递推型数列类型与求通项公式方法(已打).doc

常用递推数列类型与求通项公式方法 摘要：本文力图对常见的高考递推数列类型的概括及求通项公式方法的研究，揭示这一内容的数学规律与本质，以便帮助读者更好地辅导学生参加高考递推公式是指数列的任意连续若干项所满足的一个确定关系式（比较常见的通常是给出数列中的相邻两项间的关系），由递推公式和相应的前若干项可以确定一个数列；利用递推公式法给出数列称为递推数列在递推背景下，首先是如何突破这个递推的条件，其中（大多数）的方法就是求出数列的通项公式，然后用这个通项公式解决后面的综合问题；（少数）另一种重要方法就是不求出、或本身就是很难求出通项公式，借助数列解题特有的方法来解决问题在2008年全国19份理科试卷中，凡是数列综合题都含有递推公式，其中有16份需要用求出通项公式的工具解题；在2009年高考19份理科卷中，有5份卷出现递推型数列综合题，在年高考19份理科卷中，也有份卷出现递推型数列综合题，这些试题都需要求出通项公式来解决后面的问题因此在高考中，递推数列题目屡见不鲜，其中，需要求出递推数列的通项是近年高考的热点解决此类问题必须根据递推公式的结构特征，运用一些独特的方法，变换原来的递推公式，以便得到等差型、等比型、累加型、累乘型等模式比较明确的新递推公式，然后，利用基本数列知识去求数列的通项公式然而，不少读者对变换数列的递推公式的方法知之甚少，从而导致了在处理此类问题时吃“闭门羹”；文对这样的递推数列用例题形式给出了九种模型，值得初学者一读，但内容粗浅，缺少从思想高度上去总结，从方法分类上去概括，类型也无法覆盖高考的要求；文只对含有递推公式相关的数列的问题有一点简单的涉及；为此，本文在上述基础上，把老师们平时零散在做的，就一些常见的、高考密切相关的递推公式变换的常用手段进行整理与研究,系统概括，希望对读者有所帮助一、求递推公式形如的数列的通项公式这里结合具体的例子来说明递推公式形如(其中、，为已知的常数且、，且，)的数列 的通项公式的求法这些递推数列的通项公式的推求在文3、里都有一些零散的研究，所提的方法多样，这里希望通过对上述方法的归纳、集中，形成单一的、便于学生轻松掌握和简易运用的所谓“主要方法”和 “次要方法”，采用的“主要方法”是将已知数列转化变形为新的“等比”数列后求通项的方法，这里的转变侧重在用待定系数法，对递推公式进行“改造”；采用的“次要方法”是利用等式“”即有些参考书所称呼的“逐差法”或“累加法”来求本文不考虑特殊的情形，如，等情况；请读者阅读本文后思考笔者为什么要用“主要方法”和“次要方法”来命名类型1 递推关系形如（、，）的递推数列例1 已知数列满足：，（），求数列的通项公式主要解法：因为，（），将递推关系进行适当的变形为，就可以转化为一个新的等比数列，其首项为，公比为，所以有，从而有这样的数列有时无法直接观察转化出的形式，那么通常可以设变形后的形式为，展开得，由待定系数法知，所以得一般地，对于递推关系形如（、，）的递推数列，两边同加上一个，得，令，得，即递推关系变为这样的等比数列次要解法：由，可以得到，即递推式子，由此想到等式，那么就有=，即一般地，对于递推关系形如（、，）的递推数列，可以变化为 ，即型另解：由，得到，即一般地，对于递推关系形如（、，）的递推数列，也可以由归纳法归纳而得思考题：（年上海理科卷题）已知数列的前项和为，且，（）（I）证明：是等比数列；（II）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值？并说明理由答案：（I）是以为首项，为公比的等比数列；（II），当时取得最小值类型2 递推关系形如（、，）的数列例2 已知数列满足：，（），求数列的通项公式主要解法：因为，（），将递推关系进行适当的变形为，就可以转化为一个新的等比数列，其首项为、公比为，所以有，从而有这样的数列有时无法直接观察转化出的形式，那么，通常可以设变形后的形式为，展开得，由待定系数法得，所以，再将，代入就可以得到最终的变式：一般地，对于递推关系形如（、，）的数列，我们可以变化为，退回来就是，这样、次要解法：由于，得到，即，由此想到等式，那么就有=（这里的中刮号内求和要用到错位相减法），从而有一般地，对于递推关系形如（、，）的数列，我们可以变化为这样的逐差形式思考题：知数列满足：，（），求数列的通项公式(答案：)类型3 递推关系形如（、，）的数列例3 已知数列满足：，（），求数列的通项公式主要解法：因为，（），将递推关系进行适当的变形为，就可以转化为一个新的等比数列，其首项为，公比，所以有，从而有这样的数列有时无法直接观察转化出的形式，那么通常可以设变形后的形式为，展开得，由待定系数法知，再将，代入就可以得到最终的变式一般地，对于递推关系形如（、，）的数列，可以考虑把递推关系改造为，后面就可以用待定系数法来处理了次要解法：由，可以变为，即，后面可以利用等式“”来求一般地，对于递推关系形如（、，）的数列，可以考虑把递推关系改造为这样的逐差形式了思考题：（年全国课标卷理科题）设数列满足，（I）求数列的通项公式；（II）令，求数列的前项的和答案：（I）；（II）类型4 递推关系形如（、，）的数列例4 已知数列满足：，求数列的通项公式主要解法：本题的条件是前面几个问题的混合，也比较复杂，很难直接观察变形为新的等比数列的形式可根据前面的类型的结论使用待定系数法设变形后的公式为，展开整理得，由待定系数法知，所以有，这样，就可以得到最终的变式，转化为这样一个新的等比数列，其首项为、公比，从而有，即一般地，对于递推关系形如（、，）的数列，可以考虑把递推关系改造为，后面就可以用待定系数法来处理了次要解法：由可以得到，即后与前面几个例题的“次要方法”一样，可以利用等式“”来求，但运算量大，还要利用“错位相减法”来求里面的部分和一般地，对于递推关系形如（、，）的数列，可以考虑把递推关系改造为这样的逐差形式 思考题：（年重庆理科卷题）在数列中，（），其中实数（I）求的通项公式；（II）若对于一切，有，求的取值范围答案：（I）的通项公式；（II）的取值范围是小结：上面四种类型（且，）所谓“主要方法”可归纳如下，不要求读者记住，但要求读者能理解（，）可以变形为；（，）可以变形为；（，）可以变形为；（，）可以变形为二、倒数变换法例5 已知数列满足：，（），求数列的通项公式解：由（）得：，把看成项，则数列就是一类中型1数列，所以，有的变式，可求得，即评注：对于递推公式形如（其中，是非零常数）的数列通项公式的求法，通常可以考虑将其两边取倒式，得到，再将问题转化为一类中型1数列的形式，从而求解三、对数变换法例6 已知数列各项都是正数，且满足：，（）求数列 的通项公式解：由，（）得，把看成项，则数列就是一类中型1数列，所以有，因此，有，即 评注：对于递推公式形如（其中且）或（其中且）的数列通项公式的求法，通常可以考虑将其两边取对数式，得到或，则数列符合一类中各型数列的形式，从而求解四、累加法所谓累加法就是利用重要的数列恒等式 “”来求数列通项公式的方法；也就是：如果已知数列的递推公式形如（或可以转化为）：，且是可求的，此时，将依次代入关系式中得到个等式，然后把这个式子相加，整理求得通项公式在一类各型例题中的所谓“次要方法”就是这样的做法例7 已知数列满足：，（），求数列的通项公式解：由得，即，从而， ，即五、累积法所谓累加法就是利用重要的数列恒等式 “”来求数列通项公式的方法；也就是：如果已知数列的递推公式形如（或可以转化为）：，且是可求的，此时，将依次代入关系式中得到个等式，然后把这个式子相乘，整理求得通项公式例8 数列满足：，（），求数列的通项公式 解：由已知得，所以，即就是所求六、求递推公式形如（其中，是不为零的两个常数）的数列的通项公式例9 已知数列满足：，且（），（其中，是不为零的两个常数），求解：一般地，设即，结合，所以有 由此可知、是二次方程的两个非零根，这两个根有可能是不等实根、重实根、甚至共轭虚根，如果是共轭虚根下面的运算就按复数的运算法则进行（我们常把叫做特征方程，其实就是递推式中、分别换成、而即可）若时，则由可得数列是等比数列，首项是，公比是，求得；又对称性得，可得数列是等比数列，首项是，公比是，求得；联合（1）（2）两个方程，消去就可得，若时，此时有，则只得一式，此式可化为（常数），说明数列是等差数列，公差为，首项为，求得，化简得特别地，当时，可以得，数列是常数列，可求得，此时求就转化为一类中型1数列的形式思考题：（I）已知，（），求通项；（II）已知，（），求通项；（III）已知，（），求通项答案：（I）；（II）；（III）七、求递推公式形如（其中，是不为零的三个常数）的数列的通项公式已知数列满足：，（其中，是不为零的三个常数）；这样的数列常用“平移替换”来进行“常数消去法”和“不动点法”；“不动点法”又称为“特征根法”，介绍起来就篇幅长，也是超出大纲的要求，文5对此有详细的介绍，本文根据学生实际只就“常数消去法”进行介绍设平移替换，则有，即，令，这个方程有两个根，这两个根有可能是不等实根、重实根、甚至共轭虚根，设是它的一个根，则就有再对上面的方程两边取倒数，得，再令，则有，就符合一类中型1数列的形式，可以求得通项公式，进而可求得，的通项公式例：（年大纲理科全国卷I的题）已知数列中，（I）设，求数列的通项公式；（II）求使不等式成立的的取值范围简解：（I）因为，变换得，即；再变换得，又，故，数列是首项为，公比为的等比数列；这样可以求得，即的通项公式为（II）过程略，的取值范围是思考题：（年压轴题）数列中，且，求答案：值得一提的是，数列的通项公式与递推公式在不同条件下，作用也不一样，对于有关数列问题的求解，平常应当注意积累相应的求解方法以便考试时恰当地选用，并且在具体处理问题时多注意观察分析，将问题作恰当地转化；本文所列举的方法只不过是常规方法，如猜测、归纳等方法就是不常规，同时并非所有的数列问题的求解都需要将相应的通项公式求出，是否需要求出，这要视具体问题而定为了强烈提醒读者重视此文，笔者引用两高考试题做为结束例题供读者欣赏 例（年天津卷理21）在数列中，=2， （，其中0），求数列的通项公式；求数列的前n项的和证明存在，使得对任意均成立分析：本题关键是先求出的通项公式，我们所学过的是“已知，且 （），求通项公式”的类型；这样在分析的递推关系时候要超常联系上面的类型所用的方法，就容易想到两边同除于使得递推关系容易变为，这样设，就可以得到了的关系的等差数列，且；则从而获得的通项公式后面两小题略 例1（年福建理15题）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需要拍手一次 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为多少？分析：设第个报出的数为，则有递推式，且；可以发现这是斐波那契数列，在新课程中以阅读与思考方式出现，是一个很重要的数列，也是高考命题者比较喜欢的数列基本模型若按照常规处理可以利用类型6的方法，求得通项公式为，而甲同学报出的数分别为（），后面就很难检查在集合中哪几个数能使是3的倍数了 如果我们不考虑通项公式，只在递推公式里观察就会有名堂了首先，这个数列前面几项分别为1，1，2，3，5，8，13，21，也就是第一个是3的倍数的项是，第二个是（这里能给你有什么启发？）；其次，由，可得，此时我们可以看出，若是3的倍数，则一定有是3的倍数，反过来，若是3的倍数，则一定有是3的倍数；这样，结合上两点，就可知报出是3的倍数的项分别是（），又由甲同学报出的数分别为（），这样，是甲同学报出的又是 3的倍数的数应该是，的五个数思考题：（年湖北理科题）已知数列满足：，（