运用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例.doc

公开课教案第15讲运用导数研究函数的最值与生活中的优化问题举例开课人：薛由琼 开课时间：2014-5-21第三节 开课班级:高二年1班安全教育：反恐、反暴的安全知识。考试大纲要求：1会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中函数的次数一般不超过三次)2会利用导数解决某些实际问题复习内容：1函数的最值 (1)函数f(x)在区间a，b上必有最值的条件如果在区间a，b上函数yf(x)的图像是一条_，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在区间a，b上的最大值与最小值的步骤求函数yf(x)在区间(a，b)内的_；将函数yf(x)的各极值与_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值2极值或最值的应用(1)f(x)m恒成立等价于_；f(x)m恒成立等价于_(2)函数f(x)ax3bx2cxd(a0)有极大值f(x1)，极小值f(x2)若函数有三个零点，则_；若函数有两个零点，则_；若函数有且仅有一个零点，则_3优化问题：用料最省、利润最大、效率最高、成本最低等问题称为优化问题利用导数解决生活中的优化问题的思路： 链接教材 1教材改编 函数f(x)612xx3，x1，1的最大值和最小值分别是_，_解析 由题意可得，f(x)3x212.令f(x)0，得x2或x2.当x(2，2)时，f(x)0，所以f(x)在区间(2，2)上单调递减，所以f(x)在1，1上的最大值和最小值分别为f(1)17，f(1)5.2教材改编 一条长为2的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长度分别是_，_解析 设两段铁丝的长分别为x，2x.则两个正方形的面积之和为Sx2x，则S，令S0得x1.当x1时，S1时，S0.所以S在x1处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是1.3教材改编 做一个容积为256 dm3的底面为正方形的无盖水箱，若要使用料最省，则它的高为_dm.解析 设底面边长为x，则高为h，其表面积为Sx24xx2.则S2x，令S0，则x8.当x8时，S8时，S0.所以S在x8时取得极小值，也是最小值，用料最省，故高h4(dm) 疑 难 辨 析 1用导数求最值的误区(1)函数在某区间上有极值，则一定有最值()(2)连续函数在闭区间上必有最值()(3)函数f(x)x23x2的极小值也是最小值()(4)函数f(x)x1和g(x)x1都是在x0时，取得最小值1.()(5)函数f(x)x2ln x没有最值()答案 (1)(2)(3)(4)(5)解析 (1)函数在某区间上有极值，则不一定有最值如函数f(x)x33x在R上只有极值没有最值(2)根据最值的概念知命题正确(3)二次函数的极值也是最值(4)对于f(x)x1，f(x)10在区间(0，)上恒成立，所以f(x)为增函数，且定义域为0，)，所以f(x)的最小值为f(0)1.对于g(x)x1，令g(x)10，得x.当x（0，）时，g(x)0；当x（，）时，g(x)0，所以由f(x)0得x.当x时，f(x)0；当0x时，f(x)x.()(2)求实际问题中的最大值、最小值，一定要考虑变量的实际意义()(3)一点沿直线运动，如果由始点起经过t s运动的距离为st4t32t2，那么速度为零的时刻是1 s末()(4)若a2，则方程x3ax210在区间(0，2)上没有实数根()答案 (1)(2)(3)(4)解析 (1)令f(x)xsin x，则f(x)1cos x0（x（0，）.所以f(x)是区间（0，）上的增函数，则f(x)f(0)0，故xsin x.(2)求实际问题的最值问题，结果要与实际情况相结合，不符合实际意义的应舍去(3)St35t24t，令S0，得t10，t21，t34，即0，1，4 s末，速度均为零(4)设f(x)x3ax21，则f(x)x22axx(x2a)由a2得当x(0，2)时，f(x)0，f(x)在区间(0，2)上为减函数又f(0)f(2)1（4a1）4a0，则F(x)x.当m0，所以F(x)在区间(0，)上单调递增，所以F(x)在区间1，e上的最小值为F(1)0.当m0时，令F(x)0，得到x10，x20(舍去)当1，即00.所以F(x)在区间1，e上单调递增，其最小值为F(1)0；当e，即me2时，在区间(1，e)上F(x)0；当x(0，2)时，f (x)0)，则h(x).当x(0，1)时，h(x)0，所以h(x)单调递增所以h(x)的最小值为h(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以a4.探究点二实际生活中的优化问题与导数例22013重庆卷 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r0，故V(r)在区间(0，5)上为增函数；当r(5，5 )时，V(r)0，故V(r)在区间(5，5 )上为减函数由此可知，函数V(r)在r5处取得最大值，此时h8，即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大变式题 受市场的影响，三峡某旅游公司的经济效益出现了一定程度的滑坡现需要对某一景点进行改造升级，提高旅游增加值经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x万元之间满足yxax2ln，且1，)当x10时，y9.2.(1)求yf(x)的解析式和投入x的取值范围；(2)求旅游增加值y取得最大值时对应的x值解：(1)因为当x10时，y9.2，即10a102ln 19.2，解得a.所以f(x)xln.因为1，所以60，且f(x)在区间(1，50)上连续，因此f(x)在区间(1，50)上是增函数，于是f(x)在区间(6，12上是增函数，所以当x12时，f(x)取得最大值，即投入12万元进行改造升级，取得最大的增加值极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域上的性质。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往关心函数在指定的区间上，哪个值最大，哪个值最小。这就是本小节要研究的最大（小）值问题。 函数的最大（小）值是在函数的极大（小）值基础上的发展。从函数图象上我们容易直观地看出：如果 上函数 f（x）的图象是一段光滑的曲线，那么它必有最大值和最小值。 结合函数极值中的例子，以及函数的图象不难看出，只要把函数 f（x）的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（小）值。2关于例5的说明 我们是在极值的基础上讲最大（小）值，例5的教学要紧密结合例4，例4已求出函数 的极大值和极小值，在例5给定的区间上，函数 有极小值，然后求出函数 在给定区间端点的函数值，把区间端点的函数值与极小值比较，就可以得出函数 在给定区间上的最大值和最小值。最后归纳给出了求函数 f（x）在 上的最大（小）值的步骤，学生熟悉一般步骤之后，有些步骤可以省略。34 生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的最大（小）值问题。导数是求函数最大（小）值的强有力工具，本节我们运用导数，解决生活中的一些优化问题。 本节中的优化问题举例一改过去直接给出题目，然后给出解答的模式。而是改变了问题的呈现方式，首先给出一些背景性的问题，让学生了解背景，对问题有一定的生活经验，从生活经验的角度如何看待本题。在生活经验的基础上，逐步引入到数学问题中，在数学问题中，按照学生的思维过程，逐步展开问题。解决问题，解决完问题后，再给学生提出一些有思维价值的思考题目，作为正文例题的延续。在分析问题、解决问题的过程中，让学生体会数学建模的过程。培养学生主动发现问题、分析问题、解决问题的能力。进一步培养学生应用数学的意识。1关于例1的说明 首先结合学生的生活经验，给出两个问题，让学生思考，按照学生的生活经验，学生会给出两个问题的答案。 教科书正文中的大段文字介绍函数模型的由来。函数模型一般都是通过搜集大量的统计数据，并对数据进行整理和分析而得到的。函数模型既可以是明确的解析式，也可以是图象或表格，即模型是多样化的。数学模型即可以是静态的，也可以是动态的。 此处函数模型是函数图象，要求学生根据函数的图象，分析在哪一点处汽油的使用效率最高。也就是说，汽车以什么速度行驶时，汽油的使用效率最高。本例的关键是如何在图象上表示汽油的使用效率，也就是说，在图象上如何把汽油的使用效率表示出来，表示出来以后，最大效率问题就可迎刃而解。 本题的设计非常新颖，通过具体的函数图象，找出汽油使用效率的最高点，对学生的思维具有一定的挑战性。最后给出问题，用导数表示汽油的使用效率最高时，每千米的耗油量为 公升。 通过搜集大量的统计数据，对这些数据整理与分析，进行预测和判断是我们研究问题常用的方法。实际上，我们往往将搜集到的数据以散点的形式在坐标系中表示出来，然后选择适当的曲线拟合这些散点，用连续曲线y=f（x）研究离散的问题，通过连续曲线y=f（x）反映散点的变化规律。这是科学研究常用的数学方法。 实际上，经过数据散点的拟合，我们能够利用信息技术工具，近似得到每小时消耗的汽油量 与汽车速度 之间的函数解析式g=f（v）。函数图象最低点的意义是汽车以50km/h行驶时，每小时所消耗的汽油量最少，此时不是汽油的使用效率最高的问题。2关于例2的说明 当前已进入信息化时代，计算机存储与检索是计算机的基本功能。学生应了解计算机的存储与检索信息的功能，同时应了解磁盘的结构以及一个圆环状的磁盘如何存储更多的信息。三个问题就是针对上面情况提出的，学生必须了解数学问题后的现实的背景。先提问题，然后对背景知识进行详细的说明，尔后提出数学问题，在这个基础上，学生再来解决数学问题。如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，可以计算磁盘存储的信息，此时，r越小，磁盘的存储量越大。3关于例3的说明 问题及背景知识类似例2的呈现方式，是