大学物理学%28第三版%29课后习题答案

1 习题解答 习题一 1 r 与 r 有无不同 ? 其不同在哪里 ?试举例说明 解： （ 1） r 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即 r12 ，12 ； （ 2）v 有 r （式中 做单位矢），则式中 题 1(3) ，a 在切向上的分量 . 有 (vv 表轨道节线方向单位矢），所以 式中 ( 与 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论 ) 1质点的运动方程为 x =x (t )， y =y (t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 r 22 ，然后根据 v = a 22有人先计算速度和加速度的分 v = 22 a = 222222 你认为两种方法哪一种 2 正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确 平面直角坐标系中，有 ， 222222故 它们的模即为 222222222222一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 22t 其二，可能是将22误作速度与加速度的模。在 1中已说明只是速度在径向上的分量，同样，22只是加速度在径向分量中的一部分 222径。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 r 在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 r 及速度 v 的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。 1一质点在 面上运动，运动方程为 x =3t +5, y =21 t 式中 t 以 x ,y 以 (1)以时间 t 为变量，写出质点位置矢量的表示式； (2)求出 t =1 s 时刻和 t 2s 时刻的位置矢量，计算这 1秒内质点的位移； (3)计算 t 0 t 4(4)求出质点速度矢量表示式，计算 t 4 s 时质点的速度； (5)计算 t 0s 到 t 4s 内质点的平均加速度； (6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t 4s 时质点的加速度 (请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式 ) 解：（ 1） )4321()53( 2 m (2)将 1t , 2t 代入上式即有 m 3 4112 m m (3) 1617,4540 104 01204 (4) 1(3 则 734 1 (5) 73,3340 204 (6) 2 这说明该点只有 y 方向的加速度，且为恒量。 1离水面高 人用绳子拉船靠岸，船在离岸 题 1人以0v(m 1s )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 图 1： 设人到船之间绳的长度为 l ，此时绳与水面成 角，由图可知 222 将上式对时间 t 求导，得 题 1 4 根据速度的定义，并注意到 l ,s 是随 t 减少的， dd, 船绳即 c o 0 船或 s 2/1220 )( 船将船t 求导，即得船的加速度 3202220202002)( 船船1点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a 2+6 2x ， a 的单位为 2 ， x 的单位为 m. 质点在 x 0处，速度为 10 1 ,试求质点在任何坐标处的速度值 解： 分离变量： d)62(d 2 两边积分得 32 2221 由题知， 0x 时， 100 v, 50c 13 1已知一质点作直线运动，其加速度为 a 4+3t 2 ， 开始运动时， x 5 m v =0，求该质点在 t 10s 时的速度和位置 解： 4分离变量，得 d)34(d 积分，得 12234 由题知， 0t , 00 v, 01 c 5 故 2234 又因为 2234dd 分离变量， d)234(d 2积分得 232 212 由题知 0t , 50 x, 52 c 故 5212 32 t 时 一质点沿半径为 1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+33t ， 式中以弧度计， t 以秒计，求： (1) t 2 s (2)当加速度的方向和半径成 45角时，其角位移是多少 ? 解： 8 (1) s2t 时， 2 9 6)29(1 Ra n(2)当加速度方向与半径成 45 角时，有 145 即 2 亦即 8)9( 22 则解得 923 r a t 6 )s in(s o 1点沿半径为 R 的圆周按 s 20 21 的规律运动，式中 s 为质点离圆周上某点的弧长 ,0v， b 都是常量，求： (1)t 时刻质点的加速度； (2) t 为何值时，加速度在数值上等于 b 解：（ 1） 0(则 240222 )(加速度与半径的夹角为 20 )(ar ct an (2)由题意应有 2402 )( 即 0)(,)( 4024022 时， 1径为 R 的轮子，以匀速0(1)证明轮缘上任意点 B 的运动方程为x R ) ， y R )t ，式中 0v /R 是轮子滚动的角速度，当 B 与水平线接触的瞬间开始计时此时 B 所在的位置为原点，轮子前进方向为 x 轴正方向； (2)求 B 点速度和加速度的分量表示式 解：依题意作出下图，由图可知 题 1(1) 7 )co co s (2) )s co s1(o 1初速度0v 20 1 抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60的夹角， 求： (1)球轨道最高点的曲率半径 1R ； (2)落地处的曲率半径 2R (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系 ) 解：设小球所作抛物线轨道如题 1所示 题 1 (1)在最高点， 0co x 21 ga n 又 1211 0c o 22111 8 (2)在落地点， 2002 , 而 ga n o 0( 22222 1轮半径为 0.4 m = 0.2 2s ，求 t 2 s2t 时， t 1 则 0 6 2 Ra n 2 22222 n 1如题 1，物体 A 以相对 B 的速度 v 斜面滑动， y 为纵坐标，开始时A 在斜面顶端高为 h 处， B 物体以 u 匀速向右运动，求 A 物滑到地面时的速度 解：当滑至斜面底时， ，则 ,A 物运动过程中又受到 B 的牵连运动影响，因此， A 对地的速度为 A )s c o 地 题 1 1一船以速率 1v 30 另一小艇在其前方以速率 2v 40直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何 ?在艇上看船的速度又为何 ? 解： (1)大船看小艇，则有 1221 ，依题意作速度矢量图如题 1a) 9 题 1 由图可知 1222121 ct ct 2)小船看大船，则有 2112 ，依题意作出速度矢量图如题 1b)，同上法，得 5012 v 1 方向南偏东 1当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后 2 高 4 m 但当轮船停航 时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前 3 m ，如雨滴的速度大小为 8 m 轮船的速率 解： 依题意作出矢量图如题 1示 题 1 船雨雨船 船雨船雨 由图中比例关系可知 1 雨船 习题二 2一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一 质量为 1m 的物体，另一边穿在质量为 2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度 a 下滑，求 1m ， 2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力 (绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计 ) 10 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均 为 1a ，其对于 2m 则为牵连加速度，又知 2a ，故 2m 对地加速度，由图 (b)可知，为 12 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 f 在 数值上等于绳的张力 T ，由牛顿定律，有 111 222 联立、式，得 2121211212212211)2()()(讨论 (1)若 0a ，则 21 表示柱体与绳之间无相对滑动 (2)若 ，则 0 表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 1m , 2m 均作自由落体运动 题 22个质量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度0B 解 : 物体置于斜面上受到重力 斜面支持力 N 0v方向为 X 轴，平行斜面与 X 轴垂直方向为 Y 轴 题 2X 方向： 0 11 Y 方向： yy s 0t 时 0y 02 由 、式消去 t ，得 220s 2质量为 16 质点在 面内运动，受一恒力作用，力的分量为6 N，7 N，当 t 0时， ，-2 m 0求 当 t 2 s (1)位矢； (2) 解： 2 (1) 20101200于是质点在 的速度 1 (2) 67(21)4832122(21)21( 2202质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 k 为常数 )作用， t =0时质点的速度为0v，证明 (1) t 时刻的速度为 v (0 ； (2) 由 0到 t 的时间内经过的距离为 x ( 1- ( ； (3)停止运动前经过的距离为 )(0 (4)证明当 时速 12 度减至0中 答 : (1) 分离变量，得 m 即 m 0(2) t 00 )1()质点停止运动时速度为零，即 t， 故有 000 d (4)当 t=速度为 100 即速度减至02降机内有两物体，质量分别为 1m ， 2m ，且 2m 2 1m 用细绳连接，跨过滑轮 ,绳子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速 a 21： (1) 1m 和 2m 相对升降机的加速度 (2)在地面上观察 1m ， 2m 的加速度各为多少 ? 解 : 分别以 1m , 2m 为研究对象，其受力图如图 (b)所示 (1)设 2m 相对滑轮 (即升降机 )的加速度为 a ，则 2 m 对地加速度 2 ；因绳不可伸长，故 1m 对滑轮的加速度亦为 a ，又 1m 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以 1m 在水平方向对地加速度亦为 a ，由牛顿定律，有 )(22 1 13 题 2联立，解得 方向向下 (2) 2m 对地加速度为 22 方向向上 1m 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即 牵相绝 ，左偏上 2m 的质点以与地的仰角 =30的初速0v从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量 解 : 依题意作出示意图如题 2题 2在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下 , 而抛物线具有对 y 轴对称性，故末速度与 x 轴夹角亦为 则动量的增量为 0 由矢量图知，动量增量大小为0方向竖直向下 2一质量为 m 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞并在抛出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球 的动量是否守恒 ? 解 : 由题知，小球落地时间为 因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大 14 小为 ，小球上跳速度的大小亦为 设向上为 y 轴正向，则动量的增量 12 方向竖直向上， 大小 )(12碰撞过程中 动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒 2用在质量为 10 )210( N，式中 t 的单位是 s， (1)求 4物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量 (2)为了使这力的冲量为 200 N s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 j6 m 回答这两个问题 解 : (1)若物体原来静止，则 t 10 401 10(d ,沿 x 轴正向， 若物体原来具有 6 1 初速，则 tt 00000 d)d(, 于是 t 102 d , 同理， 12 , 12 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量 (亦即冲量 )就一定相同，这就是动量定理 (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t 210d)210( 亦即 0200102 解得 t ， ( t 舍去 ) 2质量为 m 的质点在 s 15 求质点的动量及 t 0 到2 质点的动量为 )c 将 0t 和2 1 , 2 , 则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为 )(12 2颗子弹由枪口射出时速率为 10 v，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =( )N( 为常数 )，其中 t 以秒为单位： (1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间； (2)求子弹所受的冲量 (3)求子弹的质量 解 : (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)( 得 (2)子弹所受的冲量 t 221d)( 将入，得 2 (3)由动量定理可求得子弹的质量 020 2 2炮弹质量为 m ，以速率 v 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为 T ，且一块的质量为另一块质量的 k 倍，如两者仍沿原方向飞行，试证v + v 证明 : 设一块为 1m ，则另一块为 2m ， 21 及 21 于是得 1,1 21 k 16 又设 1m 的速度为 1v , 2m 的速度为 2v ，则有 2222211 212121 2211 联立、解得 12 )1( 将代入，并 整理得 21 )(2 于是有 1 将其代入式，有 2 又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 ,221 证毕 2 合 (1) 当一质点从原点运动到 时，求 F 所作的功 (2)如果质点到 r 处时需 求平均功率 (3)如果质点的质量为 1求动能的变化 解 : (1)由题知，合F为恒力， )1643()67( 合 (2) )由动能定理， 铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内 1 击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击解 : 以木板上界面为坐标原点，向内为 y 坐标正向，如题 2铁钉所受阻力为 17 题 2 第一锤外力的功为 1A ss 01 2 式中 f 是铁锤作用于钉上的力， f 是木板作用于钉上的力，在 0d t 时， f f 设第二锤外力的功为 2A ，则同理，有 21 222 221dy 由题意，有 2)21( 212 即 2221 22 所以， 22 y 于是钉子第二次能进入的深度为 2设已知一质点 (质量为 m )在其保守力 场中位矢为 r 点的势能为 nP )( , 试求质点所受保守力的大小和方向 解 : 1d)(d)( 方向与位矢 r 的方向相反，即指向力心 2一根劲度系数为 1k 的轻弹簧 A 的下端，挂一根劲度系数为 2k 的轻弹簧 B ， B 的下端 一重物 C ， C 的质量为 M ，如题 2这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势 解 : 弹簧 及重物 C 受力如题 2所示平衡时，有 18 题 2 A 又 11 22 所以静止时两弹簧伸长量之比为 1221 弹性势能之比为 12222211121212 21)试计算月球和地球对 m 物体的引力相抵消的一点 P ，距月球表面 的距离是多少 ?地球质量 1024 球中心到月球中心的距离 108m，月球质量 1022球半径 106m (2)如果一个 1么它在 P 点的势能为多少 ? 解 : (1)设在距月球中心为 r 处地引月引 ，由万有引力定律，有 22 地月经整理，得 = 19 则 P 点处至月球表面的距离为 76 月(2)质量为 物体在 P 点的引力势能为 地月 2由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为 1m 和 2簧的劲度系数为 k ，自然长度等于水平距离 2m 与桌面间的摩擦系数为 ，最初 1m 静止于 A 点， h ，绳已拉直，现令滑块落下 1m ,求它下落到 B 处时的速率 解 : 取 B 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有 )(21)(21 212212 式中 l 为弹簧在 A 点时比原长的伸长量，则 12( 联立上述两式，得 212221 122 题 2 2题 2物体质量为 2初速度0v 3m 点处下滑，它与斜面的摩擦力为 8N，到达 B 点后压缩弹簧 20后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度 解 : 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 20 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 37s 2 m g r 222137s 式中 s ， x ，再代入有 关数据，解得 k 题 2 再次运用功能原理，求木块弹回的高度 h 2o 2137s in r 代入有关数据，得 s , 则木块弹回高度 in o 题 22质量为 M 的大木块具有半径为 R 的四分之一弧形槽，如 题 2量为 m 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度 解 : m 从 M 上下滑的过程中，机械能守恒，以 m ， M ，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有 22 2121 又 下滑过程，动量守恒，以 m ,M 为系统则在 m 脱离 M 瞬间，水平方向有 0 联立，以上两式，得 22一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向 21 证 : 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有 222120 212121 即 222120 题 2 (a) 题 2b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有 210 亦即 210 由可作出矢量三角形如图 (b)，又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以0v为斜边，故知 1v 与 2v 是互相垂直的 2质量为 m 的质点位于 ( 11,处，速度为 , 质点受到一个沿 x 负 方向的力 f 的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩 解 : 由题知，质点的位矢为 11 作用在质点上的力为 所以，质点对原点的角动量为 0 )()( 11 )( 11 作用在质点上的力的力矩为 1110 )()( 2雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆它离太阳最近距离为 1r 1010m 时的速 22 率是 1v 104 m 离太阳最远时的速率是 2v 102m r 多少 ?(太阳位于椭圆的一个焦点。 ) 解 : 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力 即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日 点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 2211 224102112 v 2体质量为 3t =0时位于 , 1 ， 如一恒力 作用在物体上 ,求 3秒后， (1)物体动量的变化； (2)相 对 z 轴角动量的变化 解 : (1) 30 1 (2)解 (一 ) 73400 y 20 即 41 , 10 xx 1133560 即 611 , 112 72)6(34111 1(3)22 1212 解 (二 ) t t d)(d (55)216()4(2 23 题 2 2板中央开一小孔，质量为 m 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为 1M 的重物小球作匀速圆周运动，当半径为0在 1M 的下方再挂一质量为 2题 2问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径 r 为多少 ? 解 : 在只挂重物时 1M ，小球作圆周运动的向心力为 即 2001 挂上 2M 后，则有 221 )( 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒 即 00 2020 联立、得 0211213212101010)(2轮的质量 m 60径 R 其水平中心轴 O 转动，转速为900利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 F ，可使飞轮减速已知闸杆的尺寸如题 2瓦与飞轮之间的摩擦系数 =轮的转动惯量可按匀质圆盘计算试求： (1)设 F 100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动 ?在这段时间里飞轮转了几转 ? (2)如果在 2加多大的力 F ? 解 : (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图 (如图 (b)图中 N 、 N 是正压力， 是摩擦力， 点转轴处所受支承力， R 是轮的重力， P 是轮在 O 轴处所受支承力 24 题 2（ a） 题 2 (b) 杆处于静止状态，所以对 A 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有 Fl )( 对飞轮，按转动定律有 ，式中负号表示 与角速度 方向相反 N N 21 又 ,21 2 (2 以 等代入上式，得 2sr a 由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 29 0 00 t 这段时间内飞轮的角位移为 r 9(340214960 290021 220 25 可知在这段时间里，飞轮转了 (2) 10 sr a ，要求飞轮转速在 2t s 内减少一半，可知 2000sr a 用上面式 (1)所示的关系，可求出所需的制动力为 72)2 2112定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 转动设大小圆柱体的半径分别为 R 和 r ，质量分别为 M 和 m 绕在两柱体上的细绳分别与物体 1m 和 2m 相连，1m 和 2m 则挂在圆柱体的两侧，如题 2 R r m 4 M 10 1m 2m 2 开始时 1m ， 2m 离地均为 h 2m 求 ： (1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力 解 : 设 1a , 2a 和 分别为 1m , 2m 和柱体的加速度及角加速度，方向如图 (如图 b) 题 2a)图 题 2b)图 (1) 1m , 2m 和柱体的运动方程如下： 2222 1111 21 26 式中 122211 ,而 222121 由上式求得 22222222121sr 2)由式 N 由式 2算题 2滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M ，半径为 r ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设 1m 502m 200 15 r 0.1 m 解 : 分别以 1m , 2m 滑轮为研究对象，受力图如图 (b)所示对 1m , 2m 运用牛顿定律，有 22 1 对滑轮运用转动定律，有 )21( 212 又， 联立以上 4个方程，得 2212 27 题 2a)图 题 2b)图 题 2 2题 2匀质细杆质量为 m ，长为 l ，可绕过一端 O 的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过 角时的角速度 . 解 : (1)由转动定律，有 )31(21 2 (2)由机械能守恒定律，有 22 )31(21s 题 2 2题 2量为 M