珠算的使用方法(完整).doc

第1章 珠算概述第一节 珠算的起源与发展珠算是以算盘为工具，数学理论为基础，运用手指拨珠，进行运算的一门计算技术，它是我国古代劳动人民重要的发明创造之一，千百年来这一技术不断扩散，传播到世界各国，推进着人类文明的发展历程。珠算和算盘是由我国古代的“筹算”和“算筹”发展演变而来的。算筹是小竹棍。用算筹表示数和进行计算叫“筹算”。从我国最早的天文学、数学著作周髀算经中可以知道“筹算”至少在春秋时代就有了广泛的应用。近年我国考古学者已从秦汉古墓中发现了古代算筹。据史书记载，南宋时代已有珠算歌诀出现，珠算自产生之日起发展到今，已有1800多年的历史。由于珠算所具有优越的计算功能、教育功能和启智功能，即使社会已进入电子时代，计算工具中的传统算盘仍然具有广泛的适用性，发挥着重大作用。新中国成立后，党和国家领导人十分重视珠算事业的发展。1972年，周恩来总理在接见美籍物理学家李政道博士时说：“要告诉下面不要把算盘丢掉，猴子吃桃子最危险。”1979年，薄一波同志为珠算杂志题词“算盘是我国的传统计算工具。一千多年以来，在金融贸易和人民生活等方面起了重要作用。用算盘和用电子计算机并不矛盾。现在还应充分发挥算盘的功能，为我国经济建设事业服务。”我国的珠算及算盘，是我国劳动人民在长期的生产、生活实践中创造发明的，是中华民族优秀的科学文化遗产之一，即使在当今计算机盛行的时代，仍不失为一门实用的科学和一项优良的计算技术。第二节 珠算基础知识一、认识算盘算盘的发明历史悠久，在长期的社会实践过程中，我国劳动人民创造出各种精美的算盘。随着经济的发展和科学技术的进步，算盘作为一种计算工具也不断得到改进和革新。现就算盘的结构与种类分述如下：（一）算盘的结构算盘呈长方形，由边（框）、梁、档、珠四个基本部分组成。改进后的算盘又增加了清盘器、计位点和垫脚等装置（见图1-1）上珠档下珠框粱清盘器计位点垫脚图1-1边、梁、珠多为木质，档用细竹（或细金属条）制作。目前有以塑料、牛角、金属材料制造边、梁、珠的算盘。边（框）：是算盘的四周框架，用以固定算盘的梁、框、珠各部分，它决定了算盘的大小及形状。梁：是连接左右两边的一条横木，将盘面分为梁上、梁下两部分。档：是连接上下边并穿过横梁的细柱，用以穿连算珠并表示数位。珠：又称“算珠”或“算盘子”，梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠。七珠算盘最上面的一颗叫顶珠，最下面一颗叫底珠。清盘器：是近年来改革新加的。它是安装在横梁下面用以使算珠离梁的装置，其操作按钮装置在算盘上边的左端。主要用于提高清盘的速度与质量。垫脚：装在算盘左右两边底面，共三个。其作用是使算盘底面离开桌面，当推拉算盘下面的计算资料时，防止算珠被带动。计位点：是在梁上做出的计位标记，每隔三档一点，主要作用是为计数与看数方便。（二）算盘的种类我国目前使用的算盘大致分为三类。1.圆形七珠大算盘。这是我国的传统算盘，算珠上二下五，又分为九至十五档等几种。这种算盘手指拨动算珠的幅度大，使用时声音响，处于被淘汰的趋势（见图1-2）图1-2 圆形七珠大算盘2.菱珠中型算盘。这种算盘是在圆形七珠大算盘的基础上改进而来的。算珠上一下四，比圆形七珠算盘缩短了档距，减少了算珠，增加了档位，并装有清盘装置及垫脚。它克服了圆形七形大算盘的缺点，是我国目前使用最广泛的一种算盘（见图1-1）3. 菱形小算盘。这是一种上一下四（或下五）珠条形菱珠小算盘，一般档位较多，便于手握移动。档距短，利于提高速度。该种算盘目前流行于我国东北地区，有大力推广的趋势（见图1-3）.图1-3 菱形六珠小算盘二、打算盘的基本功（一）握笔方法珠算运算需要用手拨珠，又要用手持笔书写计算结果，所以要求握笔方法正确：一是用无名指和小指握住笔头部分，笔身横在拇指和食指间，使拇指、食指和中指能够灵活拨珠（见图1-4）；二是将笔夹在无名指和小指之间，笔头在小指方向，笔身横在拇指和食指之间（见图1-5）；三是菱珠小型算盘握笔法，将笔身横在右手拇指与食指间，笔杆上端伸出虎口，笔尖露在食指与中指之外（见图1-6）. 图1-4 图1-5 图1-6（二）正确坐姿：打算盘的姿势正确与否直接影响运算的准与快。因为眼、脑、手要并用，配合要默契，动作要连贯，所以打算盘时，身要正，腰要直，肘和腕离开桌面，头稍低，要求视线落在算盘与练习题交界处，运算时靠视觉转移看数拨珠，不能摆头。打算盘时肘部摆动的幅度不宜过大，手离开桌面距离大约为0.5cm，过低在运算中会产生带珠，过高会发生手指上下跳动拨珠。要做到指不离档，手指与盘面的角度，一般为4560较好。身体与桌沿的距离约10cm，算盘放在适当的位置，并与桌边基本平行。使用算盘时，应利用算盘的边与计算资料的行次进行运算。这样才能加快速度，提高运算质量。（三）记数与看数1、记数算盘以算珠表示数码，靠梁算珠表示数字，离梁算珠表示零。上珠一颗当五，下珠一颗当一。以档表示数位，计算中各档表示的数位不同，高位在左，低位在右，每隔一档相差10倍，选定个位档以后，向左分别为十位档、百位档、千位档向右分别为十分位、百分位、千分位每差一档扩大或缩小10倍。某档下珠满五，需换用上珠表示，称为“五升”；某档算珠满十，需换用左档一颗算珠表示，称为“十进”。这种上下珠记数和进位方法称为“五升十进制”。作加减运算时，选定档位不得变化。算盘中全部算珠离梁靠边称为空盘，将数码拨入空盘，使算珠离边靠梁叫“置数”，如置123456789于盘上，如图1-7所示。图1-72、看数将数码置数于空盘，或将盘上的数字记录下来，都需要看数。要练习一眼能看几位数字，一般开始时分节看数，从左到右三位一节，熟练之后要能边看边打。不要看一个数码拨一次算珠，或看完一个数后再拨算珠。看数与拨珠要防止口中读出声音，应练成看数反映快、记数牢而准的基本功。3、写数计算完毕，将算盘上的答案记录下来，这是珠算运算的最后一个环节。表面上看抄写数字与计算关系不大，但一道题的正确与否，除取决于运算拨珠是否正确外，还与抄写数字有较大关系。一是数字抄写是否准确、清晰、整齐；二是抄写是否快捷。在运算过程中，要养成笔不离手的习惯，写数时，应在准的基础上求快。要养成盯盘写数的好习惯，这就要锻炼眼睛捕捉盘上数字的能力，当一道题计算完毕，左手握住清盘器，眼睛盯盘，在确定写数位置后，一笔数就能从高位到低位很快写完。写数时从高位到低位连同小数要一次书写完毕。只有做到盯盘写数，并认真练习，才能达到书写数字的准与快。（四）正确的定位与清盘计算水平的高低，除了计算各环节相互衔接外，主要是要提高计算效率，尽量减少一些环节，如定位、清盘等在整个计算过程中所占用的时间。具体做法为：在一道题快要计算到尾数时，位数就已确定，就应抓紧时间书写答案，当答案书写到末位数时，左手中指按下清盘器随即清盘。这样，定位、清盘就不占用计算时间，大大提高了运算的节秦和运算的效率。使用装有清盘器的算盘，应直接使用清盘器进行清盘。使用没有清盘器的算盘，其清盘方法是：将右手的拇指和食指捏拢，顺梁的两侧从右向左迅速将上下珠排开并靠边，每次清盘要求用力适当，动作不要重复。三、拨珠方法珠算拨珠法又称指法。拨珠方法的合理、准确与否，直接影响着计算的速度与准确度。拨珠方法可分为两种（一）三指拨珠法为了适合算珠位置和拨动方向，使拨珠迅速，拇指、食指和中指应有一定的分工。1、单指独拨（1）拇指：专拨下珠靠梁 （2）食指: 专拨下珠离梁 （3）中指:专拨上珠靠梁与离梁 2两指联拨(拇指、中指联合拨珠)为了提高拨珠速度，在熟练单指独拨的基础上，力求应用两指联合拨珠。（1）双合： 即上下珠同时靠梁 6，7，8，9 ； 15，25，35，45（2）双分：即上下珠同时离梁6，7，8，9 ； 15，25，35，45方（3）双上 即下珠靠梁，上珠离梁5-3，5-2，5-4 ； 255 ，55，1615（4）双下 即上珠靠梁，下珠离梁23、41、2+4 ； 2+4 10-5、20-5、20-15、30-253.三指分工练习(1)拇指：在四个档位上来回加1共四次。(2)食指：在算盘是4、4、4、4的基础上来回减1共四次。(3)中指：在算盘的上四个档位上来回加减5四次。(4)双合、双分：在空盘上分别加减6、7、8、9各八次。(5)双上、双下：盘上置数4、4、4、4，然后分别加减1、2、3、4各八次。（二）两指拨珠法 一般情况下使用菱珠小算盘，用拇指、食指拨珠，称“二指法”。 使用小算盘运算应用右手的拇指和食指进行拨珠，中指、无名指和小指应向掌心自然弯曲。1、单指独拨（1）拇指二指法：管下珠靠梁，有时管下珠离梁 （2）食指 二指法：管下珠离梁，上珠靠梁和上珠离梁。 2、 两指联拨双合（1）二指法：用拇、食指，托拨上下珠靠梁。 同档法：同一档上、下珠同时靠梁。例：在空盘上拨入6、7、8、9或17、26、36、27。 异档法：左档下珠和右档上珠同时靠梁。例：在空盘上拨入15、25、35、45或2015、1035、1225。 双分（1）同档法：用拇、食指，挑拨上下珠离梁。一是同档上珠与全部下珠同时离梁。例：99、88、77、66。二是同档上珠与部分下珠离梁。例：87、97、96、86、98、76。（2） 异档法：一是左档全部下珠与右档上珠同时离梁。例：4545、3535、2525、1515、8935二是左档部分下珠和右档上珠同时离梁。例：4525、4515、4535、3515、35 15、9615。 双上（1） 同档法：用拇、食指，托下珠靠梁，挑上珠离梁。同档下珠靠梁，上珠同时离梁。例：51、52、53、54、61、62、63等（2） 异档法：左档下珠靠梁，右档上珠同时离梁。例：55、515、525、535、65、75、85、95。 双下（1）同档法：用拇、食指，拨上珠靠梁，下珠离梁。一是同档上珠靠梁，全部的下珠同时离梁。例：14、23、 32、41二是同档上珠靠梁，部分下珠同时离梁。例：44、43、42 （2）异档法：一是左档全部下珠离梁，右档上珠同时靠梁。例：105、2015、3025、4035 。二是左档部分下珠离梁，右档上珠同时靠梁。例：205、3015、4025、6215 扭进：用拇、食指，拨本档下珠离梁，托前档下珠靠梁。例：19、28、37、46、69、317、78 扭退：用拇、食指，拨前档下珠离梁，托本档下珠靠梁。例：109、108、107、106、2018、3219 第三节 数字写法计算离不了数字，珠算运算必须和书写数字结合起来。只有正确和规范化的书写，才能保证计算任务的顺利完成。在实际工作中，往往由于数字书写的错误，给经济工作带来损失。常用的数字有中文大写数字和阿拉伯数码两大类。 一、中文大写数字 一般填写发票、账单、签订合同收据等用中文大写。 壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟、万、亿、零 在书写中文大写数字时，应注意以下问题： 第一、书写一定要正规，不可随意简写。 第二、大写金额前加“人民币”三字，后面接写数。 第三、金额数字中有几个零时，空位要补零（如贰万零叁佰零肆元整），但两个以上的空位在一起可只写一个零（如肆万零壹元），元以下无角、分时，元后面必须写一个“整”字，不应写成“正”。大写金额有角、分时，元以下不要写“整”字。 第四、为防止涂改，“拾”字前必须加写一个“壹”字（如壹拾元叁角贰分），不要只写拾元。 第五、一笔数字不论写错了一个字或几个字，都不得在原来的数字上单码更改。一般再换单据或把错误数字全部划上一道红（或蓝）线，表示注销，然后重新把正确数字写在划掉数字的上面，并在原错字划掉数字的左端加盖个人印章，表示负责。二、阿拉伯数码 阿拉伯数码在一切单据和帐表上的写法是和普遍写法不同的，它有一定的格式和要求： 第一，在帐表横格上书写时，上面要空出1/3到一半的位置，一是好看，二是备作改错用。第二，数字写法是自上而下，先左后右。第三，一般数字在格内的斜度以60为准（见上面标准字样）。第四，除7和9两个字的上端要低下半格的1/4，腿伸出下一格上半格的1/4外，其他12345680都要靠在底线上第五，4的左竖，上至下半格右边线，下至下半格左边1/4处；中竖高度为下半格的1/2，以防改1为4。第六，6的上竖伸入上半格1/4，防止改6为8。第七，8的左上端略出格外，避免把3改成8的可能性。第八，0字切勿写小了，不要敞口，不要写成扁长型“0”，在连写几个0时，不要加连接线如：“000”。第九，整数部分，按“三位一节”的记数方法。在国际和我国有关规定中，数码字一律不用分节号，但由于珠算的特点，往往还应用分节号，即由个位起从右至左，每隔三位，用分位点（，）隔开，如9，876，543，210，便于看数打算盘。第十，整数金额以下，角、分位数字下，应划一横线，并在横线左前端（即角位数字以前，元位数字以后）点一小数点。如捌元整应写为“8.00”，伍角叁分应写成“0.53”，但在账册报表上已印有数位分隔线的，就不必这样写了，整数后的角分，可同样写数就可以，不必在数码下划线。数前面加￥，表示人民币。第十一，如果在账表上写错了数字，应把错误的数字用一道红线或蓝线全部划去以示销去，然后重新把正确数字写在错数上端，决不应在原错数字上改错。同时要在原错字划线左端加盖个人印章，以示负责。练习题：用汉字大写金额数字写出下列各数1) ￥1,234,000,009.00 2) ￥987,076.303) ￥89,000,987.32 4) ￥ 654,100.30 5) ￥906,089,116.00 6) ￥9,087.007) ￥ 450,987,056.07 8) ￥76,908.569) ￥120,000,000.30 10) ￥230,003.04第四章 珠算除法除法是将一个数平均分成几份，求出每份是多少，或求一个数是另一个数的几倍的方法，实际上也是同一个数连续相减的的简便算法。其算式为：被除数除数=商数。当除不尽时，除法的算式成为：被除数除数=商数余数。珠算除法的种类较多，一般分为基本算法和变通算法。基本算法可按以下分类：按置商档次分，有挨档置商和隔档置商；按求商是否用口诀分，有不用口诀求商和用口诀求商。挨位置商除法是根据我国传统的归除口诀来拨珠运算的，一归除法为代表；隔档置商除法是用九九口诀来拨珠运算的，以商除法为代表。也就是说，珠算的基本除法主要有归除法和商除法两种，这两种方法各有其优缺点：归除法的优点是利用九归口诀定商是较准的，但运算时必须用口诀，因而牢记口诀就成为必需。商除法的计算方法和笔算类同，由于它不需口诀，故易于掌握，虽其定商不如归除明显，但如掌握了估商的规律，其速度是快的。不论用哪种方法运算，珠算除法应遵守以下两个基本规则：用被除数除以除数时，应从左到右，先从被除数的最高位除起，依次除到最低位。珠算除法是用大九九口诀相乘，其乘积是递位迭减，它是乘法的逆运算。为便于读者学习掌握各种珠算除法，我们对商除法、归除法均加以介绍，同时还介绍一些变通除法。第一节 商的定位法商的定位法就是确定商数位数的方法。商的定位方法也有多种，常用的有：公式定位法、固定个位点定位法。一、公式定位法公式定位法也叫通用定位法，它是用公式的方法进行定位，把定位的规律公式化，使之易懂、易记、易用。它有以下优点：适用范围广，不论笔算、心算、珠算、机械算等都能适用，并且比较方便；不论整数、小数的除法，定位公式一致，原理相同；不论在计算前、计算后，都适用；盘上盘下都可用。（一）定位公式先假设：被除数的位数为m,除数的位数为n,商的位数为W,则有商的两个定位公式：公式一：W=m-n公式二：W=m-n+1从上面可以看出，商的位数有两种情况：一是被除数位数减除数位数；二是被除数位数减除数位数再加一位。因此，在实际运算中如何来判断用哪个公式进行定位是一个重要的问题，可先看下面两组实例： 568=7 （2位-1位=1位） 第一组 27045=6 （3位-2位=1位） 262836=73 （4位-2位=2位） 924=23 （2位-1位+1位=2位）第二组 7224=3 （2位-2位+1位=1位）16913=13（3位-2位+1位=2位）从上面的例题可以看出，第一组是用公式一进行定位的，即用W=m-n进行定位；第二组是用公式二进行定位的，即用W=m-n+1进行定位。（二）进行定位的方法在实际运算中，如何迅速正确的判断用哪个公式进行定位，可用两种方法进行：一是公式定位基本方法；二是盘上公式定位法。1、公式定位基本方法。公式定位基本方法，是用被除数的首位数与除数的首位数进行比较后来确定用哪个公式进行定位，通过比较会出现三种情况：（1）被除数的首位数小于除数的首位数。当被除数的首位数小于除数的首位数时，就用公式一进行定位，即用W=m-n进行定位。如上面第一组的第一题，被除数首位是5，除数的首位是8,5比8小，就用公式一进行定位。第一组的另外两题也是如此。（2）被除数的首位数大于除数的首位数。当被除数的首位数大于除数的首位数时，就用公式二进行定位，即用W=m-n+1进行定位。如上面第二组的第一题，被除数的首位是9，除数的首位是4,9比4大，就用公式二进行定位。 （3）被除数的首位数等于除数的首位数。当被除数的首位数等于除数的首位数时，还要将两因数的同位数进行比较，即将被除数的第二位数与除数的第二位数进行比较，如果被除数小于除数，就用公式一进行定位；如果被除数大于除数，就用公式二进行定位。如上面第二组的第三题16913，被除数与除数的首位数都是1，相等，则将两因数的第二位进行比较，6比3大，所以用公式二进行定位。当被除数与除数的各位都相等时，用公式二进行定位，如1010=1，是用公式二进行定位的。这种方法的定位可概括为：“位数相减，实大加1”。“位数相减”，代表公式一，即将被除数的位数减除数的位数。“位数相减，实大加1”，代表公式二，即将被除数的位数减除数的位数，还要再加1位。在什么情况下加1呢？实大的时候才加1。所谓“实大”，就是指被除数首位数大于除数的首位数，亦即够除。2、盘上公式定位法。把公式定位法原理运用到算盘上定位，叫做“盘上公式法”，又称“首位档定位法”。它是指经运算后，根据商数的首位数落在哪一档上来确定用哪个公式进行定位。用这种方法进行定位，要依据运用什么除法来运算。如果用隔位置商（如商除法）的方法进行运算时，运算完毕，如果商的首位数落在原被除数首位数的前一档上，就用公式一进行定位；如果商的首位数落在原被除数首位数的隔一档上，就用公式二进行定位。假如用挨位置商（如归除法）的方法进行运算时，运算完毕，如果商的首位数落在原被除数首位数的本档上，就用公式一进行定位；如果商的首位数落在原被除数首位数的前一档上，就用公式二进行定位。为了尽快确定一道题用哪个公式进行定位,最好是将被除数拨在固定的档位上,不要随意变动.运用归除法运算,一般是将被除数从算盘左边第二档起拨入,即算盘左边留出一个空档;运用商除法运算,将被除数从算盘左边第三档起拨入,即算盘左边留出两个空档。这样，当运算完毕后，如果算盘左边第一档有商数时就要加1位，即用公式二进行定位；否则是不能加1位的，即用公式一进行定位。这种方法的定位可概括为：“位数相减，满档加1”。“位数相减”，代表公式一，即将被除数的位数减除数的位数。“位数相减，满档加1”。代表公式二，即将被除数的位数减除数的位数，还要再加1位。在什么情况下加1呢？满档的时候才加1位，所谓“满档”，就是指商数的首位数在算盘左边第一档出现。例一23966857.2=4190（用不隔位除法运算）将被除数239668从算盘左边第二档起拨入。图运算结果的盘面数是419，但首位档是空档，故用公式m-n进行定位,即6位-2位=4位，得到商数为4190。图例26927542.5=1630（用不隔位除法运算）将被除数69275从算盘左边第二档起拨入。图运算结果的盘面数是163，但首位档是满档，故用公式m-n+1进行定位,即5位-2位+1位=4位,得到商数为1630。图二、固定个位点（档）定位法它是一种算前定位法，又叫固定个位档定位法。是在运算前运用m-n或m-n+1求出商的个位,然后按此要求将被除数和除数两数的位数相减(m-n)得出位数;如采用隔位除法运算,是将被除数的位数减除数的位数后再减1位(m-n-1)得出位数。得出的位数作为“实数”的新位数，然后对应个位档拨入盘内，它的个位就是所求商的个位。例1457.7157=8.03(用不隔位除法运算)算前定位: m-n=3位-2位=1位,并将被除数457.71改变为4.5771拨入算盘,定出个位档。图运算结果，盘面数为803，原定个位档是8，故商数为8.03。图例28.0460.14=57.6(用隔位除法运算)算前定位: m-n-1=1位-0位-1位=0位,并将被除数8.064改变为0.8064拨入算盘,定出个位档。图运算结果,盘面数为576,以原定个位档计数,则商数为57.6。图练习题用公式定位法确定下列各题的商(1)2506.6168.3367(2)412.02327126(3)3.744960.752498(4)0.760763.08247(5)49491.2836592(6)24.600510.03267753(7)4.7624823.62018(8)19226.66498.1386(9)52.38820.003261607(10)0.0310018885.17364第二节 基本除法一、商除法（一）笔算除法与珠算除法的联系和区别基本商除法，又称算术商除法，它是用大九九口诀进行求商，计算的原理和方法与笔算除法基本一致。商除法的“商”，是商量、商议之意，即用估商的办法求出商数，每求一位商数都需经过估商和乘减两个步骤。但也有不同的地方：一是珠算运用的工具是算盘，而笔算的用纸和笔；二是珠算估商后将商置在算盘左边，而笔算把商数写在被除数上方；三是减积时，笔算将积数写在纸上，珠算则只须边乘边从算盘上减去积数。所以，珠算比笔算方便又快速。商除法历史悠久，古书孙子算经早有记述方法，但有商除专名者，始见南宋杨辉算法通变本末一书。历史上商除法都是“隔位”法的，即“够除隔位置商，不够除挨位置商”。当今，发展有“不隔法”的，即“够除挨位商，不够除本位改商”。(二)隔位商除法1.商除法程序、步骤。（1）置数。是将被除数拨入算盘，拨入被除数时，算盘的左边起码要留出两个空档，即被除数从算盘左边第三档起拨入。（2）估商。估商也叫试商，就是被除数除以除数确定商数是几。（3）置商。置商也叫立商，就是将估计的商数拨在某一档上。置商原则是：“数大（相等）隔位商，数小前位商。“数大”包括两种类型：被除数的首位数大于除数首位数字。如：76348，被除数首数是7，除数首位是4，7比4大。被除数和除数头几位数字相同，但后面的数字，被除数大于除数。如：33763335，被除数和除数的首次两位都是3，相同，但被除数和除数的第三位分别是7和5，7比5大。“相等“是指被除数和除数相同的。如”473627473，被除数和除数的前三位都是473，相等。“数小”包括以下两类型：被除数的首位数字小于除数的首位数的。如：41263653，被除数首位是4，除数首位是6，4比6小。被除数和除数的头位或头几位数字相同，但后面的数字被除数小于除数。如：5367586，被除数和除数的首位都是5，相同，但被除数和除数的第二位分别是3和8，3比8小。“隔位商”，就是指要在被除数首位的左边隔一档上置商。“前位商”，就是指在要被除数首位的左边前一档上置商。分清数大（相等）或数小，在商除法中是极为重要的，因为它决定置商的档次。（4）减积。即从被除数中减“商数与除数的乘积”。就是将试商乘以除数，依次相乘，边乘边从被除数中减去积数。是从商数的右边一档开始减。（5）商数或余数。减商积以后，被除数被减后，被减数减完，便是除尽了，所以之商就是商数。如果还有余数，这个数也叫做第二次被除数，按照以上程序再进行估商、置商、减商积，去做第二次除、第三次除有几次余数就要做几次除，直到除尽或计算到所要求的位数为止。（6）定位。用公式定位法进行定位。2.一位数除法。在珠算方面，除数只有一个非零的数字，称一位数除法。一位数除法的运算方法及步骤为：（1）置数。将被除数从算盘左第三档起拨入，要求默记除数。（2）估商。就是把被除数的首位或首次两位除以除数，用心算估计出商数。当被除数首位大于除数时，是将被除数的首位数除以除数而求出商数;当被除数首位小于除数时，是将被除数的首次两位除以除数而求商数。（3）置商。按置商原则规定的要求进行置商。（4）减积。将估计的商数乘以除数，其积数从商数的右边一档开始减去。（5）定位。用公式定位法进行定位。例126226437将被除数2622从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位2小于除数6，是属数小类型。将被除数的首次两位26除以6，估计商数4并拨在被除数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商4的右档起减乘积“四六24”，得首位商4，余数为222。图余数首位2小于除数6，是属数小类型。将余数首次两位的22除以6，估计商数3并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商3的右档起减乘积“三六18”，得首、次位商为43，余数为42。图余数首位4小于除数6，是属数小类型。将余数首次两位42除以6，估计商数7并拨在余数首位4的前一档上（数小前位商），然后在商7的右档起减乘积“七六42”，恰好除尽。图定位，用盘上公式定位法定位，盘左一档无商数，则不加1，4位-1位3位，得商数为437。例27383246将被除数738从算盘左边第三档起拨入。被除数首位7大于除数3，是属数大类型。将被除数的首位7除以3，估计商数2并拨在被除数首位7前面隔一档上（数大隔位商），然后在商2的右档起减乘积“二三06”，得首位商2，余数为138。图余数首位1小于除数3，是属数小类型。将余数首次两位13除以3，估计商数4并拨在余数首位1的前一档上（数小前位商），然后在商4的右档起减乘积“四三12”，得首、次位商为24，余数为18。图余数首位1小于除数3，是属数小类型。将余数首次两位18除以3，估计商数6并拨在余数首位1的前一档上（数小前位商），然后在商6的右档起减乘积“六三18”，恰好除尽。图定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，3位-1位+1位3位，得商数为246。练习题用商数法计算下列各题：（1）15484（2）30527（3）2862（4）50568（5）32286（6）26.469（7）2.580.5（8）0.11340.03（9）723.42（10）1.73250.073.多位数除法除数里非零的数字超过一位者，称之为多位数除法。多位数除法与一位数除法大同小异，也有置数、估商、置商、减积、定位等五个计算步骤。不同的只是由于除数的位数增加后，减积次数也相应增加，同时，给估商和减积带来了一定的难度。多位数除法的运算方法及步骤：（1）置数。同一位数除法一样，将被除数从算盘左边第三档开始拨入。（2）估商。虽然与一位数除法一样，是将被除数的首位或首次两位除以除数的首位，但由于除数的第一位数字和第二位数字对商数影响较大，因此，估商时要灵活运用。（3）置商。同一位数除法的置商一样。（4）减积。估商后，用商数与除数各位数字逐一相乘，依次从被除数中减去。减积的档次是：除数是第几位，它与商数相乘，其乘积的十位数就从商右边第几档中减去。也就是说，除数是第一位，它与商数相乘后其乘积的十位数就在商数右边第一位减，个位数在商右边第二位减；除数是第二位，它与商数相乘后其乘积的十位数就在商右边第二位减，个位数在商右边第三位减，余依此类推。或者是从商数右边一档起开始减积数，以下各减的数依照“指不离档”原则逐位从被除数中减去。（5）定位。用公式定位法进行定位。例1308924826374将被除数308924从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位3小于除数首位8，属数小类型。将被除数的首次两位30除以除数首位8，可估商3并拨在被除数首位3的前一档上（数小前位商），然后在商3的右一档起依次减去乘积“三八24”、“三二06”、“三六18”，余数为61124。图余数首位6小于除数首位8，属数小类型。将余数的首次两位61除以除数首位8，可估商7并拨在余数首位6的前一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七八56”、“七二14”、“七六42”，余数为3304。图余数首位3小于除数首位8，属数小类型。将余数的首次两位33除以除数首位8，可估商4并拨在余数首位3的前一档上（数小前位商），然后在商4的右一档起依次减去乘积“四八32”、“四二08”、“四六24”，恰好除尽。定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，6位-3位3位，得商为374。 例20.820020.00346237说明：本例题是小数除法，运算时看成是整数除法，即可看成是：82002346，因为是算后定位的（以下同）。将被除数82002从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位8大于除数首位3，属数大类型。将被除数首位8除以除数首位3，可估商2并拨在被除数首位8的左边隔一档上（数大隔位商），然后在商2的右档起依次减去乘积“二三06”、“二四08”、“二六12”，余数为12802。图余数首位1小于除数首位3，属数小类型。将余数的首次两位12除以除数首位3，可估商3并拨在余数首位1的左边一档上（数小前位商），然后在商3的右一档起依次减去乘积“三三09”、“三四12”、“三六18”，余数为2422。图余数首位2小于除数首位3，属数小类型。将余数首次两位24除以除数首位3，可估商7并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七三21”、“七四28”、“”七六42，恰好除尽。图定位，用盘上公式定位法，商的首位数在算盘左边第一档上，故要加1位，0位-（-2）位+1位3位，得商237。例32.8290434.230.67说明：本例为除不尽题，商数要求保留两位小数，以下四舍五入。将被除数2829043从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位2小于除数首位4，属数小类型。将被除数的首次两位28除以4，可估商6并拨在被除数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商6的右一档起依次减去乘积“六四24”、“六二12”、“六三18”，余数为291043。图余数首位2小于除数首位4，属数小类型。将余数的首次两位29除以4，可估商6并拨在余数首位2的前一档上（数小前位商），然后在商6的右档起依次减去乘积“六四24”、“六二12”、“六三18”，余数为37243。图余数首位3小于除数首位4，属数小类型。将余数的首次两位37除以4，可估商8并拨在余数首位3的前一档上（数小前位商），然后在商8的右一档起依次减去乘积“八四32”、“八二16”、“八三24”，余数为3403。图因为要求保留两位小数，故不必再算下去了。定位：1位-1位0位，得到商数为0.668，但小数第三位是8，向第二位进1，因此，商数为0.67。练习题用隔位商除法计算下列各题：（1）361548726（2）92638182（3）250582718（4）152796357（5）583576613（6）694458941（7）510378627（8）46129283（9）8.19069.35（10）10.13882.84（11）2779.9257.2（12）29.04720.798（13）749.4714.9（14）0.3902080.0536（15）461.5829.4（16）30715.940.9=3.补商与退商。商除法，如果计算熟练，掌握试商规律，可以作出一次准确试商，避免商的修正。但是，由于除数的位数较多，要想一次准确试商是不容易的，都难免发生误差。试商误差的表现形式不外乎两种：一是估的商偏小，还得补上一定的商数，这就是要补商。二是估的商偏大，还得减少一定的商数，这就是要退商。（1）补商。当试商同除数的各位乘减后，商数的右边一档起就有余数，或商数的右边隔一档起的余数首位数大于除数的首位数（也包括余数的前几位与除数各位都相等）时，说明所估的商数小了，应进行补商。补商的方法是：“在补商中加1，并在商数右边隔一档起减除数一次。”如果补一次不够，就再补一次。例1161.842.3868说明：本例的答案是68，在这里有意识的将商数估得小一点，即第一次估商为5，第二次估商为7，以便进行补商的介绍。将被除数16184从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位1比除数首位2小，属数小类型。估商5并拨在被除数首位1的左一档上（数小前位商），然后在商5的右一档起依次减去乘积“五二10”、“五三15”、“五八40”，余数为4284。图经过乘减后，商数5右边隔一档起的余数首位是4，比除数首位2要大，说明估商5偏小，要补商1，即在初商5中加1，然后在商数6右边隔一档起减除数238一次，余数为1904。图余数首位1比除数首位2小，属数小类型。估商7并拨在余数首位1的左一档上（数小前位商），然后在商7的右一档起依次减去乘积“七二14”、“七三21”、“七八56”，余数为238。图经过乘减后，商数7右边隔一档起的余数是238，与除数完全相同，说明估商7偏小，要补商1，即在初商7中加1，然后在商数8右边隔一档起减除数238一次，恰好除尽。图定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1位，3位-1位2位，得到商数为68。在除法运算中，不论在哪一次试商过小，都可以随时补商。可以一次补，也可多次补。一般说，补商比退商容易。（2）退商。出现退商有两种类型：第一种类型称为“立商即退”，即：当立商后，这个初商乘以除数的首位数时，被除数（或余数）里就不够减其积，这说明所立商偏大，只要在初商中减1就可乘减。如果初商减1后还不够乘减，则初商再减1，直至够乘减为止。这种情形，因为初商还没有与除数的任何一位乘减过，所以，不必在被除数（或余数）中加上任何数。第二种类型为“中途退商”，即当立商后，在从被除数减去试商与除数前几位的乘积后，才发现不够继续乘减，就应一面把试商减1，一面在试商的右二档起，依次加上除数被乘减过的那一部分数，然后用调整后的“新试商”继续与未乘过的除数相乘，并按一定的档次减积。例221646.72726.429.8说明：本例的答案是29.8，在这里有意识的将商数估的大一点，即第一次估商为3，以便于作退商的介绍说明。将被除数2164672从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位2小于除数首位7，属数小类型。将被除数的首次两位21除以除数首位7，估商3并拨在被除数首位2的左一档上（数小前位商），然后将商数3乘以除数7246，减“三七21”、“三二06”是够减的，但在减“三六18”时算盘上的被除数不够减。图不够减，说明商数估的偏大，要退商1，并在商数右边隔一档起加还除过数72。图将退商后的商数2乘以还没有乘减过的除数后两位64，从被除数中减“二六12”、“二四08”，得到首位商数为2，余数为711872。图余数首次两位71小于除数首次两位72，属数小类型。估商9并拨在余数首位7的前一档上（数小前位商），然后在商9的右档起依次减去乘积“九七63”、“九二18”、“九六54”、“九四36”,余数为58112。图余数首位5小于除数首位7，属数小类型。估商8并拨在余数首位5的前一档上（数小前位商），然后在商8的右档起依次减去乘积“八七56”、“八二16”、“八六48”、“八四32”，恰好除尽。图定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不能加1，5位-3位2位，得到商数为29.8。例31.93440.2487.8说明：本例的答案是7.8，在这里有意识的将商数估的大一些，即第一位商数估成9，这需退二次商；第二位商数也估成9，需退一次商。将被除数19344从算盘左边第三档起拨入。图被除数首位1小于除数首位2，属数小类型。将被除数的首次两位19除以除数首位2，可估商9并拨在被除数首位1的左一档上（数小前位商），然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，但在减“九四36”时算盘上的被除数不够减。图不够减，说明商数估的偏大，要退商1，并在商数右边隔一档起加还除过数2。图将退商后的商数8乘以还没有乘减过的除数后两位48，从被除数中减“八四32”是够减的，但在减“八八64”时被除数又不够减。图不够减，说明商数8还偏大，还需要退商1，并在商数右边隔一档起加除过数24。图将退商后的商数7乘以还未乘减过的最后一位除数8，从被除数中减“七八56”，余数为1984。图余数首位1比除数首位2小，属数小类型。余数首次两位19除以除数首位2，可估商9并拨在余数首位1的左一格上（数小前位商），然后将商数9乘以除数248，减“九二18”是够减的，但在减“九四36”时算盘上的被除数不够减。图不够减，说明商数估的偏大，要退商1，并在商数右边隔一档起加还除过数2。图将退商后的商数8乘以还没有乘减过的除数后两位48，从被除数中减“八四32”、“八八64”，恰好除尽。图定位，商的首位数在算盘左边第二档上，故不够加1，1位-0位1位，得到商数为7.8。另外，还可以采用一种负数退商法。负数退商法是在“过大商”，被除数（或余数）不够减的时候，利用负数（虚珠）来解决退商的一种方法。负数退商法的步骤是: 在减商积时，即使发生负数，也要减到底，负数以虚珠记数。不够减时，要取一位整数为负数