如何数复杂图形中三角形个数.doc

如何数复杂图形中三角形的个数作者姓名：曾祥云 电子邮箱： QQ：164105250我们常常会遇到数一个图中有多少个基本图形的问题，比如一个图中有多少个长方形、正方形、三角形等。对于长方形和正方形来说，由于规律性比较强学生觉得比较容易，但对于三角形则往往觉得比较复杂，有时甚至无从下手。拙文从有规律图形和复杂图形两方面来探讨数三角形个数的方法，重点通过一个实例展示数复杂图形中三角形个数的一种方法。一、有规律图形中三角形的个数的计算方法。如图1所示，这种图形中三角形的个数可用公式来表示，其中为BC上的顶点数。其实质就是数BC边上线段的条数，每条线段对应一个三角形。图2所示的图形中三角形的个数则可以用来表示，的含义同上，为端点分别在AB和AC上的连线的数量。以上两种情况比较常见，在后面的方法中也常常要用到。二、复杂图形中三角形个数的计算方法。在图3所示的图形中，常用的方法是先按图2的方法计算出有顶点在A的那部分三角形个数，再加上没有顶点在A的三角形的个数。这样图3中三角形的个数为：对于图4中有多少个三角形，则会让人产生一种无从下手的感觉！对于这种图形，我们可以采用一种暂且命名为“相关擦除法”的方法来计算，下面以图4为例详细介绍“相关擦除法”的使用方法。首先计算一个顶点在A的三角形的个数，也就是与A点相关的三角形的个数：（1）然后擦除原图中其它部分与A点的连线，将它变成图4-1，已擦除的连线用虚线表示，也就虚线应视为不存在的线，只是为了便于联系原图而画出来的，下同。上述个数加上图4-1中三角形的个数就是图4中所有三角形的个数。因为，（1）式中的三角形个数是与A点有关的，而图4-1中三角形的个数则是原图中与A点无关的。图4-1中与B点相关的三角形的个数为：（2）计算出与B点有关的数据后就可以擦除与B点有关的连线，简化成图4-2。依此类推，计算与C点有关的三角形个数后，再变成图4-3。由于图4-2是一个不规则的图形，其三角形的个数不方便用前面的公式来计算，因此，我们有必要找一种数三角形的方法，而不再是公式。可以这样数，从C点出发按顺时针或逆时针方向，数一数一共可以构成多少条三角形回路就行了。现在用逆时针方向来数，从C向A，第一条边有2种选择，分别有2条三角形回路，共4个三角形；再从C向D，第一条边会有5种选择，共有个三角形；再从C向E走，则有2个三角形。这样，图4-2中与C点相关的三角形个数为：（3） 图4-3再去掉无三角形的相关点则变成了图4-4。在图4-4中，我们可以继续用上述方法将图形简化下去，也可以直接数出个数。我们用前面的方法，得到图4-4中与实线大三角形三个顶点有关的三角形总数为：（4）并将图简单化为图4-5。而图4-5中三角形的个数为：4（5）由（1）（5）式，我们得图4中三角形的总个数为： 上述做法只是为了用尽量少的步骤来完成计算，如果为了更加简单地完成全部三角形的个数的计算，则可以从连线少的点进行简化，比如在计算与C点相关的三角形个数这一步，改为先计算与D或E点相关的三角形个数并擦除，再从某个连线较少的顶点来计算相关三角形个数并擦除这样的步骤可能会多一些，