高一寒假(清北班)资料1(函数的周期性).docVIP

专题一：函数的周期性（一）函数的周期性对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则为周期函数，为这个函数的一个周期。若为一个周期，则也为周期。若周期函数的正周期中有一个最小者，这个周期就叫最小正周期。（1）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：因为，所以，所以是以为周期的周期函数。（2）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：因为，令，则，于是对于恒成立，所以是以为周期的周期函数。（3）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：由已知，所以是以为周期的周期函数。（4）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。证明：由已知 ，于是，所以是以为周期的周期函数。如：还有“”、“”等也是周期函数。（二）函数的对称性与周期性及关系：（1）函数对于定义域上的任意，如果都有或，则函数关于直线对称，反之也成立。（2）函数对于定义域上的任意，如果都有或，则函数关于点对称，反之也成立。（3）一般地，函数有两种及以上的对称性时，则函数是周期函数。（详见补充中的定理3）如：已知函数对任意实数，都有且，则是的一个周期。证明：不妨设，于是，是的一个周期；当时同理可得。所以，是的周期。补充：定理1：函数的图象关于点对称的充要条件是。证明：（必要性）设点是图象上任一点，点关于点的对称点也在图象上，即，故，必要性得证。（充分性）设点是图象上任一点，则，即。故点也在 图象上，而点与点关于点对称，充分性得征。推论：函数的图象关于原点对称的充要条件是。定理2：函数的图象关于直线对称的充要条件是 ，即。（证明留给读者）推论：函数的图象关于轴对称的充要条件是。定理3：若函数图象同时关于点和点成中心对称，则是周期函数，且是其一个周期。若函数图象同时关于直线和直线成轴对称，则是周期函数，且是其一个周期。若函数图象既关于点成中心对称又关于直线成轴对称，则是周期函数，且是其一个周期。的证明留给读者，已证明，以下给出的证明：函数图象既关于点成中心对称，用代得：（*）又函数图象直线成轴对称，代入（*）得：（*），用代得代入（*）得：，故是周期函数，且是其一个周期。1函数的周期性：例1已知是实数集上的函数，且对任意恒成立。（1）求证：是周期函数；（2）已知，求的值。变式训练（1）设偶函数对任意，都有，且当时，则的值是（ ）（A） （B） （C） （D）（2）已知，定义，则（ ）A B C D2函数奇偶性、周期性、对称性与综合应用：例2（1）定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为（ ）ABC0D1（2）已知是定义在上的且以2为周期的偶函数，当时，如果直线与曲线恰有两个交点，则实数的值是（ ）A. B. C. 或 D.以上答案都不对（3）已知函数是定义域为的周期为的奇函数，且当时，则方程在区间上的解的个数是 。（4）定义在R上的偶函数满足：对任意都有成立；当且时，都有则：（）；（）若方程在区间上恰有个不同实根，则实数的取值范围是_。例3设函数在上满足，且在闭区间上，只有。（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。例4已知函数是定义域为的奇函数，且它的图象关于直线对称。（1）求的值；（2）证明函数是周期函数；（3）若，求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。例5函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立。当时，。（1）求时，函数的表达式；（2）求时，函数的表达式；（3）若函数的最大值为，解关于的不等式。例6设是定义在区间上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数恒有则称为定义在上的“函数”.（1）试判断函数是否为各自定义域上的函数，并说明理由；（2）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数.课后作业1设是上的奇函数，当时，则（ ）A. B. C. D.2已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，则_。3设f（x）是R上的奇函数，它在-1，0上是增函数，且，那么（ ）Af（1） Bf（1）Cf（1） Df（1）4.定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期。若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ）A.0 B.1 C.3 D.55已知是周期为2的奇函数，当时，设则（ ）（A）（B）（C）（D）6.（安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则_。7是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则与的大小关系是_。8已知是定义在R上的函数，且，若，则的值为_。9函数是上的奇函数，满足，当（0，3）时，则当（，）时，=（ ） A. B. C. D. 10若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为_。11已知函数f (x)的定义域为R，且 , 则f(2006)=_。12（08四川）设定义在上的函数满足，若，则（ ）A13B2CD13.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（）.在区间上是增函数，在区间上是增函数.在区间上是增函数，在区间上是减函数.在区间上是减函数，在区间上是增函数.在区间上是减函数，在区间上是减函数14定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为（ ）ABC0D115已知函数（xR）满足，且x-1，1时，,则与的图象的交点个数为（）A2B3 C4D516定义在R上的奇函数f(x)以4为周期，则的值为_.17.设f(x)是定义在R上的偶函数，且,当1x0时，则_。18.设f(x)是定义在区间(,)上以2为周期的函数,对kZ,用表示区间(2k1,2k+1,已知x时，求f(x)在上的解析式。课后作业答案1 2周期为8，故。 3D4. 提示：，故。5D 提示：已知是周期为2的奇函数，当时，设，0且为常数，因此，说明是一个周期函数，为最小正周期。11 12C 13. 14D 15C 16017.解：f(x)是定义在R上的偶函数x = 0是y = f(x)