n阶幻方的同心方阵构造法.doc

n阶幻方的同心方阵构造法本文根据n阶幻方的定义，首先利用线性方程组的理论证明了：利用同心方阵的办法可以构造出任意阶幻方，进而结合幻方的特点，给出了n阶幻方的具体构造方法一同心方阵构造法定义；将自然数1,2,3n2排成n行n列的方阵，若每行每列及每条对角线上的n个数字的和皆为常数，称这样的n阶方阵为n阶幻方这个常数称为幻方常数同心方阵构造法是一种递推的方法假定n阶幻方已经做出，就依n阶幻方为基础，在四周加上一层框子，即在第一行的上边，在第n行的下边，各加上一行，在第一列的左边，在第n列的右边，各加上一列构造出一个n+2阶方阵，新的n+2阶幻方的中间部分是一个n阶幻方，它是由原来的幻方的各元素分别加上2n+2x形成的n+2阶幻方的外围部分（即第一行，第n+2行，第一列，第n+2列所形成的正方形框子）是由数1,2,3,中的前2n+2个数，及后2n+2个数，按照下述要求构成的（1）使正方形各边上的n+2而数的和等于n+2阶的幻方常数k.(2) 使正方形上下两边，左右两边相对元素的和，及对角线两顶点元素的和都等于这样构成的n+2阶幻方的方法称为同心方阵构造法容易证明二阶幻方是不存在的三阶幻方容易做出，四阶阶幻方见1我们以三阶，四阶幻方为基础，根据本文所给出的方法，可以构造出任意阶幻方二同心方阵构造法的理论基础根据同心方阵构造法得到以下4n+4个未知数2n+6个线性方程构成的线性方程组（令）(其中H为幻方常数)这个线性方程组与常数项组成的增广矩阵如下：利用线性代数的知识，用矩阵的初等变换，将其化简（具体化简过程从略）成如下形式：由上面的矩阵可以看出；系数矩阵与增广矩阵的秩相等，可知线性方程组有解这就证明了同心方阵构造法的可行性同时还可以得到线性方程组的一般解从而可知；这4n+4个未知数，其中2n+4个可由其它2n个变量线性表出即线性方程组中有2n个自由未知量这些自由未知量可以从数列1,2,中的前面2n+2个数，或从后面2n+2个数中选定便可以由以上公式确定线性方程组的解这就完成了证明利用上述公式作具体的幻方，还有一些技术性的问题需要解决就是要在指定的数集中求解即自由未知量在4n+4个数中选定，其它未知量也必须在这4n+4个数中选定4n+4个未知量与4n+4个自然数构成一一对应下面给出一个具体的求解的办法供读者参考读者还可找到更巧妙的解三奇幻方的构造方法3.1奇幻方的构造法（n=2m+1）假定2m-1阶幻方已经做出，我们要作2m+1阶幻方3.2排序外围正方形四边数字的个数，前4m个数字由小到大排序，后4m个数字由大到小排序，两个数列构成一一对应如下：上下两个相对的数的和都等于3.3配置上下两行从（1）中，将排好的4m对数中截取前2m+1对，配置成上下两行，如下：（为方便计记）i=12,.m, i=1,2,.m,m+1 (2)由于幻方常数计算上下两行的和所以需要对配置的两行进行必要的调整3.4 调整对（2）作如下的调整，把第二行中的1换成1+2m+1,把3换成3+2m+1,把2i+1换成2i+1+2m+1,把2m-1换成2m-1+2m+1=4m,与它们对应的第一行的数也随着变化调整后的两行成如下形式：3.5组合左右两列确定四角元素从4m对数中选出2m+1对后，余下2m-1对，组成在右两列如下：由于4m+2可以拆成2m+2和2m,观察（3）中2m在上面一行，2m+2在下面一行，就把2m放在右上角，把2m+2放在右下角即可其它两个角的元素是（3）中2m和2m+2对应的另一行上的数，把上行中其余的数加在2m-1幻方的上面下行中对应的数放在下面相对应的位置上(4)中的上行加在左边，下行对应的数加在右边相对的位置上这就完成了加边的工作作出了2m+1阶幻方四偶幻方的构造方法(n=2m)4.1偶幻方的构造法（n=2m）假定2m阶幻方已经做出，我们要作2m+2阶幻方4.2排序外围正方形四边数字的个数，前4m+2个数字由小到大排序，后4m+2个数字由大到小排序，两个数列构成一一对应如下：上下两个相对的数的和都等于4.3配置上下两行从（5）中，将排好的4m+2对数中截取前2m+2对，配置成上下两行，如下：（为方便计记）计算上下两行的和所以需要对配置的两行进行必要的调整4.4 调整对（6）作如下的调整，把第一行中的2m+1换成2m+1+m+2=3m+3,那么第二行的b-2就换成b-3m-2,将第二行的2m+2换成2m+3,那么第一行的b-2m-1就换成b-2m-2,调整后的两行成如下形式：4.5组合左右两列确定四角元素n=2m,其中m分为奇偶两种情况4.5.1m=2t+1从4m+2对数中选出2m+2对后，余下2m对，组成在右两列如下：从(7)中第一行找到b-2m-2,而由于第二行2,4,6,2m中，必有m+3=2t+1+3=2t+4(为偶数)于是就把b-2m-2放在右上角，把m+3放在右下角即可其它两个角的元素是（7）中b-2m-2和m+3对应的另一行上的数。这就完成了加边的工作作出了2m+2阶幻方4.5.2 m=2t从4m+2对数中选出2m+2对后，余下2m对，组成在右两列如下：从(7)中第一行找到b-2m-2,而由于第二行2,4,6,2m中，必有m+2=2t+2(为偶数)于是就把b-2m-2放在右