中，底数和真数同时进行同指数乘方（该指数非零），对数式的值不变。，且，这样底数可以换成与之关系比较密切的，例如可以“扩充”成为，也可以“收缩”成为，也可以“倒转”成为，视乎需要使用。（F8.6）多个对数式连乘积中，将所有真数以任意顺序重排，将所有底数以任意顺序重排，得到新的对数式连乘积的值与原式相等。这个公式写出来比较麻烦，下面用例子说明：如真数是：，底数是：，我们把真数随意重排：，底数重排后：，新的对数式观察上面两式右边，分子和分母分别都只是顺序不同而已，乘法交换律保证了两对数式连乘积的相等。应用举例：例5：（E15）；（E16）。解：（E15）对数式的连乘，与对数式连锁有点相似，但稍微复杂，应用换底公式另外，应用（F8.6），保持真数顺序不变，底数重排为：，有（E16）括号之内底数不同，不能直接相加，全部换成常用对数例6：（E17）已知，试用，表示；（E18）已知，试用，表示。解：（E17）解法一：全部换成常用对数，（这样，都可以用,表出，代入后便可以达到消元的目的）解法二：事实上，如果把底数统一换成或的话，两个式子中有一个不用变换底数，会比较方便，这里以为例（E18）题目条件给出的是，一般来说，把底数换成，或都可以使问题简化，这里以为例（事实上，把底数换成或运算量更少）。，（或）注：这里解题关键是注意观察，熟悉质因数分解和对数运算恒等式，以及选取适当的底数进行换底。例7：（E19）已知正数满足：，求证：；(E20)已知，求的值。（E19）证明：引入设而不求的未知数，令，那么，（观察上面三式，真数相同而底数不同，所以把底数统一换成将会方便运算）利用（F8.3），可得，所以（E20）把底数统一换成，由（F8.3）得，注:把出现频率较高的量作为底数是十分有效的。自己动手：（Q15）；（Q16）；（Q17）例6（E17）中通过把底数换成求解；（Q18）设，试用表示；（Q19）设，求的值。附录1.乘方表2常用对数表与自然对数表0.301