西南大学A姚纯青谢习清宋飞达周韧.doc

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题. 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出. 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性. 如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理. 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 西南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 谢习清 2. 宋飞达 3. 周 韧 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 姚纯青 日期： 2007年9月 24 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：人口的分类预测模型摘 要目前，对人口问题的研究越来越受到重视，很多专家学者对其进行了深入的分析讨论以来预测未来人口发展的趋势. 在本论文里我们应用筛选法将题目所给的原始数据分别进行不同的处理，以满足建模需求，为了便于讨论，我们将我们的数学模型分为两部分，即对人口的中短期预测和对人口的长期预测. 在人口的中短期预测中利用Matlab的数据处理功能和强大的绘图功能进一步分析处理有效数据，并对之进行多项式拟合，采用数形结合的方法，再运用递推的思想得出了预测未来短期内人口数量的公式：在人口的长期预测，我们的主要思想是建立微分方程模型，使之来预测较长时间内的人口数，我们得出了每年人口净增长公式：接着我们对中国人口老龄化问题做了简明的分析. 最后对模型提出了一些改进的方法，使得模型有了完善的空间. 下图为我们的流程图：关键词：数据拟合 递归 微分方程 正态分布 问题重述人类进入21世纪以来，人口问题日益成为世界各国必须面对的一个核心问题，人口问题处理的好坏直接影响到一个国家政治的稳定，经济的发展和文化的繁荣等方面. 而我国由于上个世纪人口政策的失误，导致了我国成为了世界上人口基数最大的国家. 因此我们必须以更加严肃的态度来分析和预测未来人口发展的趋势. 目前国内已有许多专家学者深入地研究分析了此问题，在本题中给出了我国2001至2005年人口方面的各种信息（市镇乡的男性比例，女性比例，死亡率以及妇女生育率等相关数据），要求我们结合这些数据并考虑当前中国人口问题所出现的新特点（如老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素），建立数学模型来预测未来我国人口发展的趋势，并且分析模型的优缺点. 为了解决这个问题，我们分为两步：问题1：建立数学模型预测我国中短期的人口发展态势. 问题2：建立数学模型预测我国长期的人口发展态势. 问题假设：1、 题目中所给出的数据精度较高，能够真实地反映客观实际，即误差在很小范围内可以忽略不计. 2、 不考虑出现突发事件对人口数量造成大的影响，如自然灾害，战争等. 3、 本模型中只考虑出生率和死亡率对人口总数的影响以及城乡之间的迁入迁出，而不考虑国与国之间的迁入迁出. 4、 假设年龄大于等于60岁的为老年人. 5、 假设中短期预测的时间为5年内6、 假设长期预测的时间为30年内符号说明：1、代表某个时刻，即某一年2、代表年龄段3、代表着各年龄段的人口密度4、代表着育龄年龄段人口密度5、代表着全体年龄段人口密度6、代表着死亡率7、代表着男女性别比函数8、代表着总和生育率9、代表着人口总数10、，分别代表着人口的净增长数，以及出生率 11、代表着人口的比率12、代表着人口数13、代表着人口分布函数14、代表着城市迁向乡村的人口数量占总人口比例15、代表着乡村迁向城市人口的数量占总人口比例问题一：问题分析：在此问题中，我们仅对人口作出中短期的预测. 根据上面的假设，中短期时间为5年，由于时间比较短，因此，在本问题中时间不是我们考虑的主要因素，而重点在对2001至2005死亡人口总数和出生人口总数的分析，以得出每年得净增长人数，通过它来预测近年人口数. 首先，用EXCEL对原始数据进行分析、整理，提取出2001至2005死亡人口总数和出生人口总数. 其次，利用数学软件MATLAB 7.1对上述数据进行拟合，经过反复试验，得到比较理想的拟合图，然后根据图形对其进行分析，运用数形结合的思想，通过描绘图形在大体来预测近几年得人口趋势. 再次，多次通过MATLAB编程对数据进行拟合，得出曲线的对应参数函数式. 模型建立及求解图一我们利用数学软件MATLAB对用EXCEL筛选出的数据进行多项式拟合，为了验证我们拟合的准确性，我们先对05年的数据做拟合得到下列各图（程序详见附录一）. 我们尝试用四次多项式对城市男性的死亡率与各年龄段人口成绩拟和图，我们可以很直观的对其以及散点图作出对比，这种拟和效果是很好的（程序见附录二）. 图二图三图四图五图六从上面图一至图六我们可以看出在五年时间内死亡率的多项式拟合的变化不大，（拟合数据详见附录三）从而我们对中短期人口死亡率的预测就可以看成与年份无关，而仅与年龄有关，根据我们得到的拟合数据可以得到较为稳定的死亡率的拟合多项式： 市男性的多项式拟合为：镇男性的多项式拟合为：乡男性的多项式拟合为：市女性的多项式拟合为镇女性的多项式拟合为乡女性的多项式拟合为实际上我们可以利用一种递归的思想来简化对于人口增长的预测. 我们以04-05年的数据来对我们的这个递归模型加以说明：我们知道04年0岁的婴儿到了05年就成长为1岁，1岁的婴儿到了05年就长大为2岁，89岁的老人到了05年成长为90+岁的，而这种年龄的更迭过程，而实际上04年的第岁成长为05年的第岁，其中就要因为04年第年龄段的死亡率而减少人数，而我们对死亡率的分析已经比较到位，所以我们可以给出如下公式对具体的岁做出恰当的分析：这就是我们得出的递归公式. 我们利用上述公式对数据（程序见附录四）：为了证明我们的公式准确性，我们先对03-04年的数据作出验证（数据详见附录四），其中的误差为0.05%，已经十分精确，从而我们就可以预测出后5年的总人数20061.3433e+01020071.3521e+0102008 1.360e+0102009 1.3661e+0102010 1.3783e+010表一问题二：问题分析本问题中，我们主要解决人口的长期预测问题，这就必须考虑到时间的因素，我们还是根据题目提供的大量数据用EXCEL进行筛选以得出有效数据，在Malthus模型和Logistic模型的基础上加以推广，建立微分方程模型，并利用Mathematica 5软件对其求解，得出模型公式！模型建立及求解首先，长期预测的不可知度是我们必须要予以考虑的，而我们建立的微分方程模型则是在一种比较理想的环境下进行的，从而我们所要具体解决的问题就是如何利用现有的数据找出微分方程，并对其求解. 而我们已知的是要预测人口，最重要的还是找出出生率以及死亡率这两个最重要的指标与男女性别比，老龄化程度以及育龄妇女生育率等次要指标，我们就要借助人口密度这个最能反映具体情况的指标来建立微分方程. 同样的根据递归模型，我们可以知道在某时刻年龄在内的人到时刻的情况，他们中活着的那一部分的年龄又长了1岁，而我们将其抽象成一个微分模型就有在一个具体的年龄段内到时刻的情况. 减去去世的人群，就有他们之中活着的那部分人的年龄变为，其实这里我们显然有，而在这个时间段内死亡的人数为从而我们可以得到第一个偏微分方程：由微分方程的求初值方法，我们只要有时刻的数据、，我们就可以从此方程中确定出密度函数，进而我们可以求得人口分布函数，=. 但是我们都知道微分方程的求解过程还是比较复杂的，那么我们不妨根据实际情况来考虑它在特殊条件下的解. 在社会如今社会安定的局面下，死亡率是不会随时间发生大的变化的，那么我们自然可以近似的出. 这样我们就可以利用Matlab对偏微分方程进行求解：那么我们所需要的部分就是的部分，于是我们知道要求出函数，只要得到函数的函数表达式即可. 经过粗略的分析我们知道，影响着人口的出生率，人口净增长函数与在育龄年龄期的女性的人数以及女性的平均生育率有关，而我们已经可以看出在时刻育龄期的女性人数为，那么我们就有从而我们就可以根据具体的两种人口密度的出长期的人口增长率预测，并且随着时间的增长，将趋于0，即指当趋于0的时候，时刻就是达到中国人口峰值的阶段（参考文献1，第163页）. 由于是分为城市，镇以及乡三个部分，所以我们需要将三个部分分开讨论，而我们可以通过拟合计算妇女的生育率来确定人口分布密度（程序,数据详见附录五），而由下图我们可以看出妇女的生育率大致服从正态分布：图七我们就可以得出在2004年女性生育=由此思路我们来比较一下每年女性生育率，05年的女性生育率为=而由于03年的数据与其它各年的数据相差一个数量级，故我们依据附件二可知我们可以忽略03年的各年龄段出生率，而02年的=，01年的=于是我们可以逐步的来分析函数中各个相关的函数以及积分的上下限. 根据附件1我们知道与存在着如下关系. 而我们知道平均生育率可以用正态分布函数来很好的拟合，而这种拟合函数与的关系是实际上随着的增大，会趋向于一个稳定的值，从而对上述积分公式我们就可以得到=而育龄妇女的育龄区间为，依据题意我们可以给出=90. 对于人口性别比，我们根据图像可以分析出无论是城，镇还是乡，在1998年之后都呈一个上升的趋势（程序见附录六）：图八图九 图十由此我们就知道性别比发展的趋势就是男女性别比将会越来越失调，所以根据目前国家队性别失衡做出的努力，我们仍然可以将看作是一个随着时间趋于稳定的较小量. 而对于死亡率，我们也可以使用这种多项式拟合的方法解决未来的趋势问题. 接着考虑城乡之间的人口流动，即-的大小，我们知道在城乡结合越来越显著的未来，-也将趋于0（参考文献2）. 那么我们最后可以通过Mathematica计算出在时刻的增长率值. 我们将2011年至2029年的人口数量列表如下，而2029年就是中国人口的峰值期：2011到2030年人口预测表年份20111.383612365e+01020121.394625874e+01020131.4028 63211e+01020141.41 5698743e+01020151.424875785e+01020161.435896423 e+01020171.446829658 e+01020181.458612182e+01020191.463599626 e+01020201.476951252 e+01020211.486425824 e+01020221.493571535 e+01020231.499873154 e+01020241.502649652 e+01020251.509545445e+01020261.516745456 e+01020271.519542135 e+01020281.526974212 e+01020291.531365489 e+01020301.53149836 e+010表二最后我们再考虑老龄化问题：首先利用Excel分析筛选出2001至2005年，年龄大于60岁的人口数，再计算出年龄大于60岁的比例，得出有下表：年份市里年龄=60岁的比例镇里年龄=60岁的比例乡里年龄=60岁的比例200112.5210.2510.71200212.9610.6211.01200313.810.6711.29200413.1911.6412.19200512.3311.6913.69表三为了更加直观地分析，我们再Excel中做出其柱状图：图十一从图中我们可以明显清晰地看出从2001到2005年，年龄大于60岁的人口有每年都有所增加，我们初步分析可能是因为随着时代的进步，生活水平有了提高以及卫生医疗条件的改善，这就导致了老龄人口逐步增多. 模型的优点与缺点中短期人口模型的优点与缺点：在短期人口模型中，我们先利用多项式拟合得出拟合图和拟合多项式，数行结合加以分析，接着利用递归思想，可以根据上一年的数据直接递归出下一年的数据，这无疑是很好的，但是我们在拟合时，由于有效数据偏少，这就可能对拟合的准确性造成一定的影响. 长期人口模型的优点与缺点：在长期人口模型中，我们建立了微分方程模型，这种思想是借鉴了Malthus的指数增长模型和阻滞增长模型（Logistic模型），这是可取的，但是在求解方程时，我们根据大量资料作出了适当的简化处理，这必然会影响到我们的预测结果，在改进模型时，可以作另外的简化或者采用其他可行的方式处理，所得的数据会更加精确！参考文献：1 姜启源 谢金星 叶 俊，数学模型（第三版），京：高等教育出版社，2003.82 赵 静 但 琦，数学建模于数学试验（第二版），京：高等教育出版社，2003.6附录：附录一：x=0:1:90;y=2.9348;0.3864;0.2378;0.252;0.098;0.1173;0.1392;0.2703;0.159;0.2464;0.108;0.1102;0.1952;0.0806;0.234;0.5325;0.2133;0.304;0.4224;0.3619;0.4071;0.2967;0.4745;0.3612;0.5168;0.2482;0.2844;0.6715;0.5776;0.6468;0.6264;0.6674;0.83;1.1232;1.1664;1.1615;1.248;1.332;1.1088;1.5264;1.9055;1.5392;2.7136;2.1294;1.3992;1.9383;2.0601;2.4332;3.4085;3.18;3.384;3.0099;2.8221;3.5632;3.2155;3.248;3.0184;3.0926;3.358;3.612;3.3696;3.6432;4.1888;4.4404;4.1545;5.3516;5.256;6.3129;6.3584;7.1052;7.665;7.0119;8.1144;7.5394;8.4231;8.9586;6.9552;7.2752;8.0327;6.3602;6.697;5.996;5.4201;5.6724;5.4345;4.3412;4.0857;2.4274;3.4894;2.1186;8.6763;scatter(x,y);hold onp=polyfit(x,y,4);xi=0:1:90;yi=polyval(p,xi);plot(xi,yi);title(2005城市死亡率散点图分析)附录二：x=0:1:90;y1=1.5222;0;0;0;0.798;0;0;0.2944;0;0.108;0.5328;0;0.2772;1.2054;1.0185;1.0767;0;0;0.7134;0;0.1144;0;0.2537;0;0;0.066;0.4757;0;1.5385;0;0.4539;2.0256;0;1.0395;0.3078;0;0.6148;0.6952;0.966;1.848;1.9436;1.7097;4.4988;2.597;2.3606;0.4704;2.8728;0.752;2.7156;3.078;3.3696;3.3388;2.4486;1.38;4.8384;7.284;4.0272;4.2723;3.8352;5.14;1.492;3.6365;5.9533;5.1552;4.2735;4.2196;5.6991;5.76;5.8087;12.796;7.6175;10.7576;10.7664;8.7486;7.0356;4.9068;8.5323;7.0588;2.215;4.7907;3.3111;4.5304;49.4431;10.4862;1.2348;8.0012;4.5522;1.5472;4.032;1.3591;5.6151;p1=polyfit(x,y1,3)x1i=0:1:90;y1i=polyval(p1,x1i);plot(x1i,y1i,b);hold 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ony3=10.7856;0.4896;0.6018;0.6649;1.0496;0.416;0.2627;0.3621;0.495;0.574;0.6552;0.3367;0.1455;0.3672;1.1094;1.21;1.1984;0.9646;0.5963;1.05;0.726;0.6954;0.9112;0.5166;0.7869;1.5145;1.1457;0.6527;1.2212;1.393;2.3772;1.5662;1.4151;1.9872;2.31;1.5717;1.8511;1.122;3.1086;3.553;1.8928;3.737;2.5596;1.5566;1.728;1.3923;2.2168;3.6024;3.794;4.5372;4.7502;5.0197;6.6576;4.1792;5.6059;5.6852;4.2718;4.77;9.96;6.4008;7.02;7.8273;7.5258;8.5044;7.9452;6.1132;8.4388;7.7121;9.776;9.4018;12.561;11.0628;10.4856;12.2298;14.2494;12.2723;10.2731;10.428;12.6009;11.5742;10.7041;11.0352;6.966;7.4472;11.1865;4.8426;3.5517;3.1582;5.1436;2.8266;12.6744;p3=polyfit(x,y3,3)x3i=0:1:90;y3i=polyval(p3,x3i);plot(x3i,y3i,b);x=0:1:90;y4=0.246;0.285;0.3325;0.342;0;0.0897;0;0;0.598;0.0368;0.3621;0.585;0.2754;0.3024;0;0;0;0.1869;0.0675;0.315;0;0.7504;0;0.6825;0.4047;0.0492;0.3735;0;0.6336;0.1672;0.1261;0.5544;0;0.8268;0.5865;0.1696;0;1.1316;1.034;0.6402;1.1124;1.701;0.081;0.0399;1.0434;2.1373;1.4196;2.205;0.4731;1.4276;1.62;0.9638;2.964;2.8287;3.5028;1.1352;0.5668;2.5636;2.5431;3.4959;2.4728;1.7548;3.9396;4.616;4.305;3.097;1.8286;5.1516;3.4618;6.314;6.1336;5.3475;4.1912;3.0954;1.3872;7.0002;7.0363;5.535;5.112;4.6068;5.6758;3.495;3.9288;5.6371;5.0058;5.431;5.602;2.6895;0.6176;1.0706;13.5942;p4=polyfit(x,y4,3)x4i=0:1:90;y4i=polyval(p4,x4i);plot(x4i,y4i,g);hold ony5=1.932;0;0.7602;0;0;0;0.517;0;0;0.1037;0.2898;0;1.027;0.4189;0;0;0.099;0;0;0;0;0;0.8001;0.5208;0;0;0;0;1.4355;0;1.4896;0.288;0;0;0;1.9879;1.0502;0.7426;1.0908;1.1235;3.5722;3.0627;0;0.6996;2.6448;2.3244;2.7648;1.5633;0;0.5986;3.0888;0.3053;2.0355;1.0304;1.8709;4.3732;2.7683;0.8695;2.6058;1.0608;5.8254;3.3264;1.0659;3.2576;2.0978;3.555;5.865;3.8135;2.7244;3.084;3.7576;8.4504;9.6432;9.9225;13.288;6.714;5.187;5.4249;8.4516;8.0639;6.8952;1.672;4.6568;3.6728;4.0825;2.8026;4.111;3.1608;4.1844;2.914;15.2631;p5=polyfit(x,y5,3)x5i=0:1:90;y5i=polyval(p5,x5i);plot(x5i,y5i,g);hold ony6=11.0055;1.0752;1.22;0.783;0.0424;0.0896;0.7686;0.714;0;0.6768;0.187;0.4838;0.549;1.1385;0.3663;0.3978;0.3638;0.4816;0.7455;0.736;0.3528;0.9447;0.4752;1.4405;0.8004;1.1109;0.372;1.141;0.3796;0.96;1.0455;0.6806;0.684;1.7523;0.8645;2.1528;0.9435;1.4006;1.314;1.5041;2.4276;1.8012;0.3999;0.9996;0.9614;1.8963;1.7621;1.6896;2.2304;3.5577;2.233;1.352;2.1392;3.025;2.6676;1.9012;2.9656;3.6162;3.2253;2.3436;3.3972;1.7193;4.6138;3.131;3.8338;6.5568;5.94;6.4288;6.5395;6.7365;8.277;7.7533;7.9603;10.7318;7.2505;9.004;6.232;7.4718;10.6988;8.9976;9.5268;9.0027;8.0658;9.6551;7.1034;5.05;5.3556;2.0955;4.3422;3.0862;18.6534;p6=polyfit(x,y6,3)x6i=0:1:90;y6i=polyval(p6,x6i);plot(x6i,y6i,g);legend(男,女);title(2004年城镇乡死亡率拟合图);附录三：04年拟合数据：p1 = -0.0001 0.0092 -0.2697 1.7945p2 = -0.0001 0.0093 -0.2572 1.5593p3 = -0.0001 0.0157 -0.4766 4.0049p4 = -0.0000 0.0036 -0.1019 0.7309p5 = -0.0000 0.0046 -0.1374 1.0525p6 = -0.0000 0.0079 -0.2879 3.128403年拟合数据：p1 = -0.0001 0.0098 -0.2660 1.5690p2 = -0.0001 0.0101 -0.3044 2.5723p3 = -0.0001 0.0161 -0.5119 4.5798p4 = -0.0000 0.0035 -0.1178 0.9644p5 = -0.0000 0.0039 -0.1471 1.7870p6 = -0.0000 0.0079 -0.2879 3.128402年拟合数据：p1 = -0.0001 0.0122 -0.3673 2.6434p2 = -0.0001 0.0132 -0.3817 2.7344p3 = -0.0001 0.0196 -0.6189 5.3940p4 = -0.0000 0.0051 -0.1714 1.4680p5 = -0.0000 0.0061 -0.2070 1.6969p6 = -0.0001 0.0095 -0.3388 3.497001年拟合数据：p1 = -0.0001 0.0109 -0.3125 2.2934p2 = -0.0001 0.0120 -0.3492 2.7539p3 = -0.0001 0.0170 -0.5467 5.0454p4 = -0.0000 0.0035 -0.1151 0.9790p5 = -0.0000 0.0044 -0.1523 1.6550p6 = -0.0001 0.0125 -0.4575 4.6626附录四：p(1)=163660;y=0.4;0.39;0.4;0.44;0.43;0.49;0.48;0.5;0.54;0.54;0.58;0.55;0.57;0.7;0.75;0.75;0.78;0.75;0.68;0.62;0.65;0.76;0.67;0.65;0.71;0.75;0.71;0.8;0.77;0.84;0.97;0.98;1.03;1.12;1.03;1.11;0.81;0.93;0.99;1.09;1.38;0.96;0.64;0.86;0.74;0.9;0.94;0.85;0.87;0.83;0.76;0.73;0.65;0.64;0.62;0.5;0.51;0.44;0.41;0.38;0.38;0.4;0.42;0.41;0.36;0.41;0.39;0.39;0.37;0.36;0.37;0.31;0.28;0.27;0.22;0.22;0.18;0.15;0.14;0.12;0.11;0.09;0.07;0.05;0.04;0.03;0.03;0.02;0.02;0.01;0.04;for i=1:90 p(i+1)=(1000-(0.0013*i3-0.1292*i2+3.4277*i-17.4994)*y(i)/1000;endp 由上述的程序我们可以对04年男性人口比例作出预测：Columns 1 through 6 0.4767 0.3539 0.4235 0.4325 0.4816 0.4406 Columns 7 through 12 0.5197 0.5188 0.5379 0.5372 0.5763 0.5559 Columns 13 through 18 0.5753 0.5948 0.7332 0.7527 0.7822 0.8020 Columns 19 through 24 0.7228 0.5941 0.5547 0.5945 0.7434 0.6743 Columns 25 through 30 0.6152 0.6851 0.7154 0.6662 0.8060 0.7768 Columns 31 through 36 0.8870 0.9875 1.0083 1.0392 1.1201 1.0409 Columns 3