空间向量在立体几何中的应用.pptVIP

空间向量在立体几何空间向量在立体几何 中的应用中的应用 临沂一中高二数学组 返回目录 1.平面的法向量 直线l，取直线l的 ，则 叫 做平面的法向量. 2.直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面的法向 量v=(a2,b2,c2),则l . 方向向量a 向量a uv=0 a1a2+b1b2+c1c2=0 返回目录 3.设直线l的方向向量是u=(a1,b1,c1)，平面的法 向量v=(a2,b2,c2),则l . 若平面的法向量u=(a1,b1,c1)，平面的法向量 v=(a2,b2,c2)，则 . 4.空间的角 (1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为u1和u2，l1 与l2所成的角为，则cos= . uv (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2 uv=0 uv a1a2+b1b2+c1c2=0 |cos| (2)已知直线l的方向向量为v,平面的法向量为u,l与的 夹角为，则sin= . (3)已知二面角l的两个面和的法向量分别为 v,u,则与该二面角 . 返回目录 |cos| 相等或互补 返回目录 如图，在四棱锥pabcd 中，pa平面abcd，底面 abcd为矩形，且pa=ad， e,f分别为线段ab,pd的中 点.求证： (1) af平面pec; (2) af平面pcd. 一一 用向量证明平行、垂直问题用向量证明平行、垂直问题 返回目录 【证明证明】以a为原点，ab,ad,ap分别为x轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示. 设ab=a,pa=ad=1, 则p(0,0,1),c(a,1,0),e( ,0,0), d(0,1,0),f(0, , ). (1)af=(0, , ),ep=(- ,0,1), ec=( ,1,0),af= ep+ ec, 又af 平面pec,af平面pec. 【分析分析】可用空间向量的坐标运算来证明. 返回目录 【评析评析】用向量证明线面平行时，最后应说明向量 所在的基线不在平面内. (2)pd=（0,1,-1）,cd=(-a,0,0), afpd=(0, , )(0,1,-1)=0, afcd=(0, , )(-a,0,0)=0, afpd,afcd，又pdcd=d, af平面pcd. 对应演练对应演练 如图,在正方体abcd a1b1c1d1中,e,f,m分别 为棱bb1,cd,aa1的中点. 证明： (1) c1m平面ade； (2)平面ade平面 a1d1f. 返回目录 （1）以d为原点，da,dc,dd1分别为x轴，y轴,z轴建 立坐标系如图，设正方体的棱长为1. 则da=(1,0,0),de=(1,1, ), c1m=(1,-1,- ). 设平面ade的法向量为m=(a,b,c),则 mda=0 a=0 mde=0 a+b+ c=0. 令c=2，得m=(0,-1,2). mc1m=(0,-1,2)(1,-1,- ) =0+1-1=0,c1mm. 又c1m 平面ade,c1m平面ade. 返回目录 (2)d1a1=(1,0,0),d1f=(0, ,-1), 设平面a1d1f的法向量为n=(x,y,z),则 nd1a1=0 x=0 nd1f=0 y-z=0. 令y=2，则n=(0,2,1). mn=(0,-1,2)(0,2,1)=0-2+2=0, mn. 平面ade平面a1d1f. 返回目录 返回目录 如图所示，已知点p在正方体abcd- abcd的对角线bd上，pda=60. (1)求dp与cc所成角的大小； (2)求dp与平面aa dd所成角的大小 【分析分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解. 二二 用向量求线线角与线面角用向量求线线角与线面角 返回目录 【解析解析】如图所示，以d为原点，da为单位长度建 立空间直角坐标系dxyz. 则da=(1,0,0),cc=(0,0,1). 连接bd，bd. 在平面bbdd中， 延长dp交bd于h. 设dh=（m，m，1）（m0）, 由已知=60, 由dadh=|da|dh|cos, 可得2m= . 解得m= ，所以dh= （ ， ，1）. 返回目录 （1）因为cos= 所以=45,即dp与cc所成的角为45. （2）平面aadd的一个法向量dc=(0,1,0). 因为cos= 所以=60, 可得dp与平面aadd所成的角为30. 【评析评析】（1）异面直线的夹角与向量的夹角有所 不同，应注意思考它们的区别与联系. （2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向 量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所 以要注意它们的区别与联系. 返回目录 返回目录 对应演练对应演练 如图，四棱锥pabcd中 ，底面abcd为矩形， pd底面abcd， ad=pd，e,f分别为 cd,pb的中点. (1)求证：ef平面pab; (2)设ab= bc，求ac 与平面aef所成角的正弦 值. （1）证明：以d为原点，dc,da,dp的方向分别为x轴 ，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系. 设pd=1,ab=a，则c(a,0,0),a(0,1,0),p(0,0,1),e（ ,0,0 ）,b(a,1,0),f（ , , ）. ef=（0, , ）,ab=(a,0,0),pa=(0,1,-1). efab=0,efpa=0. efab efpa 返回目录 ef平面pab. 返回目录 (2)ab= bc,a= . 从而ac=( ,-1,0)，ae=（ ,-1,0）,ef=（0, , ）. 设平面aef的法向量为n=(x,y,z),则 nae=0 x-y=0 nef=0 y+ z=0. 令x= ,则y=1,z=-1, 平面aef的一个法向量为n=(2,1,-1). 设ac与平面aef所成角为,则 sin=|cos|= . 返回目录 如图，在正四棱柱abcd a1b1c1d1中,aa1= ab，点e,m 分别图为a1b,c1c的中点，过 a1,b,m三点的平面a1bmn交c1d1 于点n. (1)求证:em平面a1b1c1d1; (2)求二面角ba1nb1的正切值 . 【分析分析】建立空间直角坐标系求之比较简单. 三三 用向量求二面角用向量求二面角 返回目录 【解析解析】 (1)证明:建立图所示空间直角坐标系,设 ab=2a,aa1=a(a0)，则 a1(2a,0,a),b(2a,2a,0),c(0,2a,0),c1(0,2a,a). e为a1b的中点，m为cc1的中点, e（2a,a, ）,m（0,2a, ）. em=(-2a,a,0). em平面a1b1c1d1. (2)设平面a1bm的法向量为n=(x,y,z). a1b=(0,2a,-a),bm=（-2a,0, ）, 由na1b,nbm， 2ay-az=0, x= , -2ax+ =0. y= . 令z=a,则n=（ , ,a）. 而平面a1b1c1d1的法向量为n=(0,0,1)，设二面角为，则 cos= 又二面角为锐二面角, cos= 从而tan= . 即二面角ba1nb1的正切值为 . 得 返回目录 返回目录 【评析评析】第(2)问如果直接作二面角的平面角很复 杂，采用法向量起到了化繁为简的作用.这种求二面角 的方法应引起我们重视.需要注意的是两平面法向量的 夹角可能与所求的二面角相等，也可能与所求的二面 角互补，要注意所求角的范围. 返回目录 对应演练对应演练 三棱锥被平行于底面abc的平面 所截得的几何体如图所示，截面 为a1b1c1，bac=90,a1a 平面abc，a1a= ，ab= ， ac=2，a1c1=1， （1）证明：平面a1ad 平面bcc1b1；（2）求二面角acc1b的余弦值. （1）如图，建立空间直角坐标系，则a（0，0，0）， b （ ，0，0），c（0，2，0），a1（0，0， ）， c1（0，1， ）， bd：dc=1：2，bd= bc, d点坐标为（ ， ，0）. ad=（ ， ，0）， bc=（- ，2，0），aa1=(0,0, ), bcaa1=0，bcad=0，bcaa1，bcad， 又a1aad=a,bc平面a1ad， 又bc 平面bcc1b1，平面a1ad平面bcc1b1. 返回目录 （2）ba平面acc1a1，取m=ab=（ ，0，0）为 平面acc1a1的一个法向量，设平面bcc1b1的一个法向 量为n=（l，m，n），则bcn=0，cc1n=0， - l+2m=0， l= m -m+ n=0， n= m， 取m=1，则n=（ , 1, ）， cos= 返回目录 【评析评析】点到平面的距离、直线到平面的距离、两 平行平面间的距离、异面直线间的距离等都是高考考 查的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识 的交汇点.本题考查了点到平面的距离和垂直、夹角问 题，这是命题的方向，要给予高度重视. 返回目录 对应演练对应演练 如图示，在三棱锥p-abc中， ac=bc=2， acb=90,ap=bp=ab,pc ac. （1）求证：pcab； （2）求二面角b-ap-c的余弦 值. 返回目录 （1）证明:ac=bc,ap=bp, apcbpc.又pcac,pcbc. acbc=c， pc平面abc. ab 平面abc,pcab. 返回目录 （2）如图，以c为原点建立空间直角坐标系cxyz. 则c（0，0，0），a（0，2，0），b（2，0，0）. 设p（0，0，t）， |pb|=|ab|=2 ，t=2，p（0，0，2） 取ap中点e，连接be，ce. |ac|=|pc|，|ab|=|bp|， ceap，beap. bec是二面角bapc的平面角. e（0，1，1），ec=(0,-1,-1),eb=(2,-1,-1), cosbec= . 二面角bapc的余弦值为 . 返回目录 四。向量的综合应用四。向量的综合应用 如图,四棱锥pabcd中,底面abcd是矩形,pa底面 abcd,pa=ab=1,ad= ,点f是pb的中点,点e在边 bc上移动. (1)点e为bc的中点时,试判断 ef与平面pac的位置关系,并说明理由; (2)求证:无论点e在bc边的何处, 都有peaf; (3)当be为何值时,pa与平面pde 所成角的大小为45. 返回目录 【分析分析】 (1)由ef是pbc的中位线可得efpc,从 而可解答第(1)问. (2)可证af与pe所在的平面垂直来证明第(2)问.也可 转化为证明afpe=0. (3)设出be的长度,表示出平面pde的法向量,从而利 用求线面角的公式求出be的长度. 返回目录 【解析解析】 (1)证明:当点e为bc的中点时,ef与平面 pac平行. 在pbc中,e,f分别为bc,pb的中点, efpc. 又ef 平面pac,而pc 平面pac, ef平面pac. (2)证明:以a为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ,则 p(0,0,1),b(0,1,0),f（0, ， ）,d( ,0,0). 设be=x,则e(x,1,0), peaf=(x,1,-1)（0, , ）=0. peaf. 返回目录 (3)设平面pde的法向量为m=(p,q,1), mpd=0 mpe=0, 而ap=(0,0,1),依题意pa与平面pde所成角为45, sin45= 得be=x= 或be=x= (舍). 故be= 时,pa与平面pde所成角为45. 返回目录 得m=（ ,1- ,1）. 由 【评析评析】( (1)开放性问题是近几年高考的一种常见 题型.一般来说,这种题型依据题目特点,充分利用条件不 难求解. (2)对于探索性问题,一般先假设存在,设出空间点 坐标,转化为代数方程是否有解问题,若有解且满足题意 则存在,若有解但不满足题意或无解则不存在. 返回目录 在直三棱柱abc-a1b1c1中，底面是以abc为直角的 等腰直角三角形，ac=2a，bb1=3a，d为a1c1的中点 ，e为b1c的中点. （1）求直线be与a1c所成角的余弦值； （2）在线段aa1上是否存在点f，使cf 平面b1df？ 若不存在，求出af ，若不存在，请说明理由. 对应演练对应演练 返回目录 （1）以b为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为 ac=2a，abc=90,所以ab=bc= a，所以b（0，0， 0），c（0， a，0），a（ a，0，0），a1（ a，0， 3a），c1（0， a，3a），b1（0，0，3a）， 所以d（ a, a,3a）,e（0, a， a）， 所以ca1=（ a，