西南大学A张天然税长江邓银川程为民.doc

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A题：中国人口增长预测 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 税长江 2. 邓银川 3. 程为民 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 张天然 日期： 2007 年 9月 23 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：中国人口增长与预测 摘 要人口问题一直以来都是我国关系国计民生的大问题。因此当前我们有必要对人口的变化情况作探讨，为的是合理利用我国的人力资源优势，促进国民经济的可持续发展。历史上有很多人口模型可以借鉴，通过观察我们发现，我国人口数据非常适合Leslie人口模型的应用。在确定模型相关参数：死亡率，生育率，出生性别比例过程中，我们模型。通过数据整理，分析了20012006年各类数据的特点，认为采用05年数据做代表，比数据拟合或求平均能更准确地估计今后的生育率和死亡率。其间我们讨论了常用数据处理方法拟合与求平均数两者的区别和各自的优缺点，得出简单的结论，然后我们通过Leslie人口模型分析短期人口变化情况，运用MATLAB编写程序计算出2006-2020年中短期城市、镇、乡各年龄段（0-90岁，90岁以上的也看作90岁）女性人口数。再根据给出的数据，确定男女人数比例，计算出对应年龄段的男性人数。最后将数据导入Matlab进行分析。我们统计出各项数据，得出中短期结论：我国人口总数在0620年中将持续增加，增长率在2010年达到最高，其后开始下降，2020年左右人口增长趋于平缓，预测出未来我国人口老龄化将会越来越严重，人口红利的有利影响不久将结束。而城镇人口百分比逐年上升，并近似以一条直线在上升。故我们采用线性方程进行拟合，得出城市人口百分比随着年份线性变化的函数。说明了我国城市化的顺利进行。然后，我们通过估计生育率的变化，改进了短期预测的参数，对于长期人口进行预测，再用新确立的变化参数运用到Leslie人口模型中，使用离散人口方程计算出2006-2050年的人口情况，得出长期预测：我国人口将在2020年出现平缓趋势，达到14.45亿左右，过后略有下降，2025年又继续上升，于2040年左右达到峰值14.85亿。关键词： Leslie模型 中短期、长期预测 人口老龄化 城镇化 人口年龄树 一 问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。二 问题假设1.假设不考虑生存空间等自然资源的制约，不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响；2.假设我国人口政策在较长时期内没有根本性变化；3.假设中短期内出生男女比例由于文化观念等影响没有显著变化4.假设将时间离散化，以1年为基本单位。5.假设存活率与生育率仅与年龄段有关。注：以上假设是模型讨论过程中的全局性假设，在以后的分步讨论中，我们可能引入新的局部性假设。三 全局符号说明: 第i个年龄组t年的女性人口总数。：ni(t)做成的列向量，N(t)=n0(t),n1(t), n90(t)。: 第i年龄组女性的女性生育率（在第i岁生女孩的妇女/第i岁妇女数）。： 女性死亡率。: 第i岁妇女生存率。: 由Leslie人口模型建立的N(t+1)与N(t)的关系矩阵。： 抽查总人数。：i年龄组妇女比例。：t年i年龄组妇女生育率。：出生女性与出生总人数的比例。： 开方分布密度函数。：t年i岁的男性人数。：表示i岁男性的生存率。；四 问题分析 在问题附件中详细给出了2001-2005年中详细的城，镇，乡各年龄段的男女的比例及其死亡率，年龄段妇女生育率，并告知了抽样总数，通过抽样总数与男女比例相乘，即可求出各年龄段的男女的人数，而知道了死亡率，就可以直接得到生存率，再加上生育率已知，这样就直接启发了我们对历史上与这三者有关的人口模型：Leslie人口模型的考察。Leslie人口模型建立的关键参数为：第i年龄组女性的女性生育率（在第i岁生女孩的妇女/第i岁妇女总数）,第i岁妇女生存率,以及第t年各年龄组妇女人数。显然到第年，所有还活着的年岁的妇女就会变成岁，即而这样就可以推测出未来人口信息。下面让我们来系统的建立模型。五 模型建立和求解（一）中国人口增长的中短期预测。模型假设：本模型先考虑女性人口的发展变化。假设女性最大年龄为90岁（将90岁以上的也看作90岁），将其等间隔划分成91个年龄段，即一岁为一个年龄段。每隔一年观 察一次，不考虑一年内人口数量的变化；记为第i个年龄组t次观察的女性人口总数，记第t年i年龄组女性生育率为（注：所谓女性生育率指生女率），女性死亡率为,记，由问题分析所得的结论，有 -（1）与-（2） i=0，1，2，389。于是可以写成矩阵形式：-（3）其中 而附件中给出的是t年i年龄组女性比例，我们记抽查总数为N，所以-（4）并且附件中给出的也只是t年i年龄组妇女生育率，如果我们知道了出生女性与出生总人数的比例G，则由假设，G为一恒定值，且 -（5）所以L转变为 所以由（4），（3）联立可得 -（6）对于各年龄段男性人数，由假设：“出生男女比例由于文化观念等影响没有显著变化”，所以各年龄段男性人数与成比例关系。至此，模型的建立基本完成，现在我们来讨论模型中参数G和死亡率，生育率的取值问题。关于拟合，求平均数的讨论 G， 的选择直接决定了模型的准确性，所以我们开始时讨论了两种方案：1.采用拟合前5年数据，得出关于不同年龄i确定后关于时间t的函数，再通过该函数求得在未来的大概值。2.直接求出前5年的平均数，将该平均数带入矩阵。 但是在实际操作过程中，对前5年的拟合（多项式）后（程序见附录一），计算出的0610的各年龄段死亡率不是高的吓人，就是为负值（程序见附录二），换了其他函数后也远未理想。在拟合中也出现了类似的问题，远离了实际情况。于是我们讨论了拟合与求平均的区别和各自的优缺点。拟合是用已知的数学关系去模拟现有原始数据，精确程度直接决定于选择的函数形式是否与数据本来的内在联系符合，数据量是否足够。然而原始数据仅有5个（第i岁的01-05），想要模拟出未来的五个数据（06-10）显然在数据量上没有保证。而且，我们观察发现01-05年各年龄段的死亡率几乎是随机的（虽然我们承认在长期来看，各年龄段的死亡率必然会降低，但这一特性并没有在前5年很好的反映出来）。如果把随机的数据看作“没有必然数学联系”的话，怎么用一种函数关系去拟合“没有关系”呢？比如说我们建立一种函数F（t），t=1，2，3，.而很难想象拟合后的数值的准确程度。求平均只是简单的操作，却很适合这种偶然性比较大的情况。所以，我们认为在数据量少，很难说有什么必然数学联系的情况下，推荐求平均。但是它的缺点也很明显：在数据有明显数学关系时精确度就不如拟合。尤其是通过有限数据，但存在着递增（递减）关系时，预测的未来数据精确度令人失望。其实，求平均的方法不也可以理解为用Y=d，d为常数的函数去拟合已制知数据吗？所以在只有少量数据时，偶然性大时，推荐采用求平均的方法。而有足够数据，数据间又隐含一定数学关系的，推荐采用拟合。然而，01-05年的是有一定数学关系的（用Excel作图发现，01，02，05年的有明显的下降趋势，04，03由于非典缘故异常），我国的生育率应该会随时间递减，但由于数据太少，很难拟合，所以我们决定采用05年的，因为它大体上是5组数据中最小，最符合趋势的。的变化更具随机性，不可能拟合，但长期来看，各年龄段的死亡率必然会降低，所以我们还是采用了可能最符合变化趋势的05年，同样的道理，G我们也选择了05年中最小的。五 模型求解L阵的建立。详见附录三。具体计算过程，序详见附录四。通过比例求出各地区，各年龄段的男性人数。 现在我们进行具体的数据分析，得出中短期预测结果1.全国人口总趋势由图一可以看出，在未来20年左右的时间内，中国人口仍然呈上升趋势，这与大家的认识一致。仔细观察还发现，06-16年间人口总数稳步上升，其后上升趋势有所缓解，即人口增长速度并非一成不变，而是有一定的变化。为了进一步描述这种人口增长速度，我们绘出全国人口增长速度图，如图二。图一图二从图二可以看出，人口上升速度总体呈递减趋势，到2018年后上升速度已经达到很小的水平。但其中在2010年人口上速度达到最高点，我们分析这是因为第三次人口高峰时期的人这时已达婚育年龄，从而导致人口剧增！2.全国人口男女性别比及其变化趋势。 由于在中短期内假设男女性别比是不变的，所以此处不对该问题进行研究。但在长期预测中将会有所预测。3.全国人口老龄化及其发展趋势接下来，我们分别绘制出2005年的全国人口年龄树（图三）和2020年的全国人口年龄树（图四）。树形图不但可以帮助我们分析人口老龄化问题，还可看出男女比例即人口增长趋势等问题。在此，我们将一并分析。观察图三，可以看出我国的人口树形属于老年型人口结构。中国已进入老龄型社会，与发达国家老年化进程相比，中国老年化速度快，规模大，将会对未来社会抚养比，消费结构及社会保障等造成不小的压力。在当前中国人口中，青壮年人口仍然占了绝对多数，表明中国目前的劳动力资源仍然十分丰富，劳动年龄人口比重大，为经济快速发展提供了强大的动力。因此，未来的一、二十年可以说是中国经济社会发展的人口红利期。从图三的人口年龄树来看，中国的劳动年龄人口将保持增长态势。从人口性别结构看，树形左侧“枝叶”比右侧茂盛，说明男女性别比大于1，如果一直保持如此态势，男性人口与女性人口数量的绝对差距会被逐渐拉大。从2005的人口年龄树形可发现，15-49岁的育龄妇女人数较多。由此，可推测，在2005-2020年期间，20-29岁生育旺盛期妇女数量将形成一个高峰。由于政府放宽生育政策，独生子女可以生两胎，随着独生子女陆续进入生育年龄，政府内生育水平将有所提高。如果上述两个因素共同作用，中国将迎来第四次出生人口高峰。图三再来观察图四，2020年中国老年人所占比例仍很高，但60岁前后的年龄人数很少，因此可推断，再过几年，中国老龄化程度将稍有缓解。目前的劳动力主体人群为40-60岁人群，再过几年，这部分人将步入老年，这样，中国社会经济发展的红利期将逐渐衰减。此外，还可明显从图中看到的是中国的三次出生人口高峰。图四图五图六图七图五、六、七分别给出了未来20年时间内中国城市、镇、农村老人所占百分比。老年人所占百分比年份城市镇乡村20063.699500382.1528427.88820120073.859585542.2437798021363052.3289678.3972920094.221566322.4357418.70975220104.423003382.5468889.0472720114.608302342.6542039.36807920124.84677952.7946949.78323820135.081625142.92321810.1782720145.355766643.06987610.5896320155.616532353.2183711.0152720165.852930153.34496411.3621420176.120950523.49257711.7449420186.348190213.60265712.0014720196.485362143.66161812.0752220206.656343253.73819212.19626图五、六、七反映了我国老年人占人口百分比的趋势是：无论在城市、镇，还是乡村，老年人所占百分比均呈总体上升趋势。这说明在未来20年内，中国老龄化问题将会加剧！4.中国人口乡村城镇化趋势预测。我们先对原始数据进行分析处理，绘出2001-2005年乡村人口与城镇总人口的百分比。由图六发现，该百分比正逐年递减。这说明中国人口城镇化逐年加剧！那么，如何对中国未来人口城镇化趋势进行估计呢？乡村人口的城镇化是由于乡村人口向城镇迁移引起的。于是，我们考虑这种迁移造成的乡村城镇化。我们从国际统计局获得1989-2005年中国城镇人口百分比，根据这些数据在Excel中进行绘图，得到图八。（程序见附录五）观察该图，发现城镇人口百分比逐年攀升，并近似一条直线。为了进一步说明这个预测，我们又在Matlab中绘图描述，得出图九（程序见附录六），可以得出和图八完全类似的结论。由此，我们用线性方程去拟合这个图像。记：year为年份； y为城镇人口百分比； 拟合出的函数为: y=1.1*year-2206.5.在一定误差范围内，理论上我们可以根据这个函数计算出任意一年城镇人口的百分比。图八图九（二）中国人口增长的长期预测Leslie人口模型的精确程度非常依赖参数的准确性，而假设：“存活率与生育率仅与年龄段有关。”显然不适合用于长期预测，因为计划生育政策的影响，我国的生育水平长期偏低，城市居民总和生育率不到1.0，城镇居民生育率仅为1.5左右，全国平均水平已接近发达国家水平，有负增长的危险。人口红利期过后，如果我国继续保持低生育水平，必将因严重老龄化背上沉重的经济负担，影响国民经济的发展。所以我们断定，在人口增长趋于稳定后，国家必将调整人口政策，鼓励生育，从而导致生育率的反弹。所以，在长期预测中，我们对模型进行如下改进：我们发现，对于确定的t，大致满足开方分布密度函数，我们作出城市05年与04年各年龄组生育率： 图十与大致满足的关系，K为一个常数，但考虑到不同年份，K的值应该不同（如图，04与05年明显有不同K值），所以不妨将其定为一个与t有关的函数，于是有，两头叠加即为-（7）由于在t为定值时是常数，所以有： -（8）而刚才已讨论过，为开方分布密度函数，所以有=1，所以上式最终变为： -（9）而为总和生育率。又原始数据知城市平均生育率，镇平均生育率，农村平均生育率分别如下：984.351254.361649.3375 在短期的针对乡村的数据运算中，由于我们假定06-20年间生育率不变，也就是说K(t)=1.646937, t=6,7,8,20，现在我们考虑2020年后乡村总和生育率开始变化，由于国家政策的影响，城、镇、乡总和生育率均开始升高，并且我们假设变化是呈线性的，2030年后再次变为常值函数，值为Z。例如乡的变化如图所示 ：图十一只要我们确定Z的值，就能够确定总和生育率在2015-2050年的变化规律。并在短期预测的基础上，按规律对15-50年的L矩阵进行修改，就可以一定程度上提高长期预测的精度。现在我们对Z进行实验。乡村人口最多，如果取定的Z值能够让乡村人口符合全国总人口变化的规律，那么这个Z值便能反映全国人口变化规律。现对附录七中的程序进行解释（此前相应的L矩阵已经建立）n06_50city=zeros(91,45);n06_50city(:,1)=L*n2005/100000*9368884;hang1=L(1,:); *%*保留L矩阵第一行for j=2:45if j=15n06_50city(:,j)=L/1000*n06_50city(:,j-1)*%*05-20年中，短期预测中总和生育率并无变化 elseif j=25 L(1,:)=hang1+hang1*(j-15)*m; *%*在(2020+j-15) 年，其总和生育率增加为2020年的（1+(j-15)*m）倍 n06_50city(:,j)=L/1000*n06_50city(:,j-1); end n06_50city(:,j)=L/1000*n06_50city(:,j-1);*到2030年总和生育率不再变化end通过多次实验我们确定了m的值为0.015时，更能符合全国人口的变化规律，故乡村的总和生育率上升到原来的1.15倍，约为1.8。所以Z的值就取1.8。同理可得， 将m代入程序计算，即得20052050年全国各年龄段女性人数，运用男女比例关系在Excel中稍加处理，即得20052050年全国总人数。详见附录八 图十二图十三六 模型的优点1.该模型能够分析年龄结构的具体形态，提高了人口规划的精准度，通过数学方法来定量计算各年龄人口，改善了以往模型对人口年龄结构研究仅限于粗线条定型分析的缺点。给政府决策部门提供更详细，更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。2.本模型着眼于更贴近实际的解决问题，兼顾求解的复杂程度，将确定性、随机性因素统一考虑，二者互为补充，相互印证。3.可拓展性强，由于本模型充分考虑了生育率和死亡率，因此，任意条件的改动都会灵敏的反应在模型中，从而影响数据结果。为人口预测和人口控制提供指南。七 模型不足与优化Leslie人口模型在处理各年龄段男性个数时，相当粗糙，只是简单的运用比例关系，显然这一关系并不能很好的适用于各个年龄段的男性。受Leslie人口模型L矩阵的启发，我们发现各年龄段男性人数有如下类似于女性的关系：（10）（11）表示t年i岁的男性人数；表示i岁男性的生存率；显然为i岁女性的男性生育率。令于是就有： （12） 所以只要知道任意的N(t),M(0),就可以用(12)计算出任意的M(t)，可以避免使用比例关系带来的误差。参考文献1宋健 人口预测和人口控制 人民出版社2韩嘉俊 社会统计知识大全 中国人民大学出版社3杨光辉 中国人口老龄化的发展趋势与特点 4姜启源 数学模型 高等教育出版社 附 录附录一：S2005=6.080.760.050.370.340.360.150.080.150.10.140.20.140.150.350.070.180.150.310.240.060.260.230.210.230.290.360.140.180.30.20.290.440.270.50.440.620.60.760.70.720.70.821.031.161.071.641.191.821.612.051.942.372.93.63.173.344.044.175.496.285.826.827.837.49.738.0711.3413.715.2316.116.7919.9723.721.6127.3632.9136.1540.742.8350.5154.2758.2965.9279.382.12104.3117.01111.96124.77269.87;S2004=0.60.950.950.900.23001.30.080.711.170.510.540000.210.090.501.1200.910.570.060.4500.720.190.130.5600.780.510.1601.381.10.661.031.350.090.071.413.191.692.450.571.661.81.223.94.495.561.721.094.935.198.135.624.289.3811.5410.258.154.4614.319.1118.0418.0417.2516.1214.075.7838.8941.3936.934.0838.3943.6634.9549.1180.5383.43108.62112.0489.6530.8853.53226.57;S2003=7.3101.17000.3100.65000.6000.410000.2200.0900.20.510.35000.850.60.050.8100.220.280.911.030.1901.820.491.40.271.941.541.071.751.881.860.391.682.21.360.942.362.91.344.912.095.087.274.812.751.856.819.316.719.120.269.2917.8315.9423.2222.9219.9124.4124.4432.4133.349.2937.841.2654.359.9263.9371.13140.0238.55192.7381.4141.52225.91252.6;S2002=12.530.870.340000.711.25000.1100.260.4300.4700.120000000.150.120.371.410.70.1300.990.030.180.820.610.971.320.710.471.131.150.281.091.52.691.861.952.662.312.141.041.444.582.23.312.574.792.843.582.416.36778.858.8510.3513.8518.3315.7117.8521.8817.424.2216.9846.5235.3550.6736.3135.8443.6350.8766.4274.6550.3623.5763.26125.67172.5182.81186.71;S2001=5.20.4700.5800.200.721.160000.2401.27000.110.571.190.260.0600.82000.620.820.041.1600.621.140.340.431.540.670.30.091.210.240.461.070.490.721.750.290.631.483.092.362.614.493.012.362.584.474.736.946.774.858.59.316.1412.919.9411.4320.0417.816.9618.6616.9522.0434.8541.4129.6341.4233.0239.9333.5266.7375.6380.3957.4648.19116.1668.63140.9992.78184.24337.85;Sdate=S2001,S2002,S2003,S2004,S2005;time=1:5;Fit=zeros(91,6);i=1;while i=91 Fit(i,:)=polyfit(time,Sdate(i,:),5); i=i+1;endSfit=zeros(91,5);for i=1:91 for j=6:10 Sfit(i,j-5)=polyval(Fit(i,:),j); endendScityend=Sdate,Sfit 附录二：Scityend = 1.0e+005 * Columns 1 through 8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0000 0.0001 0.0002 0.0001 -0.0011 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0002 -0.0010 -0.0032 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0009 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0004 -0.0012 0 0 0 0 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0000 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0003 0.0008 0 0.0000 0 0 0.0000 -0.0001 -0.0005 -0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0 0.0000 -0.0000 -0.0001 -0.0004 0.0000 0 0 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0006 -0.0016 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0001 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0 0 0 0.0000 0.0000 -0.0002 -0.0007 -0.0022 0.0000 0.0000 0 0.0000 0.0000 -0.0001 -0.0004 -0.0014 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 -0.0002 -0.0007 0.0000 0 0 0 0.0000 0.0001 0.0003 0.0011 0 0.0000 0 0 0.0000 -0.0001 -0.0003 -0.0011 0 0 0 0 0.0000 0.0000 0.0000 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-0.0004 -0.0022 -0.0070 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 -0.0005 -0.0027 -0.0084 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0005 0.0024 0.0075 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0003 0.0011 0.0033 0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0002 0.0001 0.0000 0.0001 0.0001 0.0000 0.0007 0.0039 0.0126 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 -0.0002 -0.0007 -0.0018 0.0000 0.0000 0.0000 0.0001 0.0001 -0.0001 -0.0005 -0.0014 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0001 -0.0004 -0.0025 -0.0083 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 -0.0002 -0.0012 -0.0036 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 -0.0001