具有结构无关时变不确定性的新一类线性系统的二次可镇定性.doc

具有结构无关时变不确定性的新一类线性系统的二次可镇定性胡三清 王军自动化与计算机辅助工程系，香港新界沙田香港中文大学1998年10月12日初稿，2000年2月23日修改，2000年5月3日发表摘要：本文研究设计一个线性状态反馈控制镇定新一类型的单输入不确定性的线性动态系统 。在给定的压缩集系统矩阵中不确定性参数是时变和有界的。我们首先提供了一个概念称为“新标准系统”，其中一些输入要求负号不变和符号不变，并且每个输入在任意大的范围内独立变化，然后对于新一类的标准系统我们得到在一个充分必要条件下，对所有容许的不确定性变化系统可由线性控制实现二次镇定。主要结果的延伸见魏（电气电子工程师协会自动控制会刊，35（3），268-277,1992年）。爱思唯尔科技有限公司版权所有。关键词：二次可镇定性，NAS结构，单输入，时变，线性系统1 引言近年来，稳定一个不确定动态系统一直是一个非常活跃的研究领域。比方说，一般的线性矩阵不等式条件由Boyd,EI Ghaoui,Feron 和Balakrishnan（1994年）提出的和由张、胡、戴、京、张、魏等人提出的特殊几何结构。这篇文章中，我们研究参数是时变的和指定的有界紧致集的不确定性动态系统。我们使用一个二次的李雅普诺夫函数来建立一个闭环系统的稳定性，原则上，二次的镇定问题可以用Boyd提出的线性矩阵不等式条件解决，这也是一各可利用的有效算法。然而，这些条件需要检查指数中不确定参数的不等式，因此，线性矩阵不等式的数字结果不能够被处理除非这个问题的结构非常小。基于这个问题，有必要提出一些简便的方法去解决二次镇定问题。通常来说，二次镇定的方法有两类。在第一类方法中，在系统矩阵中的不确定性通常允许在充分小的范围内变化，因此被视为扰动（见Petersen和Hollot，1986年），一旦不确定性的数值超过指定范围，系统可能不再稳定。在第二类方法中，与之相反的是，系统矩阵可能会有一些任意大的变化条件。为了确保一个不确定性系统的鲁棒可镇定性，系统矩阵中的不确定性必须被限定在诸如“匹配条件”（见Pertersen，1988年），“通常匹配条件（见Thorp和Barmish，1981年）”和“容许置乱”结构（见Barmish，1982年）。这些都是充分条件。魏（1990年）指出所有的稳定性系统满足这些充分条件，属于一个被称这为所对称逐步结构特定几何类型的一些系统子集。由魏给出的推广的反对称逐步结构在多输入系统中作为充分条件。两种特殊几何类型在确保系统的鲁棒镇定中起至关重要的作用。此后，许多作者关注魏，并且引入新几何类型，如Tsujino提出的“普通AS结构”，Fujii和魏（1993年）作为一个必要条件；由杨张二人（1996年）提出的“强AS结构”和由胡（1997年）提出的“多输入AS结构”作为充分条件。这些特殊几何类型提供了方便的方法来解决二次镇定的问题。本文讨论第二类方法。2 预备知识考虑一个线性时变不确定系统(A(q(t),b(q(t)（或简写为不确定系统(A(q),b(q)）由状态方程描述为（1）其中x(t)Rn 是状态，u(t)R是控制，q(t)Rp是被限定在指定有界紧致集Q的不确定模型勒贝格可测集。在这个框架内，A() 和 b() 分别为nn矩阵和(n1)矩阵集合Q中的连续矩阵函数。因此，对于恒定的qQ, A(q)和 b(q) 是模型矩阵的结果。本文中，除非特别说明，我们假定A(q)和b(q)取决于q的不同的组成部分，即，我们有q=r:s，这里A()仅取决于r，b()仅取决于s。后来，为了简便记数，我们通常用 (或)来表示一个符号不变或负号不变的不确定项。注意 (或)在不同的项中不一定是相同的q函数。I或者In表示单位矩阵，实矩阵的范数是MTM的最大特征的平方根。min(max)也表示经运算所得的最小（最大）特征值。M(i:j)表示nn不确定矩阵的22子矩阵（或者当i=j时为11），这里M(q)由定义。其中，1 ijn.*项在任意矩阵中通常表示0或者不确定项。定义2.1 一个不确定系统(A(q),b(q)称为关于Q的二次可镇定（QS）如果存在一个nn正定对称矩阵P，一个正常数,和一个连续反馈控制律：，当u(0)=0满足以下条件，任给容许的不确定q()，由此得出以下结论 （2）对于全对偶测试法(x,t)Rn0,+). L(x,t)是李雅普诺夫导数的相关李雅普诺夫函数V(x)=xTPx。此外，(A(q),b(q)被称为是可通过线性控制来二次镇定（QSVLC）关于Q当u(x)=Kx,这里K是一个n 维常数列向量。定义2.2一个（n+1）（n+1）阶不确定矩阵，如果存在两个整数i*和j*满足0i*n，0j*n和1i* +j*n以致mii(q)(1ii* +j*)和mii+1(q)(i*+1in)是分别为各自无关的q的(包括常数函数)负号不变和符号不变函数称为新标准形式。本文中，由于篇幅原因，我们假定i*=0,除非特别声明，1j*n.我们在内部实验报告讨论其它情况。因此，例如当j*=2和n=4时，新标准形式如下表示：定义2.3一个不确定系统(A(q),b(q)被认为是在新标准下具有结构无关不确定形式如果它和方阵M（q）匹配定义为在新标准形式中和每一项mij(q)(除了mii(q)( 1ij*)和mii+1(q)( 1in)是零或者一个不确定在内独立变化，这里rij0可能会是任意大。评论2.4显然，新标准形式和魏（1990年）提出的标准形式不同。如果j*允许为零，新标准形式可能被看作为一个由魏（1990年）提出的定义2.2标准形式的延拓，这样以来，前者比后者更具有实际意义。引理2.5（见Barmish(1985年)的证明）。一个不确定系统(A(q),b(q)是二次镇定的等价于存在一个nn阶正定对称矩阵S使得xT(A(q)S+SAT(q)xv,up1 和 vk. 有。（3）如果 pk+2,jkn1 和 , 则对于所有的uv,jup1,jv,1vj,up1 这里 j1 有例3.2对于44阶矩阵（这里j*=2）所有可能的新反对称逐步回归结构如下：评论3.3（1）例3.2与由魏（1990年）提出的例2.8相比，我们容易地看出定义3.1不同于魏（1990年）的定义2.5。（2）如果j*=0，我们也可以看出定义3.1恰好和魏（1990年）提出的定义2.5相同，因此为一个更为普遍的情况。Ishida, Adachi 和Tokumaru（1981年）研究的不确定系统（无控制）的鲁棒镇定由零组成，正项和负项符号不变。在定义3.1中，我们易见一个不确定系统(A(q),b(q) 有新反对称逐步回归结构仅由零，*，正负符号不变的项组成。通过定义2.6，2.9和2.11与定义3.1相比较，我们发现一个重要的事实。事实3.4如果一个不确定系统(A(q),b(q)满足以下条件：M(q)作为在（3）中有新反对称逐步回归结构，则+(M(q),b+)，其中总可以由最简系统(A0(q),b0(q) 通过一系列的增广（上或下）得出，这里 (或者为)。此外，一旦我们采用一个第二类上增广（或第二类下增广）运算，我们不再采用第一类上增广（或下增广）运算。这个事实揭示了一个秘密：一个新反对称逐步回归结构仅由一系列的增广构成。事实3.4可以被看作选择新反对称逐步回归结构的定义和将会在证明定理3.9充分部分中起核心作用。下面，引理将会被用于证明定理3.9的必要性。引理3.5考虑一个自由系统(Ac,bc)，这里 和Ac=aijnn满足以下条件：aii=-1(i=1,j*),aii+1=1(i=1,n-1)和其它项全为零，0j*n。如果存在一个容许对（S,）对(Ac,bc)，则S中的一些项具有以下性质：（1）对于所有的i=1,n,有sii0和对于所有的i,j=1,n且ij,有siisjjs2ij；（2）如果存在一些i（1in-1）使得，则对任意的整数k满足和；（3）如果存在一些i（1in-1）使得，则对于任意的整数k满足和，这里r 为无穷大。引理3.6考虑一个不确定系统(Ac,bc)，这里 和Ac=aijnn满足以下条件：（1）aii=-1(i=1,j*),aii+1=1(i=1,n-1)；（2）存在一个不确定结构auv这里1vj和vun1（或者jv,pk+2,1kj,vk且up1,或者 uv,jvk+1,pk+2,jkn1 且jv,1vj,pk+2,j0，且由魏（1990年）提出的定理3.2，我们只需要考虑系统(A*(q),b*(q)是二次可镇定的，其中且A*(q)满足以下条件：（1）且，其中1jn；（2）是一个不确定结构且独立于akn+1；(3)除了和au1外，其它项全为零。下面，我们假定j*=n且根据三种情况考虑(A*(q),b*(q)。至于情况1j*n1,我们可以用类似的方法推导出相反的结论。情况1：u=n且1kn-1。引理3.8表明系统不能被二次镇定。情况2：2uk且2kn-1。因为au1是一个不确定结构，它依据引理3.6 这里，根据akp是一个不确定结构，它从引理3.7中导出，这里， 。注意引理3.5性能(2)和uk我们立即得到，这与矛盾。情况3:k+1un-1且1kn-2.它从引理2.5存在一个正定对称矩阵S使得xT(A(q)S+SAT(q)x0对所有对（x,q）NQ，其中x0，对一些 . 在证明引理4.12应用相同的方法，在魏（1990年）领域中一个等价条件对所有的qQ 且 y(0)Rn1有yT(S,q)yrnk+2skk，根据（5），引理3.5的性质（3）和un-2,我们立即得出：snnr2sn-1 n-1且snnrsnn-1(11)设akn+1=r，（9）式变为（12）然后，当r 足够大，结合snnr2sn-1 n-1，式（11）和（6）与（12），我们容易绘制(8/r)snnr2snn(13)如果r是足够大是一个相反必要条件。因此，snnrnk+2skk。从引理3.5（6）的性质（2）和snnrnk+2skk可以得出：（14）另一方面，从（6）和引理3.5的性质（2）我们有|s21|rn1s11。然后，当r足够大，结合（10），（5）和|s21|rN1s11与（14）式结果相反。证明情况2类似于证明情况1，因此略去，至此，证毕。评论3.10（1）从以上证明我们容易地知道引理3.5-3.7起关键作用。事实上，我们也可以对定理3.2（必要性）由魏（1990年）提出，通过应用引理3.5-3.7来证明。详细的证明此处略去。（2）当j*在定理3.9可能会是零，定理3.9是由魏（1990年）提出的定理3.2。因此，定理3.9延拓了魏（1990年）的定理3.2。（3）注意引理2.7，2.10和2.12以及定理3.9的证明，我们可以容易地对一个带有新反对称逐步回归结构不确定系统设计一个理想的线性控制器，过程此处略去。注意由魏（1990年）的推论3.3和3.4，此处我们同样略去相关结果。4.结论本文我们研究具有结构无关时变不确定性的新一类单输入线性系统的二次可镇定性。通过介绍一个概念“新标准类型”，我们推导出可通过线性控制来二次镇定的充要条件，判断一个系统可通过线性控制来实现二次镇定，我们仅需要检查系统矩阵是否为所有不确定项形成一个称之为新反对称逐步回归结构的一个特殊几何类型。我们的结果延拓了魏（1990年）的主要结果。致谢作者感谢副编辑和评审员的有深度的评论和Roberto Tempo 和杨广宏（音）教授的令人关注和有用的讨论。本研究得到了香港自然科学研究基金会授权GUHK4150/97E的支持。附录本附录中，可以找到证明Barmish(1983年)的定理3.1的一些相关的知识。引理2.7的证明（必要性）假设(A(q),b(q)是可通过线性控制实现二次镇定的，即存在一个线性稳定控制器u=Kx对(A(q),b(q)以及一个nn阶正定对称矩阵S使得（A.1）对所有qQ是负定对称矩阵。我们称（S,K）是(A(q),b(q)的一个期望对。我们的任务是对+(A+(q),b+(q)建立一个期望对（S+,K+）使得(A.2)对所有qQ是负定对称矩阵。分割S+与K+,分别为（A.3）其中，以及。选择，以及，这里r0选为充分大以便S+是正定对称矩阵且rKSKT。选择K1+=kn+1+K。然后计算。我们可以容易选择一个合适的k+n+1来确保对所有的qQ，是负定对称矩阵。从在证明由Barmish(1983年)的定理3.1以及负定矩阵中选取S,K，我们能够容易地证明引理2.7的充分性部分。为证明引理2.10，我们首先介绍以下引理。引理A.1考虑一个不确定系统(A(q),b(q)，其中A(q)=aijnn，以及，它的上增广系统+(A+(q),b+(q)定义如下：（A.4）则(A(q),b(q)是可通过线性控制实现二次镇定等价于+(A+(q),b+(q)可通过线性控制实现二次镇定。引理A.1的证明（必要性）假设(A(q),b(q)是可通过线性控制实现二次镇定，即存在一个期望对（S,K）使得（A.1）对所有的qQ是负定对称矩阵。现在我们的目标是选择一个期望对（S+,K+）来确保（A.2）对所有的qQ是负定对称矩阵。为实现此目标，我们分割S+和K+为(A.5)其中，以及。选择s+01=0，s+00=r0(来确保S+是正定对称矩阵)，s+11=S，k+0=1/r,以及K+1=K。计算。我们可以选取一个合适的r0来确保对所有的qQ，是负定对称矩阵。（充分性）假设+(A+(q),b+(q)是可通过线性控制实现二次镇定的，即存在一个期望对（S+,K+）如（A.5）来保证（A.2）对qQ是负定矩阵。选择S=s+11且K=K1+k0+s01+s11+1能够保证式（18）对qQ是负定矩阵。引理2.10的证明（必要性）假设(A(q),b(q)是可通过线性控制实现二次镇定。设考虑它的上增广系统(A1(q),b1(q)，其中从引理A.1中我们看出(A1(q),b1(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。从A1(q)中建立一个系统(A2(q),b2(q)，其中比较(A2(q),b2(q)与(A1(q),b1(q)，我们容易地发现(A1(q),b1(q)是一个定义2.6中的(A2(q),b2(q)的下增广运算。因此，它从引理2.7中得出(A2(q),b2(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。类似地，(A+(q),b+(q)是(A2(q),b2(q)的下增广运算。然后，从引理2.7中得出(A+(q),b+(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。（充分性）假设(A+(q),b+(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。注意an0在 A+(q)是一个结构独立的不确定项。设an0=0，从引理A.1中我们立即有(A(q),b(q) 是可通过线性控制实现二次镇定。下面引理对证明引理2.12有用。引理A.2考虑定义2.11中的不确定系统(A(q),b(q)和(A+(q),b+(q),这里an00。则(A(q),b(q) 是可通过线性控制实现二次镇定等价于(A+(q),b+(q)是可通过线性控制实现二次镇定。引理A.2的证明(必要性)重复引理A.1的（必要性）证明过程，我们容易地选择(A+(q),b+(q)的一个期望对（S+,K+）。例如，我们选择s+00=r30,s+11=S, ,且s+01与k+0满足以下条件：（1）当是正符号不变，且k0+=k1/r2；（2）当是负号不变，且k0+=-k1/r2，这里r是足够大。引理A.2的充分性证明类似于引理A.1下面，在证明引理3.5-3.8中，我们考虑j*=n。原因类似于0j*n引理3.5的证明回顾(S)=T(AcS+SAcT) 这里=In1 0T，(S)的项ij 为 .性质（1）立即得出S正定性。我们现在证明性质（2），假设，我们首先证明，相反的过程。假设，从，和性质（1）得出（A.6）的必要性导出（A.7）当r为足够大，从（A.6）和中得出（A.8）和（A.9）结合（A.7）-（A.9）量是一个相反结果当r 是足够大。然后，注意性质（1）我们有，当i2k1时，我们类似地有和 .证明性质（3）完全同上，为了简要起见，我们略去。引理3.6的证明简单估算(S,q)量，以及，从，我们有（A.10）回顾j*=n，则vu。相反的过程，假设则。基于v