2019届高三文科数学上学期期末试卷带解析

2019届高三文科数学上学期期末试卷带解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本道题计算集合A的范围,结合集合交集运算性质,即可.【详解】 ,所以 ,故选D.【点睛】本道题考查了集合交集运算性质,难度较小.2.已知函数 为奇函数，且当 时， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题结合奇函数满足 ,计算结果,即可.【详解】 ,故选C.【点睛】本道题考查了奇函数的性质,难度较小.3.若 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题化简式子,计算出 ,结合 ,即可.【详解】 ,得到 ,所以 ,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.4.双曲线 ： ，当变化时，以下说法正确的是（ ）A. 焦点坐标不变 B. 顶点坐标不变 C. 渐近线不变 D. 离心率不变【答案】C【解析】【分析】本道题结合双曲线的基本性质，即可。【详解】当由正数变成复数,则焦点由x轴转入y轴，故A错误。顶点坐标和离心率都会随改变而变，故B,D错误。该双曲线渐近线方程为 ，不会随改变而改变，故选C。【点睛】本道题考查了双曲线基本性质，可通过代入特殊值计算，即可。难度中等。5.若实数 ， 满足 ，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合不等式，绘制可行域，平移目标函数，计算最值，即可。【详解】结合不等式组，建立可行域，如图 图中围成的封闭三角形即为可行域，将 转化成 从虚线处平移，要计算z的最大值，即可计算该直线截距最小值，当该直线平移到A(-1,-1)点时候，z最小，计算出z=1,故选B。【点睛】本道题考查了线性规划计算最优解问题，难度中等。6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） 主视图 左视图 俯视图A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可。【详解】结合三视图，还原直观图，得到是一个四棱柱去掉了一个角，如图 该几何体体积 ，故选C.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，难度较大。7.若将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合左加右减，得到新函数解析式，结合正弦函数的性质，计算单调区间，即可。【详解】结合左加右减原则 单调增区间满足 ，故选A。【点睛】本道题考查了正弦函数平移及其性质，难度中等。8.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 ， ， ， 四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线围城的各区域上分别标有数字 ， ， ， 的四色地图符合四色定理，区域 和区域 标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为 的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令B为1，结合古典概型计算公式，得到概率值，即可。【详解】A,B只能有一个可能为1，题目求最大，令B为1，则总数有30个，1号有10个，则概率为 ，故选C。【点睛】本道题考查了古典概型计算公式，难度较小。9.已知函数 ,则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将 的解析式代入不等式，计算x的范围，即可。【详解】当 ， 满足条件，解不等式 ，解得解得 ，所以解集为 ，故选D。【点睛】本道题考查了对数函数不等式计算方法，难度中等。10.已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一点， ，当 周长最小时， 所在直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可。【详解】结合题意，绘制图像 要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以 ，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为 ，所以斜率为 ，故选A。【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等。11.由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522-2010）于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员酒饮后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表示的函数模型 ，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据： ， ）驾驶行为类型 阀值饮酒后驾车 ，醉酒后驾车 车辆驾车人员血液酒精含量阀值 喝1瓶啤酒的情况A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题结合题意,建立不等式,即可.【详解】当酒精含量低于20时才可以开车,故结合分段函数建立不等式, ,解得 ,取整数,故为6个小时,故选B.【点睛】本道题考查了函数不等式的建立与解法,较容易.12.已知偶函数 的定义域为 ，且满足 ，当 时， ， .方程 有 个不等实根；方程 只有 个实根；当 时，方程 有 个不等实根；存在 使 .A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题一个一个分析，结合换元思想和二次函数单调性，即可。【详解】1号得到: .令 , 代入原式,得到 或 ,解得两个方程各有一个根,故正确;2号建立方程 ,解得 ,所以 为偶函数,而 , ,故不止一个实根,故错误.3号 解得x=2，0,-2.-4,.而令 ，故 的范围为 ，因而 ，一共有七个根，故正确。4选项当 ， ，而当 ，根本就不存在这样的点，故错误。【点睛】本道题考查了二次函数的性质和偶函数的性质，难度较大。二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量 ， ，若 ，则实数 _【答案】【解析】【分析】结合向量垂直满足数量积为0，计算的值，即可。【详解】 因而 ，则【点睛】本道题考查了向量垂直的坐标表示，难度较小。14.若直线 与两坐标轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，则 的内切圆的标准方程为_【答案】【解析】【分析】结合三角形面积计算公式，建立等式，计算半径r，得到圆方程，即可。【详解】设内切圆的半径为r，结合面积公式则 因而圆心坐标为 ，圆的方程为【点睛】本道题考查了圆方程计算方法，难度较小。15.已知圆台的上、下底面都是球 的截面，若圆台的高为 ，上、下底面的半径分别为 ， ，则球 的表面积为_【答案】【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。【详解】设球半径为R，球心O到上表面距离为x，则球心到下表面距离为6-x,结合勾股定理，建立等式 ，解得 ，所以半径因而表面积【点睛】本道题考查了球表面积计算方法，难度中等。16. 的内角 ， ， 的对边分别为， ，且 ， 的面积为 ， ，则 的最大值为_【答案】【解析】【分析】本道题反复运用正弦定理、余弦定理，计算出bc的范围，并用bc表示所求式子，计算最值，即可。【详解】 ，推出利用余弦定理 ，代入上式子中，得到结合正弦定理 ，计算出 【点睛】本道题考查了正弦、余弦定理，难度较大。三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列.（1）求数列 的通项公式；（2）数列 满足 ，求数列的 前 项和 .【答案】（1） ;（2） .【解析】【分析】(1)利用 ,计算通项,即可.(2)将数列 通项代入,利用裂项相消法,即可.【详解】解：（1）因为 ， ， 成等差数列，所以 ，当 时， ，所以 ，当 时， ， ，两式相减得 ，所以 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .（2） ，所以 ，所以 .【点睛】本道题考查了等比数列通项计算方法以及裂项相消法,难度中等.18.如图，四棱锥 中，底面 是平行四边形， ， ， 底面 . （1）求证：平面 平面 ；（2）若 ，求三棱锥 的高.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】(1)分别证明AD垂直EC,AC,然后结合平面与平面判定,即可.(2)法一,利用 ,即可.法二,证明得到 为三棱锥 的高,即可.【详解】证明：（1）因为在平行四边形 中， ， ，由余弦定理可得： ，所以 ，所以 ，故 ，又因为 底面 ，所以 ，又因为 ，所以 平面 ，所以平面 平面 .（2）因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 .（法一）设三棱锥 的高为 ，由 可得： ， 解得 ，所以三棱锥 的高为 .（法二）在 内，作 ，垂足为 ，由（1）知平面 平面 ，又平面 平面 ，所以 平面 ，所以 为三棱锥 的高，故在 中， ，即 ，解得 ，所以三棱锥 的高为 .【点睛】本道题考查了平面与平面垂直判定以及性质,难度中等.19.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆 的长轴长与焦距之比为 ，过 且斜率不为 的直线与 交于 ， 两点.（1）当的斜率为 时，求 的面积；（2）若在 轴上存在一点 ，使 是以 为顶点的等腰三角形，求直线的方程.【答案】（1）12（2）【解析】【分析】(1)结合椭圆的基本性质,分别计算a,b,c的值，代入直线方程，即可。（2）代入直线方程，结合等腰三角形底边和高相互垂直，建立等式，计算k，得到直线l的方程，即可。【详解】解：（1）依题意，因 ，又 ，得 ，所以椭圆 的方程为 ，设 、 ，当 时，直线：将直线与椭圆方程联立 ，消去 得， ，解得 ， ， ，所以 .（2）设直线的斜率为 ，由题意可知 ，由 ，消去 得， ， 恒成立， ，线段 的中点 ，则 ， ，若 是以 为顶点的等腰三角形，则 ，得 ，整理得： .故直线的方程为 .【点睛】本道题考查了直线与椭圆的位置关系以及椭圆的基本性质，难度偏难。20.某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了 件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：分组 频数 频率 合计 （1）求， ；（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于 或小于 为不合格，钢管尺寸在 或 为合格等级，钢管尺寸在 为优秀等级，钢管的检测费用为 元/根.（i）若从 和 的 件样品中随机抽取 根，求至少有一根钢管为合格的概率；（ii）若这批钢管共有 根，把样本的频率作为这批钢管的频率，有两种销售方案：对该批剩余钢管不再进行检测，所有钢管均以 元/根售出；对该批剩余钢管一一进行检测，不合格产品不销售，合格等级的钢管 元/根，优等钢管 元/根.请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由.【答案】（1） （2）（i） （ii）选第种方案【解析】【分析】（1）结合频率直方图的意义，计算b，结合概率之和为1，得到a，即可。（2）（i）利用古典概率计算公式，即可。（ii）分别计算出第一种法案和第二种方案的收益，比较，即可。【详解】（1）由题意知： ，所以 ，所以 .（2）（i）记内径尺寸在 的钢管为 ， ，内径尺寸在 的钢管为 ， ， ，共有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 种情况，其中，满足条件的共有 种情况，所以所求概率为 .（ii）由题意，不合格钢管的概率为 ，合格钢管的概率为 ，优秀钢管的概率为 ，不合格钢管 根，合格钢管有 根，优秀等级钢管有 根.若依第种方案，则 元；若依第种方案，则 元 ，故选第种方案.【点睛】本道题考查了频率直方图的意义，难度中等。21.已知 ， .（1）若 ，证明函数 在 单调递增；（2）设 ，对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】（1） 在 上单调递增（2）【解析】【分析】（1）计算 ，求导函数，判断符号，得到原函数单调性，即可。（2）对 ， 恒成立，构造函数 ，求函数导数分析函数单调性即可。【详解】解：（1） ， ，由于 ，所以 ，又 ， ，因此 ，所以 ，即 在 上恒成立，故 在 上单调递增.（2） ，由题意：对 ， 恒成立，设 ， 又设则 ，因此 在 单调递增，所以 ， 当 时， ，即 ， 在 单调递增，故有 ，即 适合题意. 当 时， ， ，若 ，则取 ， 时， ，若 ，则在 上 存在唯一零点，记为 ，当 时， ，总之，存在 使 时， ，即 ，所以 单调递减， ，故 时存在 使 不合适题意，综上， 为所求.【点睛】本道题考查了利用导数判定原函数的单调性问题，难度较难。22.已知在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 轴的非负半轴为极轴，原点 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线 和 分别与曲线 相交于 、 两点（ ， 两点异于坐标原点）.（1）求曲线 的普通方程与 、 两点的极坐标；（2）求直线 的极坐标方程及 的面积.【答案】（1） ， .（2）【解析】【分析】（1）消参，即可得到曲线C的普通方程，结合 ， ，得到曲线C的极坐标方程，计算A,B坐标，即可。（2）结合 ， ，即可得到直线AB的极坐标方程，分别计算OA,OB的长，结合三角形面积计算公式，即可。【详解】解：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数），所以消去参数 得曲线 的普通方程为 ，因为 ， ，代入曲线 可得 的极坐标方程： .将直线 ， 代入圆的极坐标方程可知: ， ，故 、 两点的极坐标为 ， .（2）由 ， 得： ， ，根据两点