2013年北京市高考真题数学试卷及答案(理科)WORD版.doc

2013北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1.已知集合a=1，0，1，b=x|1 x1，则ab= a.0 b.1，0 c.0，1 d.1,0,12.在复平面内，复数(2i)2对应的点位于( )a.第一象限 b. 第二象限 c.第三象限 d. 第四象限3.“=”是“曲线y=sin(2x)过坐标原点的”a.充分而不必要条件 b.必要而不充分条件c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的s值为开始是否输出结束a.1 b. c. d.5.函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与y=ex关于y轴对称，则f(x)=a. b. c. d. 6.若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为a.y=2x b.y= c. d.7.直线l过抛物线c: x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与c所围成的图形的面积等于a. b.2 c. d.8.设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点p(x0，y0)，满足x02y0=2，求得m的取值范围是a. b. c. d. 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，)到直线sin=2的距离等于 .10.若等比数列an满足a2a4=20，a3a5=40，则公比q= ；前n项和sn= .11.如图，ab为圆o的直径，pa为圆o的切线，pb与圆o相交于d.若pa=3，则pd= ；ab= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示.若c=ab (，r)，则= .14.如图，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，e为bc的中点，点p在线段d1e上，点p到直线cc1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. (本小题共13分)在abc中，a=3，b=2，b=2a.(i)求cosa的值； (ii)求c的值.16.( 本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（）求此人到达当日空气重度污染的概率;（）设x是此人停留期间空气质量优良的天数，求x的分布列与数学期望;（）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17. (本小题共14分)如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形，平面abc平面aa1c1c，ab=3，bc=5.（）求证：aa1平面abc；（）求二面角a1bc1b1的余弦值；（）证明：在线段bc1存在点d，使得ada1b，并求的值.18. (本小题共13分)设l为曲线c：在点(1，0)处的切线.(i)求l的方程；(ii)证明：除切点(1，0)之外，曲线c在直线l的下方.19. (本小题共14分)已知a、b、c是椭圆w：上的三个点，o是坐标原点.(i)当点b是w的右顶点，且四边形oabc为菱形时，求此菱形的面积;(ii)当点b不是w的顶点时，判断四边形oabc是否可能为菱形，并说明理由.20. (本小题共13分)已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为an，第n项之后各项，,的最小值记为bn，dn=anbn 。(i)若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nn*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；(ii)设d为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列；(iii)证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3，)，则an的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 参考答案一、 选择题：1.b 2.d 3.a 4.c 5.d 6.b 7.c 8.c 二、填空题：9.1 10.2， 11. ；4 12.96 13.4 14. 三.解答题：15.解：（i）因为a=3，b=2，b=2a. 所以在abc中，由正弦定理得.所以.故.(ii)由（i）知，所以.又因为b=2a,所以.所以.在abc中，.所以.16.解：设表示事件“此人于3月日到达该市”（ =1,2，13）.根据题意, ,且.（i）设b为事件“此人到达当日空气重度污染”，则,所以.(ii)由题意可知，x的所有可能取值为0,1,2，且p(x=1)=p(a3a6a7a11)= p(a3)+p(a6)+p(a7)+p(a11)= ,p(x=2)=p(a1a2a12a13)= p(a1)+p(a2)+p(a12)+p(a13)= ,p(x=0)=1p(x=1)p(x=2)= ,所以x的分布列为：故x的期望.(iii)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.解：（i）因为aa1c1c为正方形，所以aa1 ac.因为平面abc平面aa1c1c,且aa1垂直于这两个平面的交线ac,所以aa1平面abc.(ii)由（i）知aa1 ac，aa1 ab. 由题知ab=3，bc=5，ac=4，所以abac. 如图，以a为原点建立空间直角坐标系a,则b(0，3，0),a1(0，0，4),b1(0，3，4),c1(4，0，4)，设平面a1bc1的法向量为，则,即，令，则，所以.同理可得，平面bb1c1的法向量为,所以. 由题知二面角a1bc1b1为锐角，所以二面角a1bc1b1的余弦值为.(iii)设d是直线bc1上一点，且. 所以.解得，.所以. 由，即.解得.因为，所以在线段bc1上存在点d，使得ada1b.此时，.18.解: （i）设，则.所以.所以l的方程为.(ii)令，则除切点之外，曲线c在直线的下方等价于. 满足，且.当时，所以，故单调递减；当时，所以，故单调递增.所以，（）.所以除切点之外，曲线c在直线l的下方.又解：即变形为，记，则，所以当时，在（0,1）上单调递减；当时，在（1，+）上单调递增。所以.）19.解：（i）椭圆w：的右顶点b的坐标为（2,0）.因为四边形oabc为菱形，所以ac与ob相互垂直平分. 所以可设a（1，），代入椭圆方程得，即. 所以菱形oabc的面积是.(ii)假设四边形oabc为菱形. 因为点b不是w的顶点，且直线ac不过原点，所以可设ac的方程为.由消去并整理得.设a,c，则，.所以ac的中点为m（，）.因为m为ac和ob的交点，所以直线ob的斜率为.因为，所以ac与ob不垂直. 所以oabc不是菱形，与假设矛盾.所以当点b不是w的顶点时，四边形oabc不可能是菱形.20.（i）(ii)(充分性)因为是公差为的等差数列，且，所以因此，,.(必要性)因为，所以.又因为，,所以.