《级教学计划》word版.doc

周次 教 学 内 容 教 材 重点 难点第一周 什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：l，2，3，4，5，6，7，8，9，1，3，5，7，9，11，13.这个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列.其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示例 找出下面的数列的规律并填空.1，1，2，3，5，8，13，55，89.解：这叫兔子数列，从第三个数起，每个数都是它前面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21，13+21=34.例3 找出下面数列的生成规律并填空.1，2，4，8，16，128，256.解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2倍.162=32，322=64，所以空处依次填： 认识等差,等比数列,和兔子数列,根据数列之间的关系找出规律，推断出所要填的数字。第二周 在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出发，继续研究数列的规律性。例 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺的数字.分析与解答 这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外），因此，第5行中的括号内填20，第6行中的括号内填 24。例 将自然数中的偶数2，4，6，8，10按下表排成5列，问2000出现在哪一列？分析与解答方法1：考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组，每组8个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察2000是第几组中的第几个数就可以了，因为2000是自然数中的第1000个偶数，而10008125，即2000是第125组中的最后一个数，所以，2000位于数表中的第250行的A列。 学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法.一道题做完了，我们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要考察的问题是什么这样学习才能举一反三，不断进步。第三周乘法中的巧算1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的等式：52=10 254=1001258=10002.分解因数，凑整先乘。3.应用乘法分配律。4.几种特殊因数的巧算。一个数10，数后添0；一个数100，数后添00；一个数1000，数后添000；以此类推。一个数9，数后添0，再减此数；一个数99，数后添00，再减此数；一个数999，数后添000，再减此数； 以此类推。5.一个偶数乘以5，可以除以2添上0。6.一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。如 222211244427.一个偶数乘以15，“加半添0”.2415（24+12）10360掌握常见的简便运算的运算律，并熟练运用运算律进行简便运算。计算乘法时记住几个关键的口诀。两位数，三位数乘以11，可采用两头一拉中间相加的办法。一个数与15相乘时候口诀：它本身加上它的一半括号乘以10. 第四周简单的推理：例 有三只盒子，甲盒装了两个1克的砝码；乙盒装了两个2克的砝码；丙盒装了一个1克、一个2克的砝码.每只盒子外面所贴的标明砝码重量的标签都是错的.聪明的小明只从一只盒子里取出一个砝码，放到天平上称了一下，就把所有标签都改正过来了.你知道这是为什么吗？分析 解决本题的关键是确定打开哪只盒子：若打开标有“两个1克砝码”的盒子，则该盒的真实内容是“两个2克砝码”或“一个1克砝码，一个2克砝码”，当取出的是2克砝码时，就无法对其内容作出准确的判断.同样，打开标有“两个2克砝码”的盒子时，也会出现类似的情况.所以，应打开标有“一个1克砝码，一个2克砝码”的盒子.而它的真实内容应该是“两个1克砝码”或“两个2克砝码”。例 在一个俱乐部里，有老实人和骗子两类成员，老实人永远说真话，骗子永远说假话.一次我们和俱乐部的四个成员谈天，我们便问他们：“你们是什么人，是老实人？还是骗子？”这四个人的回答如下：第一个人说：“我们四个人全都是骗子.”第二个人说：“我们当中只有一个人是骗子.”第三个人说：“我们四个人中有两个人是骗子.”第四个人说：“我是老实人.”请判断一下，第四个人是老实人吗？解：四个人当中一定有老实人.因为如果四个人都是骗子，则谁也不会说“我们四个人全都是骗子”.所以第一个人为骗子。第二个人为骗子.因为如果他是老实人，说实话，由于我们已经判断了第一个人是骗子，则第二、三、四个人都是老实人.但第三个人的回答与他矛盾，两人不可能是同类的，故第二个人说的是假话，他是骗子。下面再看第三个人的回答：如果第三个人是编子，则由可知，第四个人一定是老实人；若第三个人是老实人，那么由他的话知他和第四个人是老实人.因而无论第三个人是骗子还是老实人，都可以推出第四个人是老实人。解答推理问题要从许多条件中找到关键条件作为推理的突破口。推理应有调理的进行，要充分利用已经得出的结论，将其作为进一步推理的依据。第五周算式之谜例1 在下面算式的空格中，各填入一个合适的数字，使算式成立.分析 这是一个三位数加上一个四位数，其和为五位数，因此和的首位数字为1，进一步分析，由于百位最多向千位进1，所以第二个加数的千位数例2 在下面算式的空格内各填入一个合适的数字，使算式成立。分析 这是一个四位数加上一个四位数，其和仍为四位数.先从个位入手，例3 用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已写出三个数字，请把这个算式补齐.分析 由于三位数加三位数，其和为四位数，所以和的首位数字为1，第一个加数的百位数字为9或7。如果第一个加数的百位数字为9，则和的百位数字为1或2，而1和2都已用过，所以第一个加数的百位数字不为9。如果第一个加数的百位数字为7，则和的百位数字必为0，且十位必向百位进1.现在还剩下9，6，5，3这四个数字，这里只有一个偶数，如果放在第二个加数（或和）的个位，那么和（或第二个加数）的个位也必为偶。在这一讲中介绍填算式的未知数的方法.我们将根据算式中给定的运算关系或数量关系，利用运算法则和推理的方法把待定的数字确定出来.研究和解决这一类问题对学生观察能力、分析和解决问题的能力，以及联想、试探、归纳等思维能力的培养有重要的作用。第六周数字之谜例 下面的算式中不同的汉字表示不同的数字，相同的汉字表示相同的数字.如果巧+解+数+字+谜=30，那么“巧解数字谜”所代表的五位数是多少？分析 观察算式的个位，由于谜+谜+谜+谜+谜和的个位还是“谜”，所以“谜”0或5。 若“谜”=0，则巧+解+数+字=30，因为9+876=30，那么“巧”、“解”、“数”、“字”这四个汉字必是9、8、7、6这四个数字.而十位上，9999=36，36的个位不为9，8+8+88=32，32的个位不为8，7777=28，28的个位不为7，6666+=24，24的个位不为6，因而得出“字”9、8、7、6，矛盾，因此“谜”0。 若“谜”=5，则巧+解+数+字=25.观察这个算式的十位，由于字+字+字+字+2和的个位还是“字”，所以“字”=6，则巧+解+数=19.再看算式的百位，由于数+数+数+2和的个位还是“数”，因而“数”=4或9，若“数”=4，则“解”9.因而“巧”=19-4-96，“赛”=5，与“谜”=5重复，因此“数”4，所以“数”=9，则“巧”+“解”10.最后看算式的千位，由于“解”+ “解”+2和的个位还是“解”，所以“解”8，则“巧”=2，因此“赛”1.问题得解。数字谜是一种有趣的数学问题.它的特点是给出运算式子，但式中某些数字是用字母或汉字来代表的，要求我们进行恰当的判断和推理，从而确定这些字母或汉字所代表的数字.这一讲我们主要研究加、减法的数字谜。第七周统筹问题，能同时做得事，尽量同时做，这就是统筹的思想。例 妈妈让小明给客人烧水沏茶洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟小明估算了一下，完成这些工作要20分钟为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？分析 本题取自华罗庚教授1965年发表的统筹方法平话烧水沏茶的情况是：开水要烧，水壶要洗，茶壶茶杯要洗，茶叶要取怎样安排工作程序最省时间呢？ 办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上，在等待水开的时候，洗茶杯，拿茶叶，等水开了，沏茶喝办法乙：先做好一切准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶，灌水烧水，坐等水开了沏茶喝办法丙：洗开水壶，灌上凉水，放在火上坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，沏茶喝谁都能一眼看出第一种办法好，因为后两种办法都“窝了工”开水壶不洗，不能烧开水，固为洗开水壶是烧开水的先决条件，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能沏茶，因而这些又是沏茶的先决条件例 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟如果只有一个水龙头，试问怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水时间的总和最小？并求出最小值分析 5个人排队一共有54321=120种顺序，把所有情形的时间总和都计算出来，就太繁琐了凭直觉，应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些考虑用“逐步调整”法来严格求解解：首先证明要使所费总时间最省，应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益因此，最优化问题成为现代应用数学的一个重要研究对象。第八周填算符，就是指在一些数之间的适当地方填上适当的运算符号（包括括号），从而使这些数和运算符号构成的算式成为一个等式。在填算符的问题中，所填的算符包括+、-、（）、。例1 在下面算式适当的地方添上加号，使算式成立。8 8 8 8 8 8 8 8=1000分析 要在八个8之间只添加号，使和为1000，可先考虑在加数中凑出一个较接近1000的数，它可以是888，而88888=976，此时，用去了五个8，剩下的三个8应凑成1000-97624，这只要三者相加就行了。例2 在下列算式中合适的地方添上+、-、，使等式成立。 9 8 7 6 5 4 3 2 1=1993 1 2 3 4 5 6 7 8 9=1993分析 本题的特点是所给的数字比较多，而得数比较大，这种题目一般用凑数法来做，在本题中应注意可使用的运算符号只有+、-、。中，6543=1962，与结果1993比较接近，而1993-1962=31，所以，如果能用9 8 7 2 1凑出31即可，而最后两个数合在一起是21，那么只需用9 8 7凑出10，显然，9+8-7=10，就有：98-76543+21=1993中，与1993比较接近的是3456=2070.它比1993大77，现在，剩下的数是1 2 7 8 9，如果把7、8写在一起，成为78，则无论怎样，前面的1、2和最后的9都不能凑成1.注意到89=72，而7+89=79，12=2，79-2=77.所以这个问题可以如下解决：12+3456-7-89=1993。解决这类问题常用两种基本方法：一是凑数法，二是逆推法，有时两种方法并用。凑数法是根据所给的数，凑出一个与结果比较接近的数，然后，对算式中剩下的数字作适当的增加或减少，从而使等式成立。逆推法常是从算式的最后一个数字开始，逐步向前推想，从而得到等式。第九周和差变化规律和差的变化规律见下表一个加数另一个加数和+m不变+m不变+m+m+m-m不变被减数减数差+m不变+m不变+mm+m+m不变和差的变化规律1、两个数相加，一个加数减少10，另一个加数增加10，和是否会起变化？2、两个数相加，一个加数增加15，另一个加数减少15，和是否起变化？3、两个数相加，一个加数增加6，另一个加数也增加6，和起什么变化？4、两个数相加，一个加数增加12，另一个加数减少2，和起什么变化？5，两个数相加，如果一个加数增加9，要使和增加17，另一个加数应有什么变化？6，两个数相加，如果一个加数增加11，要使和减少11，另一个加数应有什么变化？7，两个数相加，如果一个加数减少16，要使和减少9，另一个加数应有什么变化？8，两数相减，如果被减数增加30，减数也增加30，差是否会起变化？9，两数相减，如果被减数增加23，减数减少23，差是起什么变化？10，两数相减，如果被减数减少18，减数增加18，差会起什么变化？11，两数相减，被减数减少12，要使差增加8，减数应有什么变化？12，两数相减，被减数减少36，要使差减少40，减数应有什么变化？13，两数相减，被减数增加10，要使差减少15，被减数应有什么变化？ 如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的差不变。用字母表示：a- b= c（a+ m）-（b+ m）= c或（a- m）-（b- m）= c第十周【积的变化规律】（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果ab=c，那么（an）b=cn，（an）b=cn。（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是如果ab=c，那么（an）（bn）=c，或（an）（bn）=c。【商或余数的变化规律】（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是如果ab=q，那么（an）b=qn，（an）b=qn。（2）如果除数扩大（或缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而缩小（或扩大）同样的倍数。用字母表达，就是如果ab=q，那么a（bn）=qn，a（bn）=qn。（3）被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，那么它们的商不变。用字母表达，就是如果ab=q，那么（an）（bn）=q，（an）（bn）=q。（4）在有余数的除法中，如果被除数和除数都扩大（或都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不变，但余数却会跟着扩大（或缩小）同样的倍数。这一变化规律用字母表示，就是如果ab=q（余r），那么（an）（bn）=q（余rn），（an）（bn）=q（余rn）。 使学生结合具体情境，通过计算、观察、比较，发现商随除数（或被除数）变化而变化的规律，并在此基础上放手探讨商不变的规律。2、培养学生初步的抽象概括能力和用数学语言表达数学结论的能力。3、使学生体会数学来自生活实际的需要，进一步产生对数学的好奇心与兴趣。第十一周错中求解：这周我们就来讨论怎么利用错误的答案求出正确的结论。例 小伟在计算两个数相加时，把第一个加数百位上的7错写成1，把第二个加数十位上的6错写成9，这样算得的和是443。正确的和应是多少？【解析】：一个数百位上是几，就表示几个百，十位是几就表示几个十。第一个加数百位上的7错写成1，这个数就比原来减少了600；第二个加数十位上6错写出9，这个数就比原来增加了30。在加法算式中，和随着每个加数的增加而增加、减少而减少。所以现在的和443就是原来的和先减少了600，再增加了30得到的。解法一：通过两次倒推还原，得到原来的和为：443-30+600=1013。解法二：先减少600，再增加30，总算就是减少了：600-30=570。所以，原来的和为：443+570=1013。例 小明在计算除法时，把除数540末尾的“0”漏写了，结果得到商是60，正确的商应该是多少？【解析】：把除数540末尾的“0”漏写了，就是除数缩小了10倍。除法计算中，被除数不变，除数缩小几倍，商会扩大相同的倍数。所以现在的商60比原来的商扩大了10倍。原来的商为：6010=6。【题目】：小刚同学把算式（58+）45，错算成58+45，他算出的结果与正确得数相差多少？【题目】：小毛在计算有余数的除法时，把被除数146错写成196，这样商比原来多3，余数多2。那么这个题目的除数和余数各是多少？在进行四则运算时，不能抄错题目，不能漏掉数字。计算时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误。解答这类应用题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手，分析错误的原因，最后利用和差的变化规律求出加数或被减数、减数，利用积商的变化规律求出因数或被除数、除数。第十二周简单列举：例 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？分析 某人买饭要分两步完成，即先买一种主食，再买一种副食（或先买副食后买主食）其中，买主食有3种不同的方法，买副食有5种不同的方法故可以由乘法原理解决解：由乘法原理，主食和副食各买一种共有35=15种不同的方法补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；每个步骤各有若干种不同的方法来完成这样的问题就可以使用乘法原理解决问题例书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？分析 要做的事情是从外语、语文书中各取一本完成它要分两步：即先取一本外语书（有6种取法），再取一本语文书（有4种取法）(或先取语文书，再取外语书）所以，用乘法原理解决解：从架上各取一本共有64=24种不同的取法例王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？分析 三人报名参加比赛，彼此互不影响独立报名所以可以看成是分三步完成，即一个人一个人地去报名首先，王英去报名，可报4个项目中的一项，有4种不同的报名方法其次，赵明去报名，也有4种不同的报名方法同样，李刚也有4种不同的报名方法满足乘法原理的条件，可由乘法原理解决解：由乘法原理，报名的结果共有444=64种不同的情形最后一步得出乘法原理如果一件事情有几个必不可少的步骤而每个步骤又有若干种不同的方法那么完成这件事情的方法总数等于每个步骤的方法种数的乘积第十三周和倍问题例 甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析 设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：解：乙班：160（3+1）=40（本）甲班：403=120（本）或 160-40=120（本）答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。例光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。解：女生人数：（76040）（31）=200（人）男生人数：2003-40=560（人）或760-200=560（人）答：男生有560人，女生有200人。验算：560200=760（人）（560+40）200=3（倍）。和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。第十四周植树问题：植树问题可分为线上植树和面上植树两种线上植树问题通常是已知路长、株距、株数中的两个量而要求第三个量，它又有如下两种情况：（一）在不封闭路线上植树(1)在不封闭路线上植树，如果两端都植树，那么：路长=株距(株数-1)；株距=路长(株数-1)；株数=路长株距+1；(2)如果两端都不植树，那么：路长=株距(株数+1)；株距=路长(株数+1)；株数=路长株距-1；(3)如果只一端植树，那么：株数=路长株距；例1：一条马路长440米，在路的一旁每隔8米种树一棵，两端都种，共种树多少棵？解：路长440米，株距8米，所以马路被树分成440855(段)又因为两端都种树，所以要种 55+156(棵)列式为：4408+1=56(棵)答：共种树56棵。(二)在封闭曲线或封闭折线上植树，株数与路长被树分成的段数相等。例2：某一淡水湖的周长1350米,在湖边每隔9米种柳树一株,在两株柳树中间种植2株夹枝桃,可栽柳树多少株?可栽夹枝桃多少株?两株夹枝桃之间相距多少米?分析:在圆周上植树时,由于开始栽的一棵与依次栽的最后一棵将会重合在一起,所以可栽的株数等于分成的段数;由于两株柳树之间等距离地栽2株夹枝桃,所以栽夹枝桃的株数