数值分析教学课件PPT绪论.ppt

手 机邮 箱： 办公室：j13-110,数 值 分 析 李桂玲,数值分析：数值计算方法,基础：分析、代数知识 工具：matlab数学软件,预备知识：,第一章,绪论,1.数值分析的背景,2.误差,1,数值分析的来源、发展 及其实际应用背景,一、举例：,已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 深度（m） 466 741 950 1422 1634 水温（ ）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 根据这些数据，希望合理地估计出其它深度 （如500米, 600米， 1000米）处的水温。,计算数学,二、现代科学研究的三大支柱,21世纪信息社会的两个主要特征： “计算机无处不在” “数学无处不在”,21世纪信息社会对科技人才的要求： -会用数学解决实际问题 -会用计算机进行科学计算,建立数学模型,选取计算方法,编写上机程序,计算得出结果,科学计算解题过程,数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、 非线性方程组的求解；,数值逼近：插值与函数逼近、数值微分 和积分、 最小二乘法；,微分方程数值解：常微分方程数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法 有限体积法,三、研究内容,一、误差的来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差,2 误 差,通过测量得到模型中参数的值 观测误差,求近似解 方法误差 (截断误差）,机器字长有限 舍入误差,求近似解 方法误差 (截断误差）,例如，当函数,用taylor多项式,近似代替时，数值方法的截断误差是,机器字长有限 舍入误差,用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位, = 3.1415926,小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来,代替位数较多的有限小数，如：,四舍五入后,在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！,二、 误差的概念,1、绝对误差与绝对误差限,例 :若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。,1.45米的 绝对误差=？,不知道！,是近似值 的绝对误差,简称为误差。,定义：设 是准确值，为 的一个近似值，称,但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数 ，,即 则称 为绝对误差限，有了绝对误差限,就可以知道 的范围为,即 落在 内。,在应用上，常常采用下列写法来刻划 的精度。,2、相对误差与相对误差限（比值）,定义：设 是准确值， 是近似值，是近似值的误差，,通常取,为近似值 的相对误差，记作 ，,称,一般情况下是不知道 的，怎么办？,relative：相对的,事实上，当 较小时,是 的二次方项级,故可忽略不计.,相应地，若正数,满足,则称 为 的相对误差限。,3 、有效数字,由上述定义,定义：若 的误差限是某一位的半个单位，该位到 的第一位非零数字共有n位，就说 有n位 有效数字。, = 3.1415926,定义 :,若,其中， 是1到9中的一个数字； 是0到9中一个数字, 且 为整数,若,x*另一记法,取 作 的近似值， 就有三位有效数字；,取 作 的近似值， 就有五位有效数字。,例如：,注： 若一近似数是由原真值经四舍五入得到， 则必为有效数.,四舍五入保证成立,补：有效数字的运算规则,1 . 加减法： 以 小数点后位数最少的为准先修约后加减，结果位数也按点后位数最少的算。 例如, 0.0121+12.56+7.8432 可先修约后计算,即 0.01+12.56+7.84=20.41,2 .乘除法:结果保留位数应与 有效数字位数最少者相同。 例如, (0.014224.43305.84)/28.67 可先修约后计算, (0.014224.4306)/28.7=3.69。 进行乘除运算时, 第一位数字大于或等于8, 其有效数字位数可多算一位。 如9.46可看做是四位有效数字.,注意,3 .乘方或开方: 结果有效数字位数不变。 例如, 6.542=42.8,4 .对数计算: 对数尾数的位数应 与真数的有效数字位数相同。 例如：,ph=-lg(h+),为提高计算的准确性, 在计算过程 中可暂时多保留一位有效数字, 计 算完后再修约.运用电子计算器运 算时, 要对其运算结果进行修约, 保 留适当的位数,不可将显示的全部 数字作为结果。,注意,4 、误差限与有效数字的关系,则 至少具有 位有效数字。,th1.1：,对于用 式表示的近似数 ，若 具有 位有效,数字，则其相对误差限为,反之，若 的相对误差限为,证：,因为n个有效数字,缩小x*,放大x*,已知条件,所以n个有效数字,3 数值运算的误差估计,一、四则运算,两个近似数 与 ,其误差限分别为 及 ,它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为,二、函数误差估计,当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的taylor展开式进行估计。,设 是一元函数， 的近似值为 ,以 近似 ，其误差限记作 ，可用taylor展开,假定 与 的比值不太大, 可忽略 的高阶项,于是可得计算函数的误差限为,当 为多元函数时计算 ,如果,的近似值为 ,则 的近似,于是函数值 的误差 由taylor展开,得：,于是误差限为,而 的相对误差限为,(1.3.3),(1.3.4),例:已测得某场地长 的值为 ,宽 的值为 ,已知 , .试求 面积 的绝对误差限与相对误差限.,解:,绝对误差限：,相对误差限：,多元函数,4 数值计算中应该注意的一些原则,1.要使用数值稳定的算法,例：求,的值.,解：由于,初值,递推公式,按公式就可以逐步算出,注意此公式精确成立,what happened?!,不稳定的算法 ！,这就是误差传播所引起的危害 !,由题设中的递推公式可看出， 的误差扩大了,5倍后传给 ，因而初值 的误差对以后各步,这就造成 的计算结果严重失真。,计算结果的影响，随着 的增大愈来愈严重。,要怎么做才能解决这个问题呢?,可求得i9 0.017，按改写后的公式可逐次求得,不妨设i9 i10，于是由,将公式,变为,i8 0.019 i7 0.021 i6 0.024 i8 0.028 i4 0.034 i3 0.043 i2 0.058 i1 0.088 i0 0.182,稳定的算法 ！,在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,2.要避免两个相近的数相减,在数值计算中，两个相近的数作减法时 有效数字会损失。,例: 求,的值。当x = 1000，y 的准确值为0.01580,(1)、直接相减,类似地,(2) 将原式改写为,则 y = 0.01581,3.尽量避免绝对值太小的数作分母,例：,如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时,结果相差这么大!,4. 避免大数吃小数,精确解为,例：用单精度计算 的根。,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010, 算法1：利用求根公式,算法2：先解出,再利用,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算,1 + 2 + 3 + + 40 + 109,5. 简化计算步骤，避免误差积累。,一般来说，计算机处理下列运算的速度为,例：多项式求值：给定的x 求下列n 次多项式的值。,解：1. 用一般算法，即直接求和法；,2. 秦九韶方法；,算法的递推性,计算机上使用的算法常采用递推化的形式，,递推