2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四）含答案解析.doc

2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1已知集合a=x|2x2，集合b为自然数集，则ab=2若复数z=a21+（a+1）i（ar）为纯虚数，则a=3在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为4从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是5根据如图所示的伪代码，可知输出的结果s为6三棱锥sabc中，面sab，sbc，sac都是以s为直角顶点的等腰直角三角形，且ab=bc=ca=2，则三棱锥sabc的表面积是7已知f为双曲线c：2x2my2=4m（m0）的一个焦点，则点f到c的一条渐近线的距离为8与的大小关系是（用“”或“”连接）9为了得到y=cos（）的图象，只需将y=sin的图象向左平移（0）个单位，则的最小值为10若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为11已知an，bn均为等比数列，其前n项和分别为sn，tn，若对任意的nn*，总有=，则=12如图，在圆o：x2+y2=4上取一点a（，1），e、f为y轴上的两点，且ae=af，延长ae，af分别与圆交于点mn则直线mn的斜率为13如图，ab=bc=1，apb=90，bpc=45，则=14已知正实数a、b、c满足+=1， +=1，则实数c的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知向量，（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求实数的值16如图，平面abc平面dbc，ab=ac，abac，db=dc；de平面dbc，bc=2de，（1）求证：de平面abc；（2）求证：ae平面abc17现有一个以oa、ob为半径的扇形池塘，在oa、ob上分别取点c、d，作deoa、cfob交弧ab于点e、f，且bd=ac，现用渔网沿着de、eo、of、fc将池塘分成如图所示的三种的养殖区域若oa=1km，（1）求区域的总面积；（2）若养殖区域、的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元 试问当为多少时，年总收入最大？18如图，在平面直角坐标系xoy中，a、b分别是椭圆： +y2=1的左、右顶点，p（2，t）（tr，且t0）为直线x=2上一动点，过点p任意引一直线l与椭圆交于c、d，连结po，直线po分别和ac、ad连线交于e、f（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=1，记直线ac、ad的斜率分别为k1，k2，求证： +定值；（3）求证：四边形afbe为平行四边形19已知数列an，bn满足：对于任意的正整数n，当n2时，an2+bnan12=2n+1（1）若bn=（1）n，求的值；（2）若数列an的各项均为正数，且a1=2，bn=1设sn=，tn=，试比较sn与tn的大小，并说明理由20已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx（1）若曲线y=f（x）g（x）在x=1处的切线的方程为6x2y5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在1，e上存在一点x0，使得f（x0）+g（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲（任选两个）21在圆o中，ab，cd是互相平行的两条弦，直线ae与圆o相切于点a，且与cd的延长线交于点e，求证：ad2=abed选修4-2：矩阵与变换22在平面直角坐标系xoy中，直线x+y2=0在矩阵a=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y2=0，求矩阵a的逆矩阵a1选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知直线l：（t为参数）经过椭圆c：（为参数）的右焦点f（）求m的值；（）设直线l与椭圆c交于a，b两点，求|fa|fb|的最大值与最小值选修4-5：不等式选讲24已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9求证： +解答题25如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p0）的准线l与x轴交于点m，过m的直线与抛物线交于a，b两点设a（x1，y1）到准线l的距离为d，且d=p（0）（1）若y1=d=1，求抛物线的标准方程；（2）若+=，求证：直线ab的斜率为定值26在自然数列1，2，3，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余nk个元素变动位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为pn（k）（1）求p3（1）（2）求p4（k）；（3）证明kpn（k）=npn1（k），并求出kpn（k）的值2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷（四）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1已知集合a=x|2x2，集合b为自然数集，则ab=0，1【考点】交集及其运算【分析】由a与b，求出两集合的交集即可【解答】解：a=x|2x2，集合b为自然数集，ab=0，1，故答案为：0，12若复数z=a21+（a+1）i（ar）为纯虚数，则a=1【考点】复数的基本概念【分析】根据纯虚数的定义，得到实部为0，虚部不为0列出不等式和方程，解不等式组求出a的值【解答】解：复数z=a21+（a+1）i（ar）为纯虚数解得a=1故答案为：13在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积之和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为32【考点】频率分布直方图【分析】由频率分布直方图分析可得“中间一个小长方形”对应的频率，再由频率与频数的关系，中间一组的频数【解答】解：设中间一个小长方形的面积为x，其他10个小长方形的面积之和为y，则有：，解得：x=0.2，中间一组的频数=1600.2=32故填：324从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是frac45【考点】古典概型及其概率计算公式【分析】根据互斥时间的概率公式计算即可【解答】解：从5个球中任意取两个共有c52=10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1=，故答案为：5根据如图所示的伪代码，可知输出的结果s为205【考点】顺序结构【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，nn，i=i+2100时，s=2i+3的值【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件i=2n+1，nn，i=i+2100时，s=2i+3的值，i+2=101时，满足条件，输出的s值为s=2101+3=205故答案为：2056三棱锥sabc中，面sab，sbc，sac都是以s为直角顶点的等腰直角三角形，且ab=bc=ca=2，则三棱锥sabc的表面积是3+sqrt3【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【分析】先求面sab，sbc，sac都是以s为直角顶点的等腰直角三角形的面积，再求正三角形abc的面积，求解即可【解答】解：设侧棱长为a，则a=2，a=，侧面积为3a2=3，底面积为22=，表面积为3+故答案为：3+7已知f为双曲线c：2x2my2=4m（m0）的一个焦点，则点f到c的一条渐近线的距离为2【考点】双曲线的简单性质【分析】求出双曲线的标准方程，根据焦点在x轴上的双曲线的焦点到渐近线的距离为b进行求解即可【解答】解：双曲线的标准方程为=1，双曲线的焦点在x轴，则a2=2m，b2=4，则b=2，设焦点在x轴的双曲线的方程为=1，设焦点f（c，0），双曲线的一条渐近线方程为y=x，即bxay=0则点f到c的一条渐近线的距离d=2故答案为：28与的大小关系是（用“”或“”连接）【考点】不等式比较大小【分析】由于=，即可得出【解答】解：=，故答案为：9为了得到y=cos（）的图象，只需将y=sin的图象向左平移（0）个单位，则的最小值为frac23【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【分析】将y=sinx化为y=cos（x），再根据三角函数的图象变换知识确定平移的方向和长度即可【解答】解：y=sin=cos（）=cos（x），将y=sin的图象向左平移（0）个单位，所得函数图象对于的解析式为：y=cos（x+），又y=cos（）=cos（x），由题意可得：（x+）=（x）+2k，kz，解得：=4k+，kz，0当k=0时，的最小值为故答案为：10若函数f（x）=，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为frac1e【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】当x0时，f（x）=x+2x，单调递增，由f（1）f（0）0，可得f（x）在（1，0）有且只有一个零点；x0时，f（x）=axlnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根令g（x）=，求出导数，求得单调区间，极值，即可得到a的值【解答】解：当x0时，f（x）=x+2x，单调递增，f（1）=1+210，f（0）=10，由零点存在定理，可得f（x）在（1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x0时，f（x）=axlnx有且只有一个零点，即有a=有且只有一个实根令g（x）=，g（x）=，当xe时，g（x）0，g（x）递减；当0xe时，g（x）0，g（x）递增即有x=e处取得极大值，也为最大值，且为，如图g（x）的图象，当直线y=a（a0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a=故答案为：11已知an，bn均为等比数列，其前n项和分别为sn，tn，若对任意的nn*，总有=，则=9【考点】数列的求和【分析】设an，bn的公比分别为q，q，利用=，求出q=9，q=3，可得=3，即可求得结论【解答】解：设an，bn的公比分别为q，q，=，n=1时，a1=b1n=2时，n=3时，2q5q=3，7q2+7qq2q+6=0，解得：q=9，q=3，故答案为：912如图，在圆o：x2+y2=4上取一点a（，1），e、f为y轴上的两点，且ae=af，延长ae，af分别与圆交于点mn则直线mn的斜率为sqrt3【考点】直线与圆的位置关系【分析】不适一般性，取特殊点，即可得出结论【解答】解：由题意，取m（0，2），am的斜率为，ae=af，an的斜率为，过原点，n（，1），直线mn的斜率为=故答案为：13如图，ab=bc=1，apb=90，bpc=45，则=frac45【考点】平面向量数量积的运算【分析】取pc中点d，连结bd，设bd=x利用三角形中位线定理与含有45角的直角三角形的性质，算出bdc=135，cd=pd=x在bcd中利用余弦定理，结合题中数据建立关于x的方程，解出x，从而得出pa，pc最后利用数量积的公式加以计算，可得则的值【解答】解：取pc中点d，连结bd设bd=x，bd是pac的中位线，bdpa且bd=paapb=90，pbd中，pbd=apb=90，bpd=45，bd=x，pd=x，cd=pd=x，bdc中，bdc=apc=90+450=130，bc=1，由余弦定理，得bc2=bd2+cd22bdcdcosbdc=1，即x2+2x22xxcos135=1，解之得x=，即bd=，pa=2bd=，pc=2=，=|cosapc=（）=，故答案为：14已知正实数a、b、c满足+=1， +=1，则实数c的取值范围是（1，frac43【考点】基本不等式【分析】由于+=1， +=1，可得，化为由于正实数a、b满足+=1，利用基本不等式的性质可得ab4，据此可得c的取值范围【解答】解：+=1，化为正实数a、b满足+=1，化为ab4则c=1+，ab13，则1c故答案为：（1，二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知向量，（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求实数的值【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算【分析】（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量，从而求出向量、的夹角；（2）向量，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果【解答】解：（1）当时，所以，因而；（2），因为，所以，当0时，即，当0时，即，所以16如图，平面abc平面dbc，ab=ac，abac，db=dc；de平面dbc，bc=2de，（1）求证：de平面abc；（2）求证：ae平面abc【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）取bc中点f，连结af，可证afbc，由平面abc平面dbc，且交线为bc，可证af平面dbc，从而afde，即可证明de平面abc（2）连结df，可证df平面abc，aedf，从而有ae平面abc【解答】解：（1）取bc中点f，连结af，因为ab=ac，所以，afbc，又因为平面abc平面dbc，且交线为bc，所以，af平面dbc，因为de平面dbc，所以，afde，而af在平面abc内，de在平面abc外，所以，de平面abc；（2）连结df，db=dc，f为bc中点，dfbc，平面abc平面dbc，df平面dbc，可证df平面abc，aedf，ae平面abc17现有一个以oa、ob为半径的扇形池塘，在oa、ob上分别取点c、d，作deoa、cfob交弧ab于点e、f，且bd=ac，现用渔网沿着de、eo、of、fc将池塘分成如图所示的三种的养殖区域若oa=1km，（1）求区域的总面积；（2）若养殖区域、的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总收入为y万元 试问当为多少时，年总收入最大？【考点】在实际问题中建立三角函数模型【分析】（1）根据三角形的面积公式即可求区域的总面积；（2）建立三角函数关系式，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可【解答】解：（1）因为bd=ac，ob=oa，所以od=oc因为，deoa，cfob，所以deob，cfoa又因为oe=of，所以rtodertocf所以 所以所以，所以， （2）因为，所以所以=，所以，令y=0，则 当时，y0，当时，y0故当时，y有最大值答：当为时，年总收入最大18如图，在平面直角坐标系xoy中，a、b分别是椭圆： +y2=1的左、右顶点，p（2，t）（tr，且t0）为直线x=2上一动点，过点p任意引一直线l与椭圆交于c、d，连结po，直线po分别和ac、ad连线交于e、f（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；（2）若t=1，记直线ac、ad的斜率分别为k1，k2，求证： +定值；（3）求证：四边形afbe为平行四边形【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由题意得l：y=x+1，由此能求出t的值（2）直线ac：y=k1（x+2），与联立得c：，同理得d：，由此能证明=4（定值）（3）要证四边形afbe为平行四边形，即只需证e、f的中点即点o【解答】（1）解：由题意：椭圆： +y2=1上顶点c（0，1），右焦点e（，0），所以l：y=x+1，令x=2，得t=1（2）证明：直线ac：y=k1（x+2），与联立得c：，同理得d：，由c，d，p三点共线得：kcp=kdp，得=4（定值）（3）证明：要证四边形afbe为平行四边形，即只需证e、f的中点即点o，设点p（2，t），则op：y=x，分别与直线ac：y=k1（x+2）与ad：y=k2（x+2）联立得：xe=，xf=，下证：xe+xf=0，即+=0化简得：t（k1+k2）4k1k2=0由（2）知c：，d：，由c，d，p三点共线得：kcp=kdp，得t（k1+k2）4k1k2=0，所以四边形afbe为平行四边形19已知数列an，bn满足：对于任意的正整数n，当n2时，an2+bnan12=2n+1（1）若bn=（1）n，求的值；（2）若数列an的各项均为正数，且a1=2，bn=1设sn=，tn=，试比较sn与tn的大小，并说明理由【考点】数列递推式；数列与函数的综合【分析】（1）根据数列的递推关系时，即可得到a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，a182+a172=37，累加即可，（2）根据数列的递推关系求出an=n+1，nn，再分别表示出sn与tn，分别计算它们的平方，n=1，2，3，4，5，6，当n6时，构造数列cn=，利用换元法和作差法得到数列cn为递增数列，问题得以解决【解答】解：（1）由题意可得a22+a12=5，a42+a32=9，a62+a52=13，a182+a172=37，将上面的式子相加得到=5+9+13+37=189，（2）an2+bnan12=2n+1，a1=2，bn=1an2an12=2n+1，n2，a22a12=5，a32a22=7，a42a32=9，an2an12=2n+1，将上面的式子相加得到an2a12=，an2=（n+1）2，n2，数列an的各项均为正数，an=n+1，当n=1时，也成立，an=n+1，nn*，sn=2n1，tn=，下面比较sn与tn的大小，取n=1，2，3，4，5，6，s12t12，s22t22，s32t32，s42t42，s52t52，s62t62，当n6时，令cn=，则=设2n=t64，则（n+2）（2n1）2（2n+11）2=8（t1）2（2t1）2=4t212t+70当n6时，数列cn为递增数列，cnc6=1，n6时，sn2tn2，综上所述：当n=2，3，4，5时，sntn，当n=1，n6时，sntn20已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx（1）若曲线y=f（x）g（x）在x=1处的切线的方程为6x2y5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在1，e上存在一点x0，使得f（x0）+g（x0）g（x0）成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为0，令m（x）=h（x）2x，可得m（x）在（0，+）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+alnx0，整理得x0alnx0+0，设m（x）=xalnx+，求得它的导数m（x），然后分a0、0ae1和ae1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（，2）（，+）【解答】解：（1）y=f（x）g（x）=x2alnx的导数为x，曲线y=f（x）g（x）在x=1处的切线斜率为k=1a，由切线的方程为6x2y5=0，可得1a=3，解得a=2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有2恒成立，即为0，令m（x）=h（x）2x，可得m（x）在（0，+）递增，由m（x）=h（x）2=x+20恒成立，可得ax（2x）的最大值，由x（2x）=（x1）2+1可得最大值1，则a1，即a的取值范围是1，+）；（3）不等式f（x0）+g（x0）g（x0）等价于x0+alnx0，整理得x0alnx0+0，设m（x）=xalnx+，则由题意可知只需在1，e上存在一点x0，使得m（x0）0对m（x）求导数，得m（x）=1=，因为x0，所以x+10，令x1a=0，得x=1+a若1+a1，即a0时，令m（1）=2+a0，解得a2若11+ae，即0ae1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+aaln（1+a）+10，即1+a+1aln（1+a），可得ln（a+1）考察式子lnt，因为1te，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立当1+ae，即ae1时，m（x）在1，e上单调递减，只需m（e）0，得a，又因为e1=0，则a综上所述，实数a的取值范围是（，2）（，+）选修4-1：几何证明选讲（任选两个）21在圆o中，ab，cd是互相平行的两条弦，直线ae与圆o相切于点a，且与cd的延长线交于点e，求证：ad2=abed【考点】与圆有关的比例线段【分析】连接bd，证明eaddba即可证明ad2=abed【解答】证明：连接bd，因为直线ae与圆o相切，所以ead=abd又因为abcd，所以bad=ade，所以eaddba 从而=，所以ad2=abed 选修4-2：矩阵与变换22在平面直角坐标系xoy中，直线x+y2=0在矩阵a=对应的变换作用下得到的直线仍为x+y2=0，求矩阵a的逆矩阵a1【考点】逆变换与逆矩阵【分析】在直线x+y2=0上取两点m（2，0），m（0，2） 在矩阵m，n对应的变换作用下分别对应于点m，n推导出m、n的坐标，由题意，m、n在直线x+y2=0上，列出方程组求出a=，由此能求出矩阵a的逆矩阵a1【解答】解：在直线x+y2=0上取两点m（2，0），m（0，2）m，n在矩阵m，n对应的变换作用下分别对应于点m，n=，m的坐标为（2，2b）；=，n的坐标为（2a，4）由题意，m、n在直线x+y2=0上，解得a=1，b=0a=，a1=选修4-4：坐标系与参数方程选讲23已知直线l：（t为参数）经过椭圆c：（为参数）的右焦点f（）求m的值；（）设直线l与椭圆c交于a，b两点，求|fa|fb|的最大值与最小值【考点】参数方程化成普通方程【分析】（）椭圆的参数方程化为普通方程，可得f的坐标，直线l经过点（m，0），可求m的值；（）将直线l的参数方程代入椭圆c的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|fa|fb|的最大值与最小值【解答】解：（）椭圆的参数方程化为普通方程，得，a=5，b=3，c=4，则点f的坐标为（4，0）直线l经过点（m，0），m=4（）将直线l的参数方程代入椭圆c的普通方程，并整理得：（9cos2+25sin2）t2+72tcos81=0设点a，b在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2，则|fa|fb|=|t1t2|=当sin=0时，|fa|fb|取最大值9；当sin=1时，|fa|fb|取最小值选修4-5：不等式选讲24已知a，b，c均为正数，且a+2b+3c=9求证： +【考点】不等式的证明【分析】由a，b，c均为正数，运用柯西不等式可得（a+2b+3c）（+）（+）2，化简整理，结合条件即可得证【解答】证明：由a，