中级质量专业理论与实务讲义精选1.doc

第一讲 概率基础知识一、考试要求1. 掌握随机现象与事件的概念2. 熟悉事件的运算(对立事件、并、交与差)3. 掌握概率是事件发生可能性大小的度量的概念二、主要考点事件的运算三、内容讲解一、事件与概率(一)随机现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。抛硬币、掷骰子是两个最简单的随机现象的例子。抛一枚硬币，可能出现正面，也可能出现反面，至于哪一面出现，事先并不知道。又如掷一颗骰子，可能出现1点到6点中某一个，至于哪一点出现，事先也不知道。从这个定义中可以看出，随机现象有两个特点：(1) 随机现象的结果至少有两个;(2) 至于哪一个出现，事先并不知道。只有一个结果的现象称为确定性现象。例如，太阳从东方出，同性电荷相斥，异性电荷相吸，向上抛一石子必然下落等。例1.1-1 以下是随机现象的另外一些例子：(1) 一天内进入某超市的顾客数;(2) 一顾客在超市中购买的商品数;(3) 一顾客在超市排队等候付款的时间;(4) 一棵麦穗上长着的麦粒数;(5) 新产品在未来市场的占有率;(6) 一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间;(7) 加工某机械轴的误差;(8) 一罐午餐肉的重量。可见，随机现象在质量管理中随处可见。认识一个随机现象首先要知道它的一切可能发生的基本结果。这里的基本结果称为样本点，随机现象一切可能样本点的全体称为这个随机现象的样本空间，常记为 。“抛一枚硬币”的样本空间 =正面、反面;“抛一颗骰子”的样本空间 =1，2，3，4，5，6;“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间 =0，1，2，;“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间 =0，1，2，;“测量某物理量的误差 ”的样本空间 。(二)随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A、B、C等表示。如在掷一颗骰子，“出现奇数点”是一个事件。他由1点、3点、5点共三个样本点组成，若记这个事件为A，则有A=1，3，5。同样“出现偶数点”是一个事件。他由2点、4点、6点共三个样本点组成，若记这个事件为B，则有B=2，4，6。1.随机事件的特征从随机事件的定义可见，事件有如下几个特征：(1)任一事件A是相应样本空间中的一个子集。一般我们用维恩(Venn)图表示。(2)事件A发生当且仅当A中某一样本点发生。(3)事件A的表示可用集合，也可用语言，但所用语言必须是准确无误的。(4)任一样本空间 都有一个最大子集，这个最大子集就是 ，它对应的事件称为必然事件，仍然用 表示。比如掷一颗骰子，“出现点数不超过6”就是一个必然事件，因为它含有 =1,2,3,4,5,6中所有样本点。(5)任一样本空间 都有一个最小子集，这个最小子集就是空集，它对应的事件称为不可能事件，记为 。例1.1-2 若产品只区分合格与不合格，并记合格品为“0”，不合格品为“1”。则检查两件产品的样本空间 由下列四个样本点组成。=(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)其中样本点(0，1)表示第一件产品为合格品，第二件产品为不合格品，其他样本点可以类似解释。下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。A=“至少有一件合格品”=(0，0)，(0，1)，(1，0);B=“至少有一件不合格品”=(1，0)，(0，1)，(1，1);C=“恰好有一件合格品”=(0，1)，(1，0);=“至多有两件合格品”=(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1);=“有三件不合格品”。现在我们来考察“检查三件产品”这个随机现象，且合格品仍记为“0”，不合格品记为“1”。它的样本空间 含有8= 个样本点。=(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(0，1，1)，(1，0，0)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)下面几个事件可用集合表示，也可以用语言表示。A=“至少有一件合格品”= 中剔去(1，1，1)的其余7个样本点;B=“至少有一件不合格品”= 中剔去(0，0，0)的其余7个样本点;C=“恰有一件不合格品”=(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0);D=“恰有两件不合格品”=(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0);E=“全是不合格品”=(1，1，1);F=“没有不合格品”=(0，0，0，)。2.随机事件之间的关系在一个随机现象中常会遇到许多事件，它们之间有下列三种关系。(1)包含：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A中任一个样本点必在事件B中，则称事件A被包含在事件B中，或事件B包含事件A，记为 ，如图1.1-2。特别对任一事件A有 。(2)互不相容：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与B没有相同的样本点，则称事件A与B互不相容。这时事件A与B不可能同时发生，如图1.1-3。(3)相等：在一个随机现象中有两个事件A与B，若事件A与 B含有相同的样本点，则称事件A与B相等，记为A=B。若 ，则A=B;反之，如果A=B，则 。图1.1-2图1.1-3(三)事件的运算1.事件的运算的分类事件的运算有下列四种。(1)对立事件：在一个随机现象中， 是样本空间，A为事件，由属于 而不属于A中的样本点组成的事件称为A的对立事件，记为 。如图1.1-4。特别地，必然事件 与不可能事件 互为对立事件，即 。图1.15显然有： 图1.14(2)事件的并：由事件A与B中所有的样本点(相同的只计入一次)组成的新事件称为A与B并，记为 。如图1.1-5。并事件 发生意味着“事件A与B中至少有一个发生”。显然有： ; ， ;若 ，则 。特别地， 。(3)事件的交：由事件A与B中公共的样本点组成的新事件称为事件A与B的交，记为 或AB。如图1.1-6。交事件 发生意味着“事件A与B同时发生”。显然有： ， ;若 ，特别地 ;若 。注：事件的交和并可推广到更多个事件的情形。图1.17图1.16(4)事件的差：由属于事件A而不属于事件B的样本点组成的新事件称为A对B的差，记为A-B，表示事件A发生而事件B不发生的事件。如图1.1-7。显然，B-A，表示B对A的差，一般 。显然有：不要求 ，才有 ，若 ;若 ; ; (证明： )2.事件的运算性质事件的运算具有如下性质：(1)交换律： , ;(2)结合律： ， ;(3)分配律： ， (4)对偶律： ， 。以上性质都可用维恩图加以验证，这些性质都可推广到更多个事件运算上去。例1.1-3 设A、B、C为任意三个事件，试用A、B、C的运算关系表示下列各事件：三个事件中至少一个发生 没有一个事件发生 (由对偶律)恰有一个事件发生 至多有两个事件发生(考虑其对立事件)至少有两个事件发生(四)概率所谓概率，就是事件发生可能性大小的度量。虽然随机事件的发生与否是带有偶然性的，但是随机事件发生的可能性大小还是有大小之别的，是可以度量的。实际上，在生活、生产和经济活动中，人们也常关心一个随机事件发生的可能性大小。例如：(1)抛一枚均匀的硬币，出现正面与出现反面的可能性各为1/2。(2)某厂试制成功一种新止痛片，在未来市场的占有率可能有多高呢?(3)购买彩券的中奖机会有多少呢?上述问题中的正面出现的机会、市场占有率、中签率以及常见的不合格品率、命中率等都是用来度量随机事件发生的可能性大小。一个随机事件A发生的可能性的大小称为这个事件的概率，并用P(A)表示。显然，概率是一个介于0到1之间的数，因为可能性都是介于0%到100%之间的。概率愈大，事件发生的可能性就愈大;概率愈小，事件发生的可能性就愈小。特别地，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即： ， 。第二讲 概率的古典定义与统计定义一、考试要求1. 熟悉概率的古典定义及其简单计算2. 掌握概率的统计定义3. 掌握概率的基本性质4. 掌握事件的互不相容性和概率的加法法则5. 掌握事件的独立性、条件概率和概率的乘法法则二、主要考点l 古典概率的计算l 条件概率运算l 独立性判断、互不相容的判断三、内容讲解二、古典概率的定义与统计定义确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。(一) 概率的古典定义用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下:(1)所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点;(2)每个样本点出现的可能性相同(等可能性);(3)若被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率为:(1.1-1)例1.1-3 掷两颗骰子，其样本点可用数组(x , y)表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为:它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。(1) 定义事件A=“点数之和为2”=(1，1)，它只含一个样本点，故P(A)=1/36。(2) 定义事件B=点数之和为5= ，它含有4个样本点，故P(B)=4/36=1/9。(3) 定义事件C=点数之和超过9= , 它含有6个样本点，故 P(C)=6/36=1/6。(4) 定义事件D=点数之和大于3，而小于7= ， 它含有12个样本点，故它的概率P(D)=12/36=1/3。例1.14 从标号为1，2，,10的10个同样大小的球中任取一个，求下列事件的概率：A:抽中2号，B:抽中奇数号，C:抽中的号数不小于7。解：显然 ，所以(二)排列与组合用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下:排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。(1)乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步m2种方法，做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1m2mk种方法。例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙城去丙城共有32=6条旅游线路。(2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法， ，在第k类方法中又有mk种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+mk种方法。例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10个班次供旅游选择。(3)排列与组合的定义及其计算公式如下:排列:从n个不同元素中任取 个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n(n-1) (n-r+1)个，记为 。若r=n,称为全排列，全排列数共有n!个，记为Pn，即:= n(n-1) (n-r+1), Pn= n!重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有 个。注意，这里的r允许大于n。例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为 。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10987=5040。组合: 从n个不同元素中任取 个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为：规定0!=1，因而 。另外，在组合中，r个元素一个接一个取出与同时取出是等同的。例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为：这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24种。而这24种排列在组合中只算一种。所以 。注意:排列与组合都是计算 从n个不同元素中任取r个元素的取法总数公式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式;如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。例1.1-5 一批产品共有N个，其中不合格品有M个，现从中随机取出n个 ，问：事件Am= 恰好有m个不合格品的概率是多少?从N个产品中随机抽取n个共有 个不同的样本点，它们组成这个问题的样本空间 。其中“随机抽取”必导致这 个样本点是等可能的。以后对“随机抽取”一词都可以作同样理解。下面我们先计算事件A0、A1的概率，然后计算一般事件Am的概率。事件A0=恰好有0个不合格品=全是合格品，要使取出的n个产品全是合格品，那么必须从该批中N-M个合格品中抽取，这有 种取法。故事件A0的概率为:事件A1=恰好有1个不合格品，要使取出的n个产品只有一个不合格品，其他n-1个是合格品，可分二步来实现。第一步从M个不合格品中随机取出1个，共有 种取法;第二步从N-M个合格品中随机取出n-1个，共有 种取法。依据乘法原则，事件A1共含有 个样本点。故事件A1的概率为：最后，事件Am发生，必须从M个不合格品中随机抽取m个，而从N-M个合格品中随机抽取n-m个，依据乘法原则，事件Am共含有 个样本点，故事件Am的概率是:其中r=min(n,M)为n, M中的较小的一个数，它是m的最大取值，这是因为m既不可能超过取出的产品数n, 也不可能超过不合格品总数M，因此 。假如N=10.M=2和n=4，下面来计算诸事件Am的概率:而A3,A4等都是不可能事件，因为10个产品中只有2个不合格品，而要从中抽出3个或4个不合格品是不可能的，因而P(A3)=P(A4)=0 。例1.1-6见书中第18页例1.1-5。(三) 概率的统计定义概率的统计定义的要点如下：(1)与事件A有关的随机现象是可以大量重复试验的;(2)若在n次重复试验中，事件A发生 次，则事件A发生的频率为:(1.1-2)频率 能反映事件A发生的可能性大小;(3)频率 将会随着重复试验次数不断增加而趋于稳定，这个频率的稳定值就是事件A的概率。在实际中人们无法把一个试验无限次地重复下去，只能用重复试验次数n较大时的频率去近似表示概率。例1.1-7 说明频率稳定的例子(1)为了验证掷一枚均匀硬币出现正面的概率为0.5，许多人做了大量的重复试验，图1.1-10记录了前400次掷硬币试验中频率 的变化情况。在重复次数n较小时 波动剧烈，随着n的增大， 波动的幅度在逐渐变小。历史上有不少人做过更多次重复试验。其结果(见表1.1-1)表明，正面出现的频率逐渐稳定在0.5。这个0.5就是频率的稳定值，也是正面出现的概率，这与用古典方法计算的概率是相同的。(2)在英语中某些字母出现的频率远高于另外一些字母。人们对各类的英语书刊中字母出现的频率进行了统计。发现各个字母的使用频率相当稳定，其使用频率见表1.1-2。这项研究在计算机键盘设计 (在方便的地方安排使用频率较高的字母键)、印刷铅字的铸造 (使用频率高的字母应多铸一些)、信息的编码 (使用频率高的字母用较短的码)、密码的破译等等方面都是有用的。第三讲 概率的性质及其运算法则一、考试要求1. 掌握概率的基本性质2. 掌握事件的互不相容性和概率的加法法则3. 掌握事件的独立性、条件概率和概率的乘法法则二、主要考点1. 条件概率运算2. 独立性判断、互不相容的判断三、内容讲解第一节的问题：三、率的性质及其运算法则(一) 概率的基本性质及加法法则根据概率的上述定义，可以看出它具有以下基本性质:性质l：率是非负的，其数值介于0与1之间，即对任意事件A,有:特别，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，即：性质2：若 是A的对立事件，则：或性质3：若 则：性质4：事件A与B的并的概率为:这个性质称为概率的加法法则。特别若A与B互不相容，即：若 ，则：性质5：对于多个互不相容事件 ，有:例1.1-7 抛三枚硬币，至少一个正面出现 (记为事件 )的概率是多少?解：在抛三枚硬币的随机试验中，样本空间共有8个样本点：(正、正、正)、(反、反、反)、(正、反、反)、(反、正、反)、(反、反、正)、(正、正、反)、(正、反、正)、(反、正、正)。 中所含的样本点较多，但其对立事件 =抛三枚硬币，全是反面=(反，反，反)，只含一个样本点，从等可能性可知 =1/8。再由性质2，可得:例1.1-8 设事件 的概率分别为 .在下列三种情况下分别求 的值：(1) 与 互斥;(2) 解：(1)因为 与 互斥，所以 ， =0(2)因为 所以 = =(二) 条件概率及概率的乘法法则条件概率涉及两个事件A与B，在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率, 记为 。条件概率的计算公式为:(1.1-3)图1.111为了帮助同学们理解，我们用图1.111来说明1.1-3式中各符号的含义： 是事件B的面积除以样本空间的面积， 是图中的阴影部分的面积除以样本空间的面积， 是阴影部分的面积除以事件B的面积。注： 时，条件概率无意义。(即条件不能是不可能事件) 。(即 是特殊的条件概率)1.13式表明:条件概率可用两个特定的 (无条件) 概率之商来计算，在举例说明之前，先导出概率的乘法公式。性质6：对任意两个事件A与B 有:(1.1-4)其中第一个等式要求P(B)0，第二个等式要求P(A)0。这一性质可以从图1.111中很容易看出。例1.1-9 考虑有两个孩子的家庭： ，其中b表示男孩，g表示女孩。求：(1)家中有一个男孩和一个女孩的概率。(2)在有女孩的家庭中，有一个男孩的概率。解：若事件A表示：家中至少有一个男孩，则P(A)= ;若事件B表示：家中至少有一个女孩，则P(B)= ;家中有一个男孩和一个女孩的概率为：在有女孩的家庭中，有一个男孩的概率为：例1.1-10 设某样本空间含有25个等可能的样本点，又设事件A含有其中15个样本点，事件B含有7个样本点，交事件AB含有5个样本点，详见图1.1-11(书第23页)。由古典定义可知:于是在事件B发生的条件下，事件A的条件概率为:这个条件概率也可以这样来认识: 事件B发生，意味着其对立事件 再不会发生。因此 中18个样本点可不予考虑，可能的情况是事件B中的7个样本点之一。可见事件B的发生把原来的样本空间 缩减为新的样本空间 =B。这时事件A所含样本点在 中所占比率为5/7。这与公式计算结果一致，任一条件概率都可这样解释。类似地，利用这个解释，可得 。(三) 独立性和独立事件的概率设有两个事件A与B，假如其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生与否，则称事件A与B相互独立。性质7:假如两个事件A与B相互独立，则A与B同时发生的概率为:P(AB)=P(A)P(B) (1.1-5)两个事件的相互独立性可以推广到三个或更多个事件的相互独立性。此时性质7可以推广到更多个事件上去。譬如：若 为相互独立的四个事件，则有:性质8: 假如两个事件A与B相互独立，则在事件B发生的条件下，事件A的条件概率 等于事件A的 (无条件)概率P(A)。这是因为:(1.1-6)例1 .1-12 设实验室一个标本被污染的概率为0.15，如今有三个标本独立地在实验室制作，问三个标本都被污染的概率是多少?解: 设 = 第i个实验室标本被污染，i=l,2,3，要求的概率为 ，由于三个标本相互独立，所以:= 这个概率是很小的,表明同时被感染的机会很小，这跟实际情况完全符合。第一节 概率基础知识练习题一、单项选择(每题1分。每题的被选项中，只有一个最符合题意)1.在一个随机现象中有两个事件A与B，事件A与B指的是( )。A.事件A与B至少有一个发生;B.事件A与B同时发生;C.事件A与B都不发生;D.事件A发生且事件B不发生。2.设A、B为两个随机事件，则P(A+B)可表示为( )。A.P(A)+P(B);B.P(A)+P(B)-P(AB);C.P(A)+P(B)-P(A)P(B);D.1-P( )-P( )。3.设A、B为两个事件，则P(AB)可表示为( )。A.P(A)P(B);B.P(A)P(A|B)C.P(B)P(A|B)，P(B)0;D.1-P( )P( )。4.某教研室有8人组成，现从中选正、副主任各一人(不兼职)，将所有可能的选举结果构成样本空间，则其中包含的样本点共有( )。A.8 B.16 C.56 D.45.10件产品中有4件不合格品，每次从中随机抽取一只(取出后不放回)，直到把不合格品都取出，将可能抽取的次数构成样本空间，则其中包含的样本点共有( )。A.4 B.10 C.6 D.76.抛三枚骰子，观察其点数之和，将可能的点数之和构成样本空间，则其中包含的样本点共有( )。A.6 B.16 C.18 D.157.设A、B、C为三个事件，则三个事件中至少有一个不发生的事件可表示为( )。A.B.A+B+CC.D.ABC8. 10件产品有2件不合格品，现从中随机抽取3件，则至少有一件不合格品的概率可表示为( )。A.B. C.C.以上都不对9. 100件产品中有5件不合格品，现从中依次抽取2件，则第一次抽到合格品且第二次抽到不合格品的概率可表示为( )。A. B. C. D.以上都不对10. 10把钥匙中有3把能打开房门，现从中随机抽取2把钥匙，则不能打开房门的概率可表示为( )。A. B. C. D.以上都不对11.两封信随机地投入四个邮筒，则第一个邮筒恰好投入一封信的概率可表示为( )。A. B. C. D. 12.若事件A发生导致事件B发生，则下列结论成立的是( )。A.事件A发生的概率大于事件B发生的概率;B.事件A发生的概率小于事件B发生的概率;C.事例年B发生的概率等于事件A发生的概率;D.事件B发生的概率不小于事件A发生的概率。13.事件“随机抽取5件产品，至少有4件合格品”与事件“随机抽取5件产品，恰有1件不合格品”的关系是( )。A.包含 B.相互对立 C.互不相容 D.以上都不是14.一盒圆珠笔共有12支，其中11支是合格品;另一盒铅笔也有12支，其中有2支不合格品。现从两盒中各取一支圆珠笔和铅笔，则这两支笔都是合格品的概率是( )。A. B. C. D. 15.某随机现象的样本空间共有32个样本点，且每个样本点出现的概率都相同，已知事件A包含9个样本点，事件B包含5个样本点，且A与B有3个样本点是相同的，则P(B|A)为( )。A. B. C. D. 16.某种产品的日产量很大，不合格品率为0.01，今从中随机抽取三件，则其中恰有0件不合格品的概率约为( )。A.0.99 B.0.97 C.0.01 D.0.0317.一批产品有10%的不合格品，从中抽取5件，则其中恰有1件合格品的概率为( )。A.0.045 B.0.00055 C.0.00045 D.0.055二、多项选择(每题2分。每题的被选项中，有2个获2个以上符合题意，至少有一个错项。错选，本题不得分;少选，所选的每个选项的0.5分)1.随机事件的特征有( )。A.任一事件A是样本空间中的一个子集。B.事件A发生是指：当且公当A中某一样本点发生。C.任一样本空间都有一个最大子集和一个最小子集。D.任一随机事件都有无穷多个样本点。2.设A、B为两个事件，以下哪些表述是正确的( )。A.若A、B相互独立，则P(A+B)=P(A)+P(B)B.若A、B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B)C.若A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)D.若A、B互不相容，则P(AB)=P(A)P(B)3.若事件A发生导致事件B发生，则结论成立的有( )。A.B发生的可能性不小于事件A发生的可能性。B.A发生的可能性大于事件B发生的可能性。C.B发生的可能性小于事件A发生的可能性。D.A发生的可能性不超过事件B发生的可能性。4.随机现象的重要特征有( )。A.随机性 B.统计规律性 C.等可能性 D.确定性5.古典概率的特征有( )。A.随机现象只有有限个样本点(有限性)。B.每个样本点出现的可能性相同(等可能性)。C.两个事件之和的概率等于每个事件概率之和。D.两个事件之积的概率等于每个事件概率之积。6.概率的运算性质中，成立的有( )。A.B.P(A+B)=P(A)+P(B)C.若 ，则P(A-B)=P(A)-P(B)D.若P(A) 0,则P(AB)=P(A)P(B|A)E.若A、B相互独立，则P(B|A)=P(B)习题答案：一、单项选择题1.A ;2.B ;3.C ;4.C;5.D;6.B ;7.A ;8.B;9.C;10.A;11.D;12.D;13.A;14.C ;15.D;16.B;17.C;二、多项选择题1.A.B.C;2.B.C;3.A.D;4.A.B;5.A.B;6.A.C.D.E第四讲 随机变量及其分布一、考试要求1. 熟悉随机变量的概念2. 掌握随机变量的取值及随机变量分布的概念3. 熟悉离散随机变量的概率函数(分布列)4. 熟悉离散随机变量均值、方差和标准差的定义5. 熟悉连续随机变量的分布密度函数6. 熟悉连续随机变量均值、方差和标准差的定义7. 掌握连续随机变量在某个区间内取值概率的计算方法二、主要考点1. 离散随机变量的分布2. 连续随机变量的分布的性质3. 随机变量的均值、方差的运算性质三、内容讲解第二节 随机变量及其分布一、随机变量表示随机现象结果的变量称为随机变量。常用大写字母X, Y, Z等表示随机变量，它们的取值用相应的小写字母x, y, z等表示。假如一个随机变量仅取数轴上有限个点或可列个点 (见图1.2-1)，则称此随机变量为离散随机变量，或离散型随机变量。假如一个随机变量的所有可能取值充满数轴上一个区间 (a,b)(见图1.2-2)，则称此随机变量为连续随机变量，或连续型随机变量，其中a可以是 , b可以是+ 。例1.2-1 产品的质量特性是表征产品性能的指标，产品的性能一般都具有随机性，所以每个质量特性就是一个随机变量。例如:(1)设X是一只铸件上的瑕疵数，则X是一个离散随机变量，它可以取0,1,2，等值。为了方便，人们常用随机变量X的取值来表示事件，如 “X=0”表示事件：“铸件上无瑕疵”;“X=2”表示事件：“铸件上有两个瑕”;X2表示事件：“铸件上的瑕疵超过两个等等。这些事件可能发生，也可能不发生，因为X取0，1，2 等值是随机的。类似地，一平方米玻璃上的气泡数、一匹布上的疵点数、一台车床在一天内发生的故障数都是取非负整数 0，1，2，3，的离散随机变量。(2)一台电视机的寿命X(单位:小时)是在 0， )上取值的连续随机变量。X=0表示事件：一台电视机在开箱时就发生故障;X 10000表示事件： 电视机寿命不超过10000小时;X40000表示事件： 电视机寿命超过40000小时。(3)检验一个产品，结果可能是合格品，也可能是不合格品。设X表示检验一个产品的不合格品数，则X是只能取0或1两个值的随机变量。X=0表示产品时合格品，X=1表示产品是不合格品。类似地，若检验10个产品，则不合格品数X是，且仅可能是取0，1，10等11个值的离散随机变量。更一般的，在n个产品中的不合格品数X是可能取0，1，2，n等n+1个值的离散随机变量。二、随机变量的分布虽然随机变量的取值是随机的，但其本质上还是有规律性的，这个规律性可以用分布来描述。认识一个随机变量X的关键就是要知道它的分布，分布包含如下两方面内容:(1) X可能取哪些值，或在哪个区间上取值。(2) X取这些值的概率各是多少，或X在任一区间上取值的概率是多少?下面分离散随机变量和连续随机变量来叙述它们的分布，因为这两类随机变量是最重要的两类随机变量，而它们的分布形式是有差别的。(一) 离散随机变量的分布离散随机变量的分布可用分布列来表示， 比如，随机变量X仅取n个值: x1,x2, ,xn,随机变量X取x1的概率为p1，取x2的概率为p2 ，,取xn的概率为pn。这些可用一张表清楚地表示:Xx1 x2 xnp p1 p2 pn或用一个简明的数学式子表示:作为一个分布， 满足以下两个条件:， 满足这两个条件的分布称为离散分布，这一组 也称为分布的概率函数。例1.2-2 掷两颗股子，其样本空间为:考察与这个随机现象有关的一些随机变量:设X表示“掷两颗子骰子，6点出现的个数”，它的分布列为：X0 1 2p25/36 10/36 1/36(2)设Y表示“掷两颗子，出现的点数之和”X2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12p1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36这些随机变量X, Y都是各从一个侧面表示随机现象的一种结果，每个随机变量的取值都是随机的，但其分布告诉我们该随机变量取每个值的概率，使人们不仅对全局做到心中有数，而且还看到了取哪些值的可能性大，X取哪些值的可能性小，比如：X取0可能性最大，X取2的可能性最小;Y取7的可能性最大，Y取2或12的可能性最小;这些分布中的概率都可用古典方法获得，每个概率都是非负的，其和均为1。例1.2-3 设在10个产品中有2个不合格品，从中随机取出4个，其中不合格品数X是离散随机变量，它仅可取0,1,2等三个值。X取这些值的概率为 (详见例1.1-4)：具体计算后可得如下分布列:X0 1 2P0.3333 0.5333 0.1334从表中可见，事件 X=l出现的机会最大。对同样的问题，若用放回抽样，则从10个产品(其中有2个不合格品)中随机取出4个，其中不合格品数Y是另一个随机变量，它可取0,1,2,3,4等五个值。Y取这些值的概率为(详见例1.1-5):m=0,1,2,3,4具体计算后可得如下分布列:X0 1 2 3 4p0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016这个分布显示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小。还可计算有关事件的概率，比如：例1.2-4，略，见书第27页(二) 连续随机变量的分布连续随机变量X的分布可用概率密度函数p(x)表示，有些书上也记为f(x)。下面以产品的质量特性X，(如加工机械轴的直径)为例来说明p(x)的由来。假定我们一个接一个地测量产品的某个质量特性值X, 把测量得到的x值一个接一个地放在数轴上。当累积到很多x值时，就形成一定的图形，为了使这个图形得以稳定，把纵轴改为单位长度上的频率，由于频率的稳定性，随着被测质量特性值x的数量愈多，这个图形就愈稳定，其外形显现出一条光滑曲线。这条曲线就是概率密度曲线，相应的函数表达式p(x)称为概率密度函数，它就是一种表示质量特性X随机取值的内在统计规律性的函数。概率密度函数p(x)有多种形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形状不同。这些不同的分布形式反映了质量特性总体上的差别，这种差别正是管理层应该特别关注之处。这里应强调的是:图上的纵轴原是“单位长度上的频率”，由于频率的稳定性，可用概率代替频率，从而纵轴就成为 单位长度上的概率，这就是概率密度的概念，故最后形成的曲线称为概率密度曲线。概率密度函数p(x)是连续随机变量特有的概念，它有如下性质。(1)p(x)一定位于x轴上方，即p(x) 0。(2)p(x)与x轴所夹的面积恰好为1，即 。(3)连续随机变量x在区间 a, b 上的取值的概率 为概率密度曲线下，在区间 a, b 上所夹的曲边梯形面积 (见图1.2-3)。(4)连续随机变量X取一点的概率为零，即P(X=a)=0，因为在一点上的积分永远为零。(5) ,这是因为 , 后者为零即得。(6)连续随机变量X 的分布函数F(x)可用其密度函数算得，即F(x)=P(X x)= 注：所谓分布函数F(x)就是概率密度函数从 到x的积分，它表示随机变量取值从 到x的概率，或 例1.2-5 考试得分是一个随机变量，下面是三个不同地区同一课程考试得分的概率密度函数 (见图1.2-4)。得分可以取0到100分中的任意值，及格是50分，对每一地区，及格率大约是0.5呢?还是大大超过0.5?还是大大低于0.5?解:在图1.2-4上的50分处引一条垂线，则及格概率是:从50到100之间的面积从图1.2-4上可以看出:地区(a)的及格概率大大超过0.5。图1.2-4 三个地区考试得分的概率密度函数地区(b)的及格概率大大低于0.5。地区(c)的及格概率约为0.5。三、随机变量分布的均值、方差与标准差随机变量X的分布 (概率函数或密度函数)有几个立要的特征数，用来表示分布的集中位置 (中心位置)和散布大小。1.均值：用来表示分布的中心位置，用E(X)表示。譬如E(X)=5，意味着随机变量X的平均值为5。对于绝大多数的随机变量，在均值附近取值的机会较多。它的计算公式是:(1.2-1)其中诸 ， 和p(x)与上一小段中符号含义相同，这里不再重复。2.方差：用来表示分布的散布大小，用Var(X)表示，方差大意味着分布的散布程度较大，也即比较分散，方差小意味着分布的散布程度小，也即分布较集中。方差的计算公式是:(1.2-2)方差的量纲是X的量纲的平方，为使表示分布散布大小的量纲与X的量纲相同，常对方差开平方，记它的正平方根为 或 (X)，并称它为X的标准差:(1.2-3)由于 与X的量纲相同，在实际中更常使用标准差 表示分布的散布大小，但它的计算通常是通过先计算方差，然后开方获得。例1.2-7，略，详见书第31页。例1.28 看图识方差(与标准差)。图1.26(a)、(b)、(c)、(d)上画出四个离散分布的线条图，其中垂线高度就是相应的概率。现问这四个分布中哪个方差大，哪个方差小。由方差的定义知：其中 。若要方差小，则和式中每一项都要小，这要求：(1)若偏差 -E(X)的绝对值小，则相应概率 可以大一些;(2)若偏差 -E(X)的绝对值大，则相应概率 必定要小。这意味着：离均值E(X)近的值 发生的可能性大，远离均值E(X)的值 发生的可能性小，正如图1.26(d)所示。反之，若要方差大，则和式中必有某些乘积项较大，也就是说，有若干个大偏差 -E(X)发生的概率大，或者说远离均值E(X)的值 发生的可能性大，正如图1.26(a)所示。从上述说明可以看出图1.26上四个离散分布的方差(从而标准差)从上到下是逐渐减小的。类似地，对连续分布也有类似解释，故图1.26(e)、(f)、(g)、(h)上四个连续分布的方差(或标准差)从上到下也是逐渐减小的。图1.26 四个离散分布的方差 和四个密度函数的方差3.随机变量 (或其分布)的均值与方差的运算性质:(1)设X为随机变量，a与b为任意常数，则有:(2)对任意两个随机变量X1与X2，有:这个性质可以推广到三个或更多个随机变量场合。(3)设随机变量X1与X2独立 (即X1取什么值不影响另一个随机变量X2的取值，这相当于两个试验的独立性)，则有:这个性质也可推广到三个或更多个相互独立的随机变量场合。注意:方差的这个性质不能推到标准差场合，即对任意两个相互独立的随机变量X1与X2，而应该是 。或者说，对相互独立的随机变量来说，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。例 1.2-9 设随机变量X与Y相互独立，均值分别为5与9，方差分别为2与2.5，(1)求U=3X+5的均值与方差。(2)求V=2X+4Y的均值与方差。(3)求W=X-Y的标准差。利用均值与方差的运算性质可逐个算得。(1) E(U)=3E(X)+5=3*5+5=20Var(U)=9*Var(X)=9*2=18(2) E(V)=2E(X)+ 4E(X)=2*5+4*9=46Var(V)=4*Var(X)+16*Var(X)=4*2+16*2.5=48(3) Var(W)=Var(X)+Var(X)=2+2.5=4.5第五讲 常用分布一、考试要求1.掌握二项分布、泊松分布及其均值、方差和标准差以及相关概率的计算。2.了解超几何分布。3.掌握正态分布的定义及其均值、方差和标准差，标准正态分布的分位数。4.熟悉标准正态表的用法二、内容讲解四、常用分布(一)常用离散分布这里将给出三个常用的离散分布：二项分布、泊松分布与超几何分布。1.二项分布我们来考察由n次随机试验组成的随机现象，它满足如下条件:(1)重复进行n次随机试验。比如，把一枚硬币连抛n次，检验n个产品的质量，对一个目标连续射击n次等。(2) n次试验间相互独立，即任何一次试验结果不会对其他次试验结果产生影响。(3)每次试验仅有两个可能的结果，比如，正面与反面、合格与不合格、命中与不命中、具有某特性与不具有某特性，以下统称为“成功”与“失败”。(4)每次试验成功的概率均为p，失败的概率均为1- p。在上述四个条件下，设X表示n次独立重复试验中成功出现的次数，显然X是可以取0，1，n等n+1个值的离散随机变量，且它的概率函数为:这个分布称为二项分布，记为 ，其中 是从n个不同元素中取出x个的组合数，它的计算公式为：二项分布的均值、方差与标准差分别为：特例：n=1的二项分布称为二点分布。它