《椭圆课件资料》word版.doc

椭圆的标准方程知识点复习知识点一：椭圆的定义1.平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.2.椭圆标准方程 的推导（1）取过焦点、的直线方程为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系设M（，）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c，则、的坐标分别是（-c，0）、（c，0）。椭圆就是集合P=因为=，=,所以+=2移项，得=2-，两边平方，得，整理，得，=-cx两边再平方，得，=整理，得，由椭圆定义可知，22c,即c,所以0设=（b0）,得（b0）两边同时除以，得，此方程为椭圆的标准方程其焦点在轴上，焦点坐标（-c,0）、(c,0), 、b、c满足关系式（2）以同样的方法推导焦点在轴上，标准方程：，其焦点（0，-c）、(0，c,)知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；3.注意的问题（1）方程均不为零，且A0,B0),只要求出A,B的值即可。（2）椭圆的焦点总在长轴上，因此可以通过标准方程判断焦点的位置，其方法是：看，的分母大小，哪个大就在哪个坐标轴上。知识点三：求椭圆标准方程的常用方法1. 待定系数法由题目的条件能确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数，这种方法叫做待定系数法，其主要步骤可归纳为“先定型，再定量”。例题：已知椭圆的两个焦点坐标分别为（-3,0），（3,0），椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于8，求它的标准方程解：设椭圆的标准方程为。由已知得，2=8，=4，又c=3，故因此，所求的椭圆的标准方程为2. 定义法先分析题设条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程，这种方法叫做定义法。例题：已知B、C是两个定点，BC=6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。解：如图所示，建立坐标系，使轴经过点B,C，原点O与BC的中点重合。y由已知AB+AC+BC=16，BC=6，有AB+AC=10，即点A的轨迹是椭圆，且2c=6,2=16-6=10.c=3，=5，OCBA但当点A在直线BC上，即y=0时，A、B、C三点共线不能构成一个三角形，点A的轨迹方程式知识点四：例题解析1. 应用椭圆的定义解题例1：椭圆的焦点为和，点P在椭圆上，如果线段P的中点在y轴上，那么P是P的（ ）A7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍解析：不妨设（-3,0）、（3,0），由条件知P（3，），即P=，由椭圆的定义知P+P=2=4，P=，P=，即P=7P.故选A。例2 ABC中，BC=24，AC、BC边上的中线长之和等于39，求ABC的重心的轨迹方程。分析：由一定长线段BC，两边上的中线长也均与定点B、C和ABC的重心有关系，因此考虑以BC的中点为原点建立坐标系。解：如图所示，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。设M是ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知BM=BD，CM=CE。于是BM+CM=（BD+CE）=39=26. xXyXABXCXOXDXEXMX根据椭圆的定义知，点M的轨迹方程是以B、C为焦点的椭圆2=BM+CM=26 =13又2c=BC=24, c=12 由于M是ABC的重心，所有M不能跟B、C三点共线，故y0故所求的椭圆的标准方程为2.用待定系数法求椭圆的标准方程例3 求合适下列条件的椭圆的标准方程（1） 两个焦点的坐标分别是（-4,0）、（4,0），椭圆上任意一点P到两焦点距离的和等于10；（2） 两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0,2），并且椭圆经过点（，）。分析：根据椭圆的焦点位置，再设出椭圆的标准方程，从而确定a，b的值。解：（1）椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为 c=4， 2=10 =9 所求的椭圆的方程为 （2）椭圆的焦点在y轴上 设它的标准方程为 2= 即=又c=2，=6所求椭圆的方程为例4 求经过点（2，-3）且与椭圆由共同焦点的椭圆方程。分析：椭圆的焦点为（0，），因此可设所求椭圆的方程为，由题意确定即可。解：椭圆的焦点为（0，），则可设所求椭圆的方程为把x=2，y=-3代入，得，解得=10或=-2（舍去）所求椭圆的方程为总结：一般地，与椭圆共同焦点的椭圆可设其方程为3. 求轨迹方程例5 在ABC中，A，B, C所对的边分别为，b，c，且B（-1,0）、C(1,0),求满足bc，且b，c成等差数列是顶点A的轨迹。解：b，c成等差数列 b+c=2=2=4即AB+AC=4BC=2由椭圆的定义知，动点A的轨迹是以B、C为焦点，以4为长轴长的椭圆。又椭圆中2=4,2c=2， =2，b=A点的轨迹方程是又ACAB A点的轨迹是椭圆的左半部分，还必须除去（0，）、（-2,0）两点例6 在RtABC中，CAB=90，AB=2，AC=，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持PA+PB的值不变，求曲线E的方程。xyBACO分析：要求曲线E的方程，需建立适当的坐标系，注意到条件PA+PB是定值，由椭圆的定义知，曲线E的方程为椭圆。解：建立如图的坐标系，在RtABC中，BC=PA+PB=CA+CB=且PA+PBAB由椭圆定义知，动点P的轨迹E为椭圆，=，c=1，b=1所求曲线E的方程是例7 已知点M在椭圆上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为P，并且M为线段PP的中点，求P点的轨迹方程。分析：因点P与点M的坐标间存在一定关系，故可用相关点法求轨迹方程。解：设P点坐标为（x，y），M点的坐标为（，），由题意可知P点的坐标为（x，0）点M在椭圆上，M是线段P P的中点 =x =把=x，=代入得P点的轨迹方程为例8 如图所示，线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，AB=5，点M是AB上一点，且AM=2，点M随线段AB的运动而变化，求点M的轨迹方程。解：设A（，0），B（0，），M（x，y），依题意得AB=5即又AM=2，AM：MB=2:3点M内分有向线段AB，且 将，代入并整理，得点M的轨迹方程为4. 焦点三角形问题例9 如图所示，点P是椭圆上的一点，和是焦点，且P=30，求P的面积Y解：在椭圆中，=，b=2 c=1 XO又点P在椭圆上，P+P=2=2 由余弦定理知P+P-2PPcos30= =（2c）=4 式两边平方得，P+P+2PP=20 -得，（2+）PP=16， PP=16（2-）S=PPsin30=8-45. 数形结合例10 已知动圆M过定点A（-3,0），并且在定圆B：（x-3）+y=64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：如图所示，设动圆M和定圆B内切与C，动圆圆心M到两定点A（-3,0）、B（3,0） 的距离之和恰好又等于定圆的半径，即MA+MB=MC+MD= xyBAOCMBC=8动圆圆心M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，并且2=8，2c=6，b=椭圆的方程是6. 求定值问题例11 如图，点M为椭圆上一点，椭圆两焦点为、，且2=10,2c=6，点I为M的内心，延长MI交于，求的值。xyONM解：I为M的内心， I平分角 M同理=7. 最值问题例12 已知A（4,0），B（2,2）是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，求MA+MB的最大值和最小值。分析：A是椭圆的右焦点，利用椭圆的定义可把到两定点距离之和转化为距离之差，利用三角形两边之差的绝对值小于第三边求解。xyMAFOB解：如图所示，由，得=5，b=3，c=4点A（4,0）为椭圆的一个焦点，另一个焦点为F（-4,0）MA+MF=10MA+MB=10-MF+MB在BMF中，两边之差的绝对值小于第三边，且BF=2-2=-BFMB-MFBF=210-2MA+MB10+2，当F、B、M三点共线时等号成立MA+MB的最大值为10+2，最小值为10-2。椭圆的简单几何性质知识点一：椭圆的范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标为（x，y）都适合不等式，知识点二：椭圆的对称性1. 判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据若把方程中的x换成-x，方程不变，则曲线关于y轴对称若把方程中的y换成-y，方程不变，则曲线关于x轴对称若把方程中的x，y换成-x、-y，方程不变，则曲线关于原点对称2. 椭圆关于x轴、y轴对称也关于原点对称对于椭圆标准方程，把x换成-x，或y换成-y，或把x、y换成-x、-y方程都不变，所以图形关于y轴、x轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。知识点三：椭圆的顶点 椭圆与坐标轴的交点令x=0，得y=b；令y=0，得x=a这说明A（-a，0）， A（a，0）是椭圆与x轴的两个交点，B（0，-b），B（0，b）是椭圆与y轴的两个交点。因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以，椭圆和它的对称轴由四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点。 椭圆的长轴、短轴线段AA叫做椭圆的长轴，它的长为2a，a叫做椭圆的长半轴的长线段BB叫做椭圆的短轴，它的长为2b，b叫做椭圆短半轴的长。知识点四：椭圆：的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。因为，所以的取值范围是。越接近1，则就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：（1）；（2）；（3）；知识点五：椭圆：的焦半径公式焦半径，知识点六：椭圆：的准线准线的方程：x=知识点七：椭圆的第二定义 平面内一动点P到一定点的距离与到定直线的距离等于一个常数e（e1 ），这动点P的轨迹方程为椭圆。集合表示：P=P知识点八：例题讲解1. 椭圆的几何性质的简单应用例1：已知椭圆的离心率e=，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点的坐标、顶点坐标。解：椭圆方程可化为m-=0 m即=m，b=，c=由e=得，=， e=1椭圆的标准方程为 a=1，b=，c=。椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为（-，0），（，0）；四个顶点分别为A（-1,0）、A（1,0），B（0，-）、B（0，）例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1） 经过点P（-3,0），Q（0,-2）；（2） 长轴长为20，离心率等于解：（1）由椭圆的几何性质知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所有P、Q分别是椭圆的长轴和短轴的一个端点，于是有a=3，b=2。又长轴在x轴上，所以所求的椭圆的标准方程为（2）由已知2a=20，e= a=10，c=6，b=8由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所求的椭圆的标准方程为2. 求椭圆的离心率例3 椭圆的左焦点为（-c，0），A（-a，0）、B（0，b）是两个顶点，如果到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e=解析：要求e的值，就是要求出a，c的值或者a与c的关系，为此需利用到直线AB的距离为建立方程，从而求解。xyOBAPF1如图所示，过点作PAB，交AB与P，=，A=a-c，P=，由AB面积公式得.=（a-c）.b又 整理，得8即e=（舍去）3. 直线与椭圆例4 已知椭圆及直线y=x+m（1） 当直线和椭圆由公共点时，求实数m的取值范围。（2） 求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程。解：（1）由与y=x+m联立得：因为直线与椭圆有公共点，所以=，解得（2）设直线与椭圆交于A（、B）由（1）得，由根与系数的关系知，所以d=所以当m=0是，d最大，此时直线的方程为y=x。4.椭圆典型例题应用【例1】 若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是 （ ）.椭圆 .直线 .线段 .线段的中垂线.【例2】已知圆，圆内一定点（3，0），圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【例3】已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2距离的比例中项.【例4】点P（x，y）在椭圆上，则的最大值为 （ ）A.1 B.-1 C. D. 【例5】求证：过椭圆上一点的切线方程为：.【例6】已知椭圆和圆总有公共点，则实数的取值范围是 （ ）【例8】在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程【例9】若P是椭圆上的点，F1和F2是焦点，则的最大值和最小值分别是 【例10】如图1，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为：x = 12。（1）求椭圆的方程；（2）在椭圆上任取三个不同点，使， 证明为定值，并求此定值.若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点