鸡兔同笼(renjiaoliu).doc

鸡兔同笼教学内容:小学数学新课标教材第十一册页。教学目标:、通过学生对一些日常生活中的现象的观察与思考，从中发现一些特殊的规律。、通过猜测、列表、假设或方程解等方法，解决“鸡兔同笼”问题。、通过本节课的学习，知道与“鸡兔同笼”有关的数学史，对学生进行数学文化的熏陶和感染。教学重点:理解掌握解决问题的不同思路和方法。教学难点:能运用不同方法解决实际问题。教学准备：教学前测、课件、小黑板教学过程:一、故事引入大约一千五百年前，我国古代数学名著孙子算经书中记载着这样一道数学趣题。今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这道题的意思也就是：笼子里有若干只鸡和兔。上面数，有个头，下面数，有只脚。鸡和兔各有几只？这就是著名的“鸡兔同笼”问题，也正是这节课我们要来研究的内容。（板书课题）二、探究新知、教学例：笼子里若干只鸡和兔。从上面数有个头，从下面数有只脚。鸡和兔各有几只？你从中发现了哪些数学信息？（）列表法：学生汇报填表结果，并从表中找到这题的答案。从表格中，你能发现什么规律？你觉得用这种方法解决鸡兔同笼的题目好吗？为什么？（）假设法：如果假设笼子里都是鸡，根据刚才大家观察发现的规律，能否快速调整求出正确的结果呢？请同学们尝试解答。如果有困难，可以阅读113教材页绿色方框内容。指名板演并完整说说这种解法。请有困难的学生质疑。教师用多媒体课件演示，帮助学生理解置换过程。请同桌互相说一说这种解法，然后再次指名说分析思路。刚才我们用假设全是鸡的办法解决了这个问题，现在假设全是兔又应该怎样分析和解决这个问题呢？请同桌边讨论边写算式。然后指名说说怎么想的，如何列式。（课件演示）（）用方程解： 问：在预习列方程时，有哪些困惑呢？根据学生质疑引导其解惑：为什么有(8-X)只鸡?为什么可以这样列方程？除了可以设问题中的兔为X只，还有其它方程解法吗？只写解设列方程，不计算。小结：选择用方程来解决这类问题，不论是设鸡为X，还是兔为X，都是根据相同的数量关系列出方程并进行解答，便于理解。（4）抬腿法我国古代数学著作孙子算经中又是怎样解决这个问题的呢？（课件演示“抬腿法” ）、小结解题方法：师：以上四种解法，哪一种更方便？小结：要解决“鸡兔同笼”问题，可以采用假设法或方程解都可以。用方程解更直接。、独立解决孙子算经中的趣题。三、巩固与运用1、建模（1）（出示民谣：一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。 ）你认为猎人和狗的问题和我们说的“鸡兔同笼”有联系吗？（2）（出示龟鹤问题）问：在日本有“龟鹤问题”。日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？完成教科书第115页做一做的第1题。小结：看来这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！鸡兔同笼不仅仅可以解决“鸡兔”的问题，换成乌龟和仙鹤或换成人和狗，仍然是鸡兔同笼问题，说到底“鸡兔”同笼其实只是这类问题一个模型！（板书模型）2、应用（完成教科书第115页做一做的第2题。）四、全课小结同学们，今天我们学会解决鸡兔同笼问题，还能用解决这类问题的方法来解决我们生活中的问题，会的水平是越来越高了！其实我们的数学学习就应该是这样的在认真阅读、大胆质疑、主动思考中生成新的智慧。“生本对话”促使师生教学双赢鸡兔同笼教学有感据近三年听课数据统计分析发现：75%的数学教师在教学新课时不要求学生阅读教材；90%以上的数学教师在公开教学时自始至终不需要学生打开课本；只有5%左右的数学教师要求或提倡学生预习学习内容。这组数据引发我思考：是数学教师的认识出了偏差，还是数学教材本身存在着问题，或是？数学教材是教学内容的载体，是专家们依据新的课程标准，结合小学生知识结构和年龄特征精心编写的，是人类知识的精华，是教师教与学生学的重要凭借。我们在教学时应该重视文本的“范例”作用，充分尊重文本的价值。为此，我努力以“生本对话”为途径，探索实现师生教学双赢的道路。那何谓“生本对话”呢？生本对话即阅读主体对文本的主体进行阅读、理解，从而产生思想的碰撞和心灵的交流。本课题生本对话是指学生在阅读了数学教材、课外读物等文本后，对其内容的理解概括，并通过自己的理解感悟，得到与作者相同或不同的感受的过程。下面，就结合人教版十一册数学广角鸡兔同笼一课，谈谈自己的课题实践感悟：一、生本对话，促使教学有效、高效。学生是学习的主人，只有把他们的积极性充分调动起来，教学效率才能大幅度提高；只有让学生活动起来，课堂才具有生命活力。所以，教师要培养学生自主与文本对话的意识和习惯，尊重学生的个体差异，鼓励学生自主选择适合自己的学习方式，这样才便于将教师的充分备课和学生的充分预习相结合，课堂上就会减少时间的“损耗”，从而能够大大提高课堂教学效率。1、学生质疑，促进教师课前深入解读文本。教师深入解读文本是有效教学的保障。学生在与文本对话中的质疑，不仅能够使他们在教学中产生“心求通而未得、口欲言而未能”的心理认知冲突，还能促使教师在备课中进一步钻研教材，从而实现“双向促动”。在解读文本时，教师应该围绕三个问题与文本深入对话：教材写了什么？怎样写的？为什么这样写？而最后一个问题往往容易被我们忽略，使教学难以深入。这次最初设计列表法教学环节时，目标仅定位于让学生从中找到符合条件的结果。可学生在与文本对话后提出困惑，“鸡有8只，兔有0只（或兔有8只，鸡为0只），为什么要考虑这种情况呢?”鸡876543210兔012345678脚161820222426283032是呀！既然鸡兔同笼，笼子里肯定既有鸡又有兔，为何还要考虑鸡或兔有0只的情况呢？为此，我查阅了北师大版本相关内容教材，对比发现两种不同版本的教材表格明显不同。北师大版教材的逐一列表法就没有第一列，排除了全是鸡或全是兔的情况，直接从第二列开始思考，而且表格列数并不多，只要求学生找出正确答案即可停止探索。人教社教材这样编写的目的何在呢？通过再次深入解读文本，联系上下文思考，终于从中发现了端倪。原来，教材在列表法后紧接着就介绍了假设法。“如果笼子里全是鸡”，不恰好与表格的第一列联系上了吗？利用假设法，还可假设全都是兔，那不正好就是表格最后一列的情况吗？看来，表格第一列在教学中起着承上启下的目的，而最后一列则起到促使学生创新迁移的作用。所以，在课前钻研文本的功夫下足了，课堂上才能游刃有余，教学才有了高质高效的保证。2、教学前测，帮助教师因材施教，有效预设。鸡兔同笼属于“数学广角”单元，文本的编写有两条线索，一是处于表面的解法，二是藏于书后的数学思想方法。教材内容在整体上与学生的认识水平相一致，但具体到同一个班级的不同学生来说，就会出现差异。这种差距就是教师在文本解读时应预设到的，并根据差异有效实施因材施教。为准确了解班级学生现状，在学生完成课前生本对话后，我进行了教学前测问卷调查。了解学生从文本中获取的信息，并说说读懂了什么？还有哪些不明白的问题？经过统计分析，发现质疑都停留在教材中清晰写明的方法上，而数学思想隐含在具体的解题方法中，是无形的，这些无形的思想方法学生是否能够理解并应用决定着学生数学修养的高低。所以，我根据学生的学习现状及需求，找准学生与文本对话的切入点，确定教学方案。在教学预设中换位思考，多考虑生本对话中的困难，结合具体内容充分挖掘教材中可以进行数学思想方法的因素并进行相关渗透，在学生需要时为他们铺路搭桥，点燃学生的求知欲望，从而提高与文本对话的能力。（1）针对学生列表法中的困惑，渗透函数思想。学生在与文本列表法对话时，提出“为什么必须按顺序列表，而不能跳几个数据列表呢？这种很麻烦。”确实，除了逐一列表法外，还有跳跃列表法和中间列表法。为什么教材在这里只呈现“按顺序列表”的结果呢？针对学生的困惑，我在教学中引导学生观察变化的数据，从中发现规律，渗透函数思想。函数思想是指运用运动和变化的观点去分析问题、转化问题和解决问题的思想。在学生通过表格找出答案后，我指导学生从左往右观察，发现在总头数不变的情况下，将一只鸡换成一只兔，则脚的只数增加2；再从右往左观察，发现将一只兔换成一只鸡，则脚的只数减少2 。有了这一层知识铺垫，学生在自主探索假设法时，果然顺畅许多。（2）针对学生假设法中的困惑，采用数形结合思想。假设法是本课教学难点，全班66.7%学生无法在课前读懂这种方法。许多学生提出了自己的困惑，归纳以来主要有以下两条：为什么要用10除以2？5为什么是兔子的只数？针对学生普遍存在的困惑，我采取了数形结合的方法，帮助学生理解掌握其思路。在第一次试教中，我是采取画示意图“给鸡添脚”的方式引导学生理解102。可实际教学效果表明仍有部分学生理解困难。1.JPG (8.04 KB)2008-12-14 19:36与备课组教师共同研讨后，大家一致认为此处由鸡到兔的变化没有给学生头脑留下痕迹。因为增加的脚与原来的脚既没有进行颜色区分，也没无法看出数的变化，学生无法借助数形结合对这一过程“细细回味”。听取意见后，我将“给鸡添脚”改为“拿鸡换兔”，并且在课件上清晰再现了这一置换过程。2.JPG (25.08 KB)2008-12-14 19:36改进后的课件，果然顺畅突破了教学难点。这也正好应验了数学家华罗庚的一段精辟论述：“数缺形时少直观；形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。.（3）针对学生代数法的困惑，渗透方程思想虽然列方程相对于假设法而言更容易理解，但也有12.2%的学生对于等量关系式不明确。有学生问 “为什么设兔有X只，就会有（8X）只鸡呢”，“为什么可以这样列方程”，还有人问 “为什么要设兔为X，不设鸡为X呢？”在课堂教学中，我将指导重心放在等量关系的分析上。请学生质疑解惑，帮助他们从析问题入手，将题目中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设未知数建立起方程，使问题得到解决。还放手让他们尝试设鸡为X只，列出不同方程。通过对比引导学生发现虽然所设X不同，所列方程不同，但他们的等量关系式相同，都是依据“鸡的脚数+兔的脚数=总共的脚数”来列的。由于数量关系明确，便于理解，所以许多学困生在巩固练习中主动选择了这种化逆为顺，更易于理解的方法。（4）针对学生抬腿法中的困惑，渗透化归法思想教材“阅读资料”介绍了孙子算经中的抬腿法（也称“砍足法”），可这种方法能看明白的学生寥寥无几，因此困惑很多。如：“鸡抬一只脚，兔抬起两只，为什么不除以3，而用942呢？”“笼子里只要有一只兔子，则脚的总数比头的总数多1”是什么意思？为什么脚的总数与头的总数之差的12就是兔的只数？孙子算经中的“砍足法”思路新颖而奇特，方法简捷而巧妙，其根本原因就是应用了数学的化归思想。化归思想就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。化归的实质就是化繁为简、化难为易、化未知为已知。本题中每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，这是不言而喻的已知条件。课堂上，我用有趣的故事对已知条件进行变形。鸡突发奇想对兔子说：“我会金鸡独立！”说着就将一只脚提起来。兔子也不甘示弱：“我也会！”于是，兔子将两条前腿提起来。这时题目转化为：地上有47只脚，仍有35个头。鸡的头数与足数相等，而兔的足数与兔的头数不等有一只兔，就多出一只脚”。这样总共多出12只脚也就说明有12只兔子，而剩下的就是鸡的只数。通过化归思想把一个比较复杂、不容易解决的问题变成学生十分容易理解掌握的知识。（5）针对学生解决问题中的难点，渗透数学建模的思想课前学生完成“做一做”的结果如下：“龟鹤问题”的正确率为74.1%，租船问题的正确率为24.1%，植树问题的正确率为20.4%。从中可以看出对于同样只有两只脚、四只脚的龟鹤问题，大部分学生还能正确迁移解答。但到灵活运用鸡兔同笼解决生活实际问题时，则明显需要教师点拨。“鸡兔同笼”从古至今，一直深受教育者的关注是因为它不仅能够解决鸡兔问题，更在于它能够有效地解决现实生活中许多类似的问题。而数学模型正是联系数学与生活的桥梁。建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想和方法。那么，如何有效将现实问题转化为数学模型呢？在这节课中，我设计了从“鸡兔”， 到 “人狗”、“龟鹤”，最后到生活中租船问题几个不同层次的问题情境。从转变事物的对象“形变”，到改变事物的数量“量变”，通过提问启发学生思考“此问题与鸡兔同笼有联系吗？有什么联系？”从而提炼出“鸡兔同笼”问题的数学模型。当学生完成数学模型的建构后，感觉豁然开朗，并且能够举一反三，触类旁通。3、课前生本对话，实现教学高效，节省时间。郅庭瑾博士认为“凡学生可以自学的知识，学生就可能更有效地领悟这些知识，教师不必独白式地讲授，也不必勉强学生限定在教师的提问范围内思考。”课前让学生与文本对话，了解将要学习的内容可以为课堂听讲打下基础。上课时，他们就能够顺着老师的思路去听讲，化被动为主动。如果课前对某一部分知识不理解，上课老师讲到此处时，就会聚精会神地带着问题听讲，弄懂疑问。因此生本对话抓得扎实，可以大大提高效率。为提高学生文本对话能力，我将对话要求编成一首朗朗上口的三字歌，“读书前，笔手边。勾圈批，手不闲。重点句，打横线。关键词，画圆圈。留白处，填完全。提问处，简答现。质疑处，问号点。学能用，乐体验。”学生按上述要求完成课前进行生本对话，效果非常理想。在课前生本对话中，学生如果遇到教材中一些简单的问题，通过自己动手、动脑就可解决的，我鼓励其课前独立完成。经统计全体学生均完成了列表法中教材留白部分的填写（仅有1.9%的学生填表错误）。课堂上，我没浪费一分一秒就直接进入集体订正环节，给学生创设展示自学成果的机会，对于正确的结果、有创造性的提问大加赞扬，并倡导大家学习运用。这样，学生感受到生本对话的益处与乐趣，学习积极性更高了，创新的兴趣也就更浓，课堂教学的时间也大大节省了，可谓短时高效。二、生本对话，提升学生创新思维能力。对于小学生来讲，最重要的是学会学习、学会思考、学会发现、学会创造，掌握一套适应自己的学习方法，做到在任何时候学习任何一种知识时都能“处处无师胜有师”。引导学生进行生本对话正是其中一种有效途径，它能培养学生的自学能力，使学生用数学的智慧努力像数学家那样去学习、去思考、去发现、去应用、去创新。1、教材呈现的多种解法，提升学生发散思维能力。人教社文本在解答鸡兔同笼过程中,有意识地采用一题多解的方式，这对培养学生的探索能力和创新思维大有裨益。这种一题多解是发散思维的主要形式。发散思维又称“辐射思维”、“放射思维”、“多向思维”、“扩散思维”或“求异思维”，是指从一个目标出发，沿着各种不同的途径去思考，探求多种答案的思维，与聚合思维相对。美国心理学家吉尔福特认为，“创造力发展的主要标志是发散思维的发展水平。”因此，提升学生发散思维能力是培养创造性思维的重要环节。 教材为学生共提供了四种不同的解题方法。学生在与文本对话时，文本就能引导学生运用不同的策略，从多方位、多层次、不同角度来观察和思考问题，寻求鸡兔同笼各种可能的充分和必要条件，思考解决这一问题的各种方法。同时，教材中的小精灵还提出“有其他方法吗？”鼓励学生勇于新立异，养成探求真知的习惯。我班共有36.4%的学生想出一种甚至两种不同于教材的解法（其中有两人采用二元一次方程组解答）。这对于调动学生学习积极性和主动性，激发求知欲望，拓宽思维的广度，提高思维的流畅性、变通性、独特性都有着重要意义。2、尝试应用时自主优化，提升学生收敛思维能力。教材呈现这么多的解法，如果学生在生本对话中只发散不集中，势必造成一盘散沙。叶澜教授说过“没有聚焦的发散是没有价值的，聚焦的目的是为了促进学生的发展。”让学生在生本对话中学会“多中择优，择优而用”，这种思想方法是为孩子综合素质的全面发展服务的。因此发散后，学生在实际应用时会主动对各种解法进行个性化筛选和集中，从纷繁多样的解法中找出条最易于理解又最简便的方法来。这一过程就是在进行收敛思维。收敛思维又称集中思维、聚合思维、求同思维、定向思维，是人们根据已知信息，为问题求得唯一或最佳方案的思维。创造性思维是发散思维和收敛思维的有机结合。学生在尝试用枚举法完成填表后，感觉用这种方法解决鸡兔同笼问题很麻烦，其实就开始第一次进行方案的筛选。他们开始主动寻找新的解法。当从文本中