2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）含答案解析.doc

2016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知i为虚数单位，则i（2i+1）=（）a2+ib2ic2+id2i2已知集合a=x|x21，b=x|log2x1，则ab=（）ax|1x1bx|0x1cx|0x2dx|1x23下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）ay=2xby=x3+xc dy=log2x4执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）a15b21c24d355已知向量，其中xr则“x=2”是“”成立的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件6直线l：（t为参数）与圆c：（为参数）的位置关系是（）a相离b相切c相交且过圆心d相交但不过圆心7在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）a b c d18如图，已知平面平面=l，a、b是直线l上的两点，c、d是平面内的两点，且dal，cbl，da=4，ab=6，cb=8p是平面上的一动点，且有apd=bpc，则四棱锥pabcd体积的最大值是（）a48b16c d144二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9（x2+）6的展开式中x3的系数是（用数字作答）10抛物线y2=8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为11已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：cm2）12已知函数f（x）=，则=；f（x）的最小值为13某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是毫克，若该患者坚持长期服用此药明显副作用（此空填“有”或“无”）14设a1，a2，a3，a4，a5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点m的个数有个三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知函数，xr（）求函数f（x）的最大值；（）若，求函数f（x）的单调递增区间16在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了a，b两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题a可获得100分，答对问题b可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题答题终止后，获得的总分决定获奖的等次若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对a，b问题的概率分别为（）记甲先回答问题a再回答问题b得分为随机变量，求的分布列和数学期望；（）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由17如图，在四棱锥pabcd中，等边pad所在的平面与正方形abcd所在的平面互相垂直，o为ad的中点，e为dc的中点，且ad=2（）求证：po平面abcd；（）求二面角peba的余弦值；（）在线段ab上是否存在点m，使线段pm与pad所在平面成30角若存在，求出am的长，若不存在，请说明理由18已知函数f（x）=x2lnx（）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）设g（x）=x2x+t，若函数h（x）=f（x）g（x）在上（这里e2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围19已知椭圆e：（ab0）的离心率，且点在椭圆e上（）求椭圆e的方程；（）直线l与椭圆e交于a、b两点，且线段ab的垂直平分线经过点求aob（o为坐标原点）面积的最大值20在数列an中，a1=0，其中mr，nn*（）当m=1时，求a2，a3，a4的值；（）是否存在实数m，使a2，a3，a4构成公差不为0的等差数列？证明你的结论；（）当m时，证明：存在kn*，使得ak20162016年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1已知i为虚数单位，则i（2i+1）=（）a2+ib2ic2+id2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用i2=1，结合复数的乘法，即可得到结论【解答】解：由题意，i（2i+1）=i2i+i=2+i故选c2已知集合a=x|x21，b=x|log2x1，则ab=（）ax|1x1bx|0x1cx|0x2dx|1x2【考点】交集及其运算【分析】先化简集合，即不等式x21，和对数不等式log2x1，再求交集【解答】解：集合a=x|x21=x|1x1，b=x|log2x1=x|0x2，则ab=x|0x1，故选：b3下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）ay=2xby=x3+xc dy=log2x【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据奇函数的定义，奇函数定义域和图象的特点，反比例函数在定义域上的单调性，以及一次函数和y=x3的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：ay=2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误；by=x3+x的定义域为r，且（x）3+（x）=（x3+x）；该函数为奇函数；y=x3和y=x在r上都是增函数；y=x3+x在r上是增函数，该选项正确；c反比例函数在定义域上没有单调性，该选项错误；dy=log2x的定义域为（0，+），不关于原点对称，不是奇函数，该选项错误故选：b4执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）a15b21c24d35【考点】程序框图【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论【解答】解：模拟执行程序，可得s=0，i=1t=3，s=3，i=2不满足i4，t=5，s=8，i=3不满足i4，t=7，s=15，i=4不满足i4，t=9，s=24，i=5满足i4，退出循环，输出s的值为24故选：c5已知向量，其中xr则“x=2”是“”成立的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】，可得x24=0，解得x即可判断出结论【解答】解：，x24=0，解得x=2“x=2”是“”成立的充分不必要条件故选：a6直线l：（t为参数）与圆c：（为参数）的位置关系是（）a相离b相切c相交且过圆心d相交但不过圆心【考点】参数方程化成普通方程【分析】把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，判定发现d小于圆的半径r，又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心【解答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x2）2+（y1）2=4，圆心坐标为（2，1），半径r=2，把直线的参数方程化为普通方程得：xy+1=0，圆心到直线的距离d=r=2，又圆心（2，1）不在直线xy+1=0上，则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心故选：d7在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）表示的区域面积等于1，则a的值为（）a b c d1【考点】简单线性规划【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，根据已知条件中，表示的平面区域的面积等于2，构造关于a的方程，解方程即可得到答案【解答】解：不等式组所围成的区域如图abcd所示，其面积为1，a（2，2a+1），b（2，0），c（1，），d（1，a+1）sabcd=1，解得a=故选：b8如图，已知平面平面=l，a、b是直线l上的两点，c、d是平面内的两点，且dal，cbl，da=4，ab=6，cb=8p是平面上的一动点，且有apd=bpc，则四棱锥pabcd体积的最大值是（）a48b16c d144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由面面垂直的性质可得adpa，bcpb，由apd=bpc可知pb=2pa，在平面内建立坐标系求出p点的轨迹，得出p到直线l的最大距离，得出棱锥的最大体积【解答】解：平面平面=l，dal，cbl，da平面，cb平面，da平面，cb平面，pa平面，pb平面，dapa，cbpbapd=bpc，即，pb=2pa以直线l为x轴，ab的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则a（3，0），b（3，0）设p（x，y），则pa=，pb=，2=，整理得（x+5）2+y2=16（y0）p点的轨迹为以（5，0）为圆心，以4为半径的半圆当p到直线l的距离h=4时，四棱锥pabcd体积取得最大值棱锥的体积最大值为v=48故选：a二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9（x2+）6的展开式中x3的系数是20（用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为 tr+1=x123r，令123r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：2010抛物线y2=8x的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为2sqrt2【考点】双曲线的简单性质【分析】求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值【解答】解：抛物线y2=8x的准线为x=2，双曲线的两条渐近线为y=x，可得两交点为（2，），（2，），即有三角形的面积为22=2故答案为：211已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3+4（单位：cm2）【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，几何体的表面积s=12+12+22=3+4（cm2），故答案为：3+412已知函数f（x）=，则=1；f（x）的最小值为0【考点】函数的最值及其几何意义；函数的概念及其构成要素【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，根据基本不等式的性质以及函数的单调性的性质进行求解即可【解答】解：f（）=log33=1，则f（1）=1+22=1，即=1，当x1时，f（x）=x+222=22，当且仅当x=，即x=时取等号，当x1时，f（x）=log3（x2+1）log31=0；故函数f（x）的最小值为0，故答案为：1，013某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药（片剂），要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是350毫克，若该患者坚持长期服用此药无明显副作用（此空填“有”或“无”）【考点】数列与函数的综合【分析】由已知中，该药片每片200毫克，他的肾脏每12小时从体内滤出该药的50%，我们可设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为an毫克，由于上午8点第一次服药，则第2天上午服完药时共服了3次药，依次计算出a1，a2，a3的值，即可得到第2天上午服完药时，药在他体内还残留量；先考虑该运动员若长期服用此药，此药在体内残留量，与400比照后，即可得到答案【解答】解：设该生第n次服药后，药在他体内的残留量为an毫克，则：a1=200，a2=200+a1（150%）=2001.5=300，a3=200+a2（150%）=200+2001.50.5=350 故第二天早间，他第三次服空药后，药在他体内的残留量为350毫克该运动员若长期服用此药，则此药在体内残留量为=400（10.5n），当n+时，药在体内残留量无限接近400长期服用此药，不会产生副作用，即该生长期服用该药，不会产生副作用故答案为：350，无14设a1，a2，a3，a4，a5是空间中给定的5个不同的点，则使成立的点m的个数有1个【考点】空间向量的概念；空间向量的加减法【分析】分别设出a1、a2、a3、a4、a5和m各点的坐标，得到向量（k=1，2，3，4，5）的坐标，根据加法的坐标运算代入题中的向量等式=0，化简整理可得点m的坐标是唯一的【解答】解：设a1（x1，y1，z1），a2（x2，y2，z2），a3（x3，y3，z3），a4（x4，y4，z4），a5（x5，y5，z5）；再设m（a，b，c），则可得=（x1a，y1b，z1c），=（x2a，y2b，z2c），=（x3a，y3b，z3c），=（x4a，y4b，z4c），=（x5a，y5b，z5c），=成立，解得，因此，存在唯一的点m，使=成立故答案为：1三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15已知函数，xr（）求函数f（x）的最大值；（）若，求函数f（x）的单调递增区间【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2x+），易得最值；（）解求出函数的递增区间，取的即可【解答】解：（）由三角函数公式化简可得=sin2x+cos2x=sin（2x+）当即，kz时，；（）当时，f（x）递增，即，令k=0，且注意到，函数f（x）的递增区间为16在某班级举行的“元旦联欢会”有奖答题活动中，主持人准备了a，b两个问题，规定：被抽签抽到的答题同学，答对问题a可获得100分，答对问题b可获得200分，答题结果相互独立互不影响，先回答哪个问题由答题同学自主决定；但只有第一个问题答对才能答第二个问题，否则终止答题答题终止后，获得的总分决定获奖的等次若甲是被抽到的答题同学，且假设甲答对a，b问题的概率分别为（）记甲先回答问题a再回答问题b得分为随机变量，求的分布列和数学期望；（）你觉得应先回答哪个问题才能使甲的得分期望更高？请说明理由【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）的可能取值为0，100，300，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望（）设先回答问题b，再回答问题a得分为随机变量，则的可能取值为0，200，300分别求出相应的概率，由此能求出的数学期望，由此能求出应先回答a所得分的期望值较高【解答】（本小题满分13分）解：（）的可能取值为0，100，300，的分布列为： 0 100 300 p（）设先回答问题b，再回答问题a得分为随机变量，则的可能取值为0，200，300，的分布列为： 0 200 300 pee，应先回答a所得分的期望值较高17如图，在四棱锥pabcd中，等边pad所在的平面与正方形abcd所在的平面互相垂直，o为ad的中点，e为dc的中点，且ad=2（）求证：po平面abcd；（）求二面角peba的余弦值；（）在线段ab上是否存在点m，使线段pm与pad所在平面成30角若存在，求出am的长，若不存在，请说明理由【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【分析】（i）根据三线合一得出aoad，利用面面垂直的性质即可得出ao平面abcd；（ii）以o为原点建立空间直角坐标系，求出平面pbe和平面abe的法向量，则两法向量夹角的余弦的绝对值为二面角的余弦值；（iii）假设存在符合条件的点m（1，x，0），求出平面pad的法向量，则|cos，|=，解方程得出x，根据x的范围判断【解答】解：（）pad是等边三角形，o为ad的中点，poad，平面pad平面abcd，平面pad平面abcd=ad，po平面pad，po平面abcd（）取bc的中点f，底面abcd是正方形，ofad，po，of，ad两两垂直以o为原点，以oa、of、op为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则o（0，0，0），p（0，0，），b（1，2，0），e（1，1，0），=（1，1，），=（2，1，0），=（0，0，）显然平面eba的法向量为=（0，0，）设平面pbe的法向量为=（x，y，z），则，令x=1，得=（1，2，）=3，|=2，|=，cos=二面角peba为锐角，二面角peba的余弦值为（）设在线段ab上存在点m（1，x，0）（0x2）使线段pm与平面pad所在平面成30角，平面pad的法向量为=（0，2，0），=（1，x，），cos，=sin30=，解得，符合题意在线段ab上存在点m，当线段时，pm与平面pad所在平面成30角18已知函数f（x）=x2lnx（）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）设g（x）=x2x+t，若函数h（x）=f（x）g（x）在上（这里e2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求出函数的导数，得到f（1）和f（1）的值，代入直线方程即可；（）问题等价于t=xlnx在上恰有两个不同的实根，根据函数的单调性求出t的范围即可【解答】解：（）函数定义域为（0，+），f（x）=2x，f（1）=1，又f（1）=1，所求切线方程为y1=x1，即：xy=0；（）函数h（x）=f（x）g（x）=lnx+xt在上恰有两个不同的零点，等价于lnx+xt=0在上恰有两个不同的实根，等价于t=xlnx在上恰有两个不同的实根，令k（x）=xlnx，则，当时，k（x）0，k（x）在递减；当x（1，e时，k（x）0，k（x）在（1，e递增，故kmin（x）=k（1）=1，又，即19已知椭圆e：（ab0）的离心率，且点在椭圆e上（）求椭圆e的方程；（）直线l与椭圆e交于a、b两点，且线段ab的垂直平分线经过点求aob（o为坐标原点）面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（）运用离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），讨论直线ab的斜率为0和不为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式和二次函数的最值的求法，可得面积的最大值【解答】解：（）由已知，e=，a2b2=c2，点在椭圆上，解得a=2，b=1椭圆方程为；（）设a（x1，y1），b（x2，y2），ab的垂直平分线过点，ab的斜率k存在当直线ab的斜率k=0时，x1=x2，y1=y2，saob=2|x|y|=|x|