数列的概念与简单表示法.docx

数列的概念与简单表示法(一)（一） 主要知识：1数列的概念按照一定 顺序 排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的一般形式数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an ，其中 a1 称为数列an的第1项(或称为 首项 )，a2称为第2项， an 称为第n项3数列的分类(1)根据数列的项数可以将数列分为两类：有穷数列：项数 有限 的数列；无穷数列：项数 无限 的数列(2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类：递增数列：从第2项起，每一项都 大于 它的前一项的数列；递减数列：从第2项起，每一项都 小于 它的前一项的数列； 常数列：各项 相等 的数列； 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的 数列 数列的表示方法：列举法；图象法；解析法（通项公式）数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式递推法数列的递推公式如果已知数列an的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式与的关系：（二）主要方法：数列通项公式的求法：观察分析法；公式法： 转化成等差、等比数列；累加、累乘法 ；递推法。（三）典例分析： 一、根据数列的前几项写出数列的一个通项公式例1根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7，13,19，(2)0.8,0.88,0.888，(3)，(4)，1，(5)0,1,0,1，解(1)符号问题可通过(1)n或(1)n1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an(1)n(6n5) (nN*)(2)数列变形为(10.1)，(10.01)，(10.001)，an (nN*)(3)各项的分母分别为21,22,23,24，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为，因此原数列可化为，an(1)n (nN*) (4)将数列统一为，对于分子3,5,7,9，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列1,4,9,16即数列n2，可得分母的通项公式为cnn21，可得它的一个通项公式为an (nN*)(5)an或an (nN*)或an (nN*)总结解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系同时，要善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化而达到问题的解决变式训练1写出下面数列的一个通项公式(1)2，4，6，8，；(2)10,11,10,11,10,11，；(3)1，.解(1)这是个混合数列，可看成2，4，6，8，.故通项公式an2n (nN*)(2)该数列中各项每两个元素重复一遍，可以利用这个周期性求an.原数列可变形为：100,101,100,101，.故其一个通项为：an10，或an. (3)通项符号为(1)n，如果把第一项1看作，则分母为3,5,7,9，分母通项为2n1；分子为3,8,15,24，分子通项为(n1)21即n(n2)，所以原数列通项为：an(1)n (nN*)根据下面各数列的前几项值，写出数列的一个通项公式：，； ，；，；，； ，；二、根据递推公式写出数列的前几项例2设数列an满足写出这个数列的前5项解由题意可知a11，a2112，a311，a411，a511.总结由递推公式可以确定数列，它也是给出数列的一种常用方法变式训练2在数列an中，已知a12，a23，an23an12an(n1)，写出此数列的前6项解a12，a23，a33a22a133225，a43a32a235239，a53a42a3392517，a63a52a43172933.三、数列通项公式的应用例3已知数列；(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由(1)解设f(n).令n10，得第10项a10f(10).(2)解令，得9n300.此方程无自然数解，所以不是该数列中的项(3)证明an1，又nN*，01，0an1.数列中的各项都在区间(0,1)内(4)解令an，则，即.n0，anan1.（五）备选题： A组 1.在数列中, 1,当时，则的值为（ ）A 5050 B 5051 B 4950 C 49512. 已知数列的前项和，第项满足，则 .已知数列是递增数列，且，都有，则实数的取值范围是（ ）A B C D 在数列中，对所有的正整数n都成立，且，则等于（ ）A 1 B -1 C D 5. 在数列中,，且，则 6. 已知数列的前项和为，且，则7. 已知数列对任意的满足，且，那么8.已知数列满足，则数列通项公式9在数列中,，且，则 10已知数列满足，=1,，（1）求. 已知数列的通项公式；（2）若，求n.11已知数列的前项和满足写出数列的前三项；求数列的通项公式；12已知数列中，且， 其中 （）求，（）求的通项公式.B组1. 已知,都是正实数），数列与的大小关系是（ ）A B C D 不能确定2在数列中, ，则（ ）已知数列满足， ,设，则下列结论正确的是（ ）已知数列满足，则 5若数列满足， ，则等于 6已知，则数列的最大项是 或 不存在7已知数列中，满足，则该数列前100项中的最大项和最小项分别是（ ）A B C D 8数列满足，若，则