工程中的计算机模拟技术-有限元法与数学.doc

工程中的计算机模拟技术-有限元法与数学机械系 贺永近年来随着计算机技术的普及和计算速度的不断提高，有限元(finite element)分析在工程设计和分析中得到了越来越广泛的重视，已经成为解决复杂的工程分析计算问题的有效途径，现在从汽车到航天飞机几乎所有的设计制造都已离不开有限元分析计算，其在机械制造、材料加工、航空航天、汽车、土木建筑、电子电器，国防军工，船舶，铁道，石化，能源，科学研究等各个领域的广泛使用已使设计水平发生了质的飞跃，其主要表现在以下几个方面： 增加产品和工程的可靠性；在产品的设计阶段发现潜在的问题； 经过分析计算，采用优化设计方案，降低原材料成本 缩短产品投向市场的时间； 模拟试验方案，减少试验次数，从而减少试验经费。图1、图2和图3为有限元的实际应用实例。图1、眼球运动特征分析（很多视网膜手术后眼角膜会受到损伤，而为了更好地了解其原因，美国波士顿医学院利用有限元软件对眼球进行建模分析，给出了应力的分布特征，从而精确地了解眼球在运动过程中的受力情况）图2、轮胎在零气压条件下的最大主应力云图（对于汽车来说，良好膨胀性能的轮胎不但可以节省汽油的消耗，而且可以提高汽车的可操作性以及乘客的舒适性。现在一种新型的轮胎正被研究开发，这种轮胎可以在没有空气压力的情况下使汽车以正常的速度行驶一段有限的距离。为了更好地研究其性能，使用采用有限元分析软件对轮胎在行驶过程中的受力进行了详细的分析）图3 牙齿的受力分析过程（建立CAD模型，划分网格，求解出牙齿受力的应力分布） 有限元法的基本思想是将求解域空间离散成一系列的子空间，每个子空间称为单元，单元上有一定的节点。单元与单元之间通过单元上的节点来传递物理量（如力、热量、变形等）， 单元内部的物理量通过节点间的插值求出。根据胡克定律，可得出每个单元受力和变形的关系式，将这些关系式按一定的规则整合，可将整个空间上问题的求解化为P=Kd这一基本形式，P为结构的总刚度矩阵，d为结构节点的位移向量，P为结构节点的载荷向量。由于划分单元的个数有限，节点的数目也有限，故此方法称为有限元法。用有限元方法解决问题时采用的是物理模型的近似。这种方法概念清晰，通用性与灵活性兼备，能妥善处理各种复杂情况，只要改变单元的数目就可以使解的精确度改变，得到与真实情况无限接近的解。有限元法的求解步骤如下：(1)定义求解域： 根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。(2)求解域离散化： 结构离散是有限元法的基础，也就是将分析对象按一定的规则划分成有限个具有不同大小和形状单元体的集合，使相邻单元在节点处连接，单元之间的载荷也仅由节点来传递，这一步骤习惯上称为有限元网格划分。(3)单元推导： 在结构离散完成之后就可以对单元进行特性分析，建立各单元节点位移与节点力之间的关系，从而求出单元的刚度矩阵。(4)等效节点载荷计算。(5)总装求解。(6)联立方程组求解和结果解释。有限元法的理论基础可以追溯到变分法原理的提出。Bernoulli，Euler和Lagrange创立变分法，指出从变分原理可以推出Newton力学。以后Hamilton提出著名的Hamilton原理： 设T是体系的动能，D是体系的势能 L=T-D是体系的Lagrange函数，则从时刻t0到时刻t1的的真实运动使积分取最小值。热传导理论、电动力学、量子力学、广义相对论和量子场论都可以广泛应用这个原理。而有限元方法也是这个原理的产物。 到了二十个世纪，几何学发展了无穷维空间的几何，在这种新的几何里，将变分问题转换成为几何问题。以Riemann，Hilbert等人为工作为基础，Friedrichs(1901-1982)给出变分原理一个漂亮的理论，在这个理论发展的过程中，产生了Sobolev空间Sobolev空间的几何是一种以能量为长度的几何，这种几何成为研究偏微分方程和有限元方法的重要工具。Courant等数学家在研究使用差分的方法解决椭圆边值问题时，将差分和变分结合起来，将区域剖分为许多三角形，利用函数在在各三角形顶点的区数值在每个三角形上插出一个函数，试图用这样的方法构造坐标函数，从而于1943年构造出了Courant三角形，该方法是最早的有限元模型。但由于计算量太大，缺乏有效快速的计算工具，该方法未能得到推广。尽管Friedrichs，Sobolev、Ritz及Mikhlin等数学家的工作为有限元的数学理论做好了准备工作，随着后来电子计算机的设计与制造为有限元的实现提供了载体。但有限元方法的应用发展是由工程师们来完成的。从1955-1958年间，阿吉里斯(JHArgyris)等人研究复杂杆系结构，而进一步发展了结构分析的矩阵方法，在此基础上，他导出了平面应力状态下矩形板格的单元刚度矩阵。1956年特约(MJTurner)和克拉夫(BwClough)等将刚架位移法的思想推广应用于弹性平面体问题上，他们把平面连续体划分成若干三角形单元和矩形单元使连续体变成离散化面后对单元体，应用几何、物理及平衡三方面条件导出单元刚度矩阵方程，即单元结点力与单元结点位移问的矩阵关系式，再应用单元间位移的连续性条件和结点的平衡条件，建立结构的总刚度方程，即结构的结点位移和节点荷载间的矩阵关系式，然后，根据结构的位移边界条件来修改总刚度方程，由此方程求得到结构结点位移位，最后应用物理方程求出各单元的应力1960年克拉夫首次引入了“有限元法”这一名词，并发表了平面应力问题的有限元法论文在矩阵分析中，结构的构件都是一种自然型离散单元假设的单元位移模式是一种精确的位移函数，因而矩阵方法属于一种精确方法；而在有限元法中，把结构划分成有限个单元后，在单元上构造位移模式，一般来说，它是一种近似的位移函数，因此，有限元法是一种近似的数值分析方法，其分析过程所设计的网格划分，计算效率等问题都隶属于计算数学领域。从60年代开始，我国的冯康，黄鸿慈，Varga等数学家开始从数学方面研究有限元方法，这方面的研究越来越多，目前有限元的理论已经基本成熟。对于各种具体问题，其用到的典型的理论基础有协调元理论，非协调元理论等。协调元的思想可简述为如下数学问题：对于工程中的许多问题都可以简化为下述的极小化问题：求使，这里的V是一个适当的Sobolev空间。所谓协调元方法就是构造Sobelev空间V的有限维子空间