初中平面几何入门教学探究.doc

1 新课标初中图形与几何入门教学探究 王永波王永波 俗语道：“几何头，代数尾，物理化学追命鬼” 。言下之意几何刚开头和代数的后半 程都是非常难的，很多人不入门就真的无法入门了。足见，几何入门教学在中学数学教学中 是十分重要的。从多年来的听课、调研以及试卷分析中能够感受到，相当一部分初中生都感 觉几何比较难学（特别是几何证明） ，许多学生对于一些几何内容的学习总是“一听就懂、 一看就会、一说就乱、一写就错” ，对于任课教师总是抱怨， “这个东西都说八百六十遍了， 怎么还不会啊?” ，有时很无奈。既然如此，这肯定是一个教学中存在的问题。如何根据新教 材特点，抓好几何入门教学，是摆在数学教师面前的一个非常艰巨的任务。对于这个问题倘 若教学中稍不注意，就容易导致两极分化，班级数学成绩大幅度下滑，以致学生因此丧失学 习数学的兴趣和信心。相反如果处理得当，不仅可以激发学生学习数学的浓厚兴趣，培养学 生逻辑推理能力和空间想象能力，也为后续的数学学习打下良好的基础。因此，我把本次活 动的主题确定为初中平面几何入门教学探究。刚才两位教师做了两节课，给大家探讨交流这 个问题提供了一个平台，并且每个发言的老师也就这个问题给出了自己的想法和意见。由于 脱离课堂时间很长，对于学情等了解不多，下面我就这个问题谈一谈自己的一点想法。 一、上好引言课，激发求知欲一、上好引言课，激发求知欲 入门教学标志着一个新的教学阶段的开始。因此，入门教学与前一阶段的教学往往没有 直接联系，而对后续教学又会产生决定性的影响。造成入门教学困难的主要因素并不是预备 知识的缺陷，而是学习能力的不足或教学中的失误。引言是作为整个几何课的引入，上好引 言课是几何入门的第一步。上引言课时，首先要向学生介绍几何是一门什么样的课程，它所 研究的对象是什么、学习方法与代数有什么区别等等.要想方设法激发学生的求知欲，变 “要学生学”为“学生自己要学”，提出日常生活中常见的几何问题，让学生动脑，动手试， 以发现自己看似会，而实际又不行，却又迫切希望能行的现实。例如，你可以在课堂上提出： “你能画出象国旗上的图案一样的五角星吗？”并给出时间让学生试画。结果是能画出规则 五角星图案的几乎没有，在这种情况下，教师指出，要解决这个画图问题，必须具备一定的 几何知识（本章中数学活动中的第二个活动就是画五角星以及通过折纸剪五角星的问题）。 当然，要掌握这些知识，首先必须学习一些基础的几何知识，这样使学生对几何产生浓厚的 兴趣。比如，为什么射击瞄准时，用手托住枪杆(此时枪杆与弯曲的手臂构成三角形)可以保 持稳定，而银行的铁门总是做成平行四边形才能开关？为什么车轮都是圆形的?又如，在公 路两侧有村庄 A,B，怎样造一个汽车站 P，使 PA+PB 最小?如何利用太阳照射的影子测量物体 的高度？等等。 二、利用图形的美二、利用图形的美, ,培养学生的兴趣，清除畏惧感。培养学生的兴趣，清除畏惧感。 宋朝程颐说：“教人未见其趣，必不乐学”。兴趣往往是推动人们去探求知识、理解事 物的积极力量古今中外的学者之所以能走向科学的殿堂，正是由于他们对科学产生了浓厚 2 的兴趣罗素曾说过，他对科学的兴趣来自数学，而对数学的兴趣又来自欧几里德几何这 说明欧氏几何中蕴含着激发兴趣启迪思维的极有利因素 生活中大量的图形有的是几何图形本身，也有的是几何图形组合，它们具有很强的审美 价值，在教学中宜充分利用图形的线条美、色彩美，给学生最大的感知，充分体会数学图形 给生活带来的美。在教学中尽量把生活实际中美的图形联系到课堂教学中，再把图形运用到 美术创作、生活空间的设计中，产生共鸣，使他们产生创造图形美的欲望，驱使他们创新， 维持长久的数学学习兴趣。 入门教学中要帮助学生树立对几何的正确认识，调动学好几何的积极性。比如：学习了 第二章相交线、平行线后学生对平移有了一定认识，教师就此在班上组织学生开展图案 设计大赛，以及“我是一名建筑设计师”活动，设计我最喜欢的户型等等。展开想象的翅膀， 发挥他们不同的特长，在活动中充分展示自我，既复习了所学的知识，又找到了生活与数学 的结合点，感受自己胜利的心理，体会数学给他们带来的成功机会和快乐，培养学生学习数 学的兴趣。再如，“把两张长方形的纸片拼成一个凸字形，并使竖放的一张纸在横放的那张 纸片的正中间”。学生解决此题，常有三种不同办法：(1)单凭眼睛观察，移动竖放的纸片 使其居中，这是不精确的；(2)在第一种办法的基础上，再用刻度尺量竖放的纸片两旁，并 随时移动调整位置，这种方法是准确的，但费时间，又需要有刻度尺；(3)把两张纸片分别 沿横向和纵向对折，然后把它们届展平叠合在一起，并使两条折痕对齐，显然这种方法既省 时又精确。最后可以向学生介绍，“折纸”在几何中就是一种对称变换，也称为翻折变 换。是研究几何图形性质的一种重要方法。 三、利用小学基础，降低新课难度三、利用小学基础，降低新课难度 学生在小学数学中虽然已经学了一些几何图形的简单性质，但其目的是利用几何图形的 直观性质来加深对数学概念的认识，熟练数的运算计能，而初中平面几何的教学要从“数” 的学习转入“形”的研究，要从几何的本质属性方面理解和掌握图形的概念，要采用逻辑思 维的方法把握图形的性质，培养与发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力，并使学生掌握 常用的证明方法和作图方法。鉴于教学上的不同要求，根据教材的不同内容，对教材处理应 做到以下三个方面： 1、小学教材已有的，且在提法上与中学教材无重大区别的内容，不再作新知识处理， 而采用复习方式使之系统化，条理化。如锐角三角形，直角三角形，钝角三角形的概念等等。 2、小学教材已有的，但在提法上较片面的，不妥当的或是模糊不清的，在教学中予以 完善和纠正。如小学数学中的“平行线”的概念叙述是不完整的，按照小学教材的定义“不 相交的两条直线”就是平行线，而应加上“在同一平面内”这个条件。因此，中学几何教学 中通过让学生观察平行线的实例或模型，平面直线的实例或模型相比较，使学生对这个概念 的认识完整化。 3、小学教材已有的但缺乏理论根据的，教学中应先重新复习小学教材的处理方法，再 上升到理论去论证。如“三角形的三内角和等于 180”这个定理，在学生通过实验得出结 3 论，又要强调说明不能只满足于实验，而必须从理论上给予严格的证明。教学中又着重于作 出辅助线，就能很自然的写出证明过程。 四、引用丰富实例，培养感性认识。四、引用丰富实例，培养感性认识。 根据七年级学生年龄，能力特点，对点、线、面、体以及几何图形、平面图形、立体图 形等概念，教学中要借助于教具、模型、实物、图形等具体描述，先得到直观的感性认识， 在感知基础上，培养学生的抽象思维。如：通过手电筒或探照灯“射”出的光束，说明射线 的意义，行进中的火把、飞行中的萤火虫等实例，认识点动成线、线动成面、面动成体等等。 再从 10 个概念各别的默写正确率看。据统计，默写“互余”、“互补”定义的正确率分别 高达 81.8%和 79.2%，其原因是这两个概念定义的语句简单易记。可见学生表述概念定义的 困难主要来自于语言的障碍。因此，作为熟悉几何术语的一种手段，要求学生背诵某些几何 概念也是必要的。以“互余”、“互补”两个概念为例。“如 图， EOC=A0C=BODRt，在图中找出分别与AOB，BOC 互余的角，有与BOC 互补的 角吗?”据统计，许多学生答BOC 与AOB 互余,而不能经过简单的推理指出DOE 也与 AOB 互余，只有不到十分之一的学生指出BOC 有补角，它是AOD。这就充分说明，尽管 80%左右的学生能正确叙述定义，但是 90以上的学生不能在图 10 这种较为复杂的图形中 识别表示互补概念的图形，而运用概念识图在几何教学中却是十分重要的。所以概念教学的 重点应是理解和应用。此外，有些概念的某种本质属性，并不能借助上述方式让学生精确感 知，而要借助语言的辨析与反例的衬托。比如“互为余角”这个概念有三个本质属性，应逐 步地由学生自己去完成即“两个角”、“和”、“90”。其中，后两个属性对学生的刺激 较强烈，也容易被精确感知，而第一个本质属性则常常被学生忽视从而造成“90的角是余 角”等概念的混淆。为此，教学中除了强调“两个角”这个词语外，还可用反例 “l+2+390”、“1，2，3 互为余角，对吗？”、“A90，A 是余 角吗”等，以反衬互余概念中“两个角”这个本质属性，使学生精确感知。 五、由浅入深，发展基本能力。五、由浅入深，发展基本能力。 新课程标准明确指出，七年级数学要开始培养学生的识图能力、画图能力、几何语言及 符号的转换能力和推理能力，为今后几何的学习打好基础。鉴于以上要求，我们应该根据教 材的低起点，及时加强能力的训练和培养。 1.1.识图能力识图能力 识图是今后观察图形、分析图形的基础。它的训练应从简到繁、从易到难达到逐步提高。 2.2.画图能力画图能力 画图是几何语句到直观图形的操作过程，是分析问题解决问题的基本环节。训练时，先 弄清一些几何术语(如：经过、有且只有、相交、垂直等)的含义，经历读(动口)知(动脑) 画(动手)的全过程，急于求成则欲速不达，留下“消化不良”的后遗症的做法是不可取的。 3.3.转换能力转换能力 4 几何语言、几何图形、符号表示之间的互相转换，要鼓励学生多说、多绘、多写，不要 怕错逐步做到准确简洁的几何语言，正确整洁的绘制几何图形，规范使用几何符号，尽快 建立起三者的有机联系，当好“翻译”。 4.4.推理能力推理能力 简单的逻辑推理是整个初中学好几何的基础，从教材编排情况看，可分四个阶段来进行。 要领会每一阶段要求，逐步达到。第一阶段；按照图形回答两个已知相等的角分别与同一个 角的和相等以及同角或等角的余角(或补角)相等的原因，要求学生能说出就行。第二阶段： 用文字语言叙述的方式证明已学的定理，然后将叙述过程用数学式子表达出来。第三阶段： 在推证平行线的判定结论时，采用先探索分析的方法，找到解决问题的思路，将分析的推理 过程改写为规范的符号推理形式，进行两步推理，此阶段尚不要求学生进行证明。第四阶段； 结合逻辑知识，给出证明过程，要求学生能写出书中出现的一、二步推理的过程。这样，推 理学习由浅入深、由易到难、由部分到整体，容易被学生理解接受。 六、注意理论几何与实验几何的衔接：六、注意理论几何与实验几何的衔接： 1 1、要充分利用实验几何的教学方法和学习方法，引导学生由实验几何向理论几何过渡。、要充分利用实验几何的教学方法和学习方法，引导学生由实验几何向理论几何过渡。 根据小学生的认识事物的客观规律，大量地借助直观，靠触觉和视觉的作用，画画、比 比、拼拼，或借助于实物获取知识，这样不仅使学生易接受，而且还增强了学生学习的趣味 性。几何入门教学若脱离了实验几何，学生会感觉与小学所学知识脱节太大，对老师所传授 知识不易接受，学习起来枯燥，缺少趣味性，很快便失去学习几何的兴趣。故此，在进行几 何入门的教学过程中，可先沿用实验几何教法，先让学生从感性上去认识新事物，再引导学 生去发现新事物具有哪些特征，然后根据这些特征从理论上重新去认识新事物。如在学习 “对顶角”时，可先让学生画相交的两条直线，指出相对的任何一对角叫对顶角。然后启发 学生去发现对顶角的特征：顶点相同，角的两边互为反向延长线，小结时再引导学生归纳对 顶角的定义：顶点相同，角的两边互为反向延长线的一对角叫对顶角。 2 2、引导和培养学生用几何理论去说理论证、引导和培养学生用几何理论去说理论证 实验几何使学生获得的知识没有系统化，对几何学中的逻辑推理掌握不够，对几何教学 和学生学习几何知识形成障碍。如在学习对顶角相等时，教师问对顶角是否相等时学生马上 回答“相等”，但教师问“为什么呢，”学生说是“看出来的”或“量出来的”，这时教师 首先要肯定学生判断的是正确的，然后提出对顶角相等是否有它的必然性，再引导学生发现 对顶角具有相同的一个邻补角，从而用“同角的补角相等”来说明“对顶角相等”。因此， 我们在入门教学中要注意理论几何与实验几何的衔接，逐步培养学生的逻辑推理能力，防止 学生以直观代替论证，为此，我们以学生在小学学过的几何知识为基础，突出分析概念的本 质属性与性质的运用，运用生活的事例，提出问题让学生思考，调动学生学习的积极性，启 发学学生观察周围事物，运用所学知识解释这些现象，说出其中的道理，从而培养学生说理 （论证）的习惯。 七、强化学科策略教学，促进课堂高效。七、强化学科策略教学，促进课堂高效。 5 几何概念学习策略：一述、二画、三识、四译、五用 会表述：能正确地叙述概念的定义； 会画图：会画出表示概念的图形(包括变式图形)，熟练地掌握概念的标注法和读法； 会识图：能在复杂图形中正确识别表示某个几何概念的那部分图形： 会“翻译”：学会把概念定义的文字语言翻译成为结合图形的符号语言； 会应用：会运用概念进行简单的判断、推理、计算。 几何证明学习从“形象思维”到“逻辑思维”的思维方式上升过程，由数到形，由计 算到推理的转变，这要求学生的思维要求上有一个的跳跃有些学生一时不适应思维方式的 变化同时，也存在个体思维能力的差异，这是部分学生几何证明学习的困难所在因此他 们一遇到证明题，就会毫无头绪，不知从何入手。对于他们的情况，可以理解，同时也可以 克服的。万事开头难，因此对八年级几何证明教学入门过程的谈个人几点建议： 1. 首先从简单的推理填空开始, 运用填空题形式，让学生初步熟悉格式基本要求。 例如： （一）在括号内填写理由. 如图：（1）1=2， （ ） （2）DAB+ABC=1800， （ ） （3） C+ABC=1800 （ ） （4） 3=C（ ） （二）推理填空： 如图，已知B+BCD=180，B=D. 求证：E=DFE. 证明：B+BCD=180( ), ABCD （ ） B=DCE（ ） D A B EC F 3 2 1 D C B A 6 3 4 1 2 B A D 又B=D（ ）, DCE=D ( ) ADBE（ ） E=DFE（ ） 注意填写理由必须完整。 2. 由老师引导，开始简单证明的逻辑思维的培养。 例如： （一） 、如图，1=2. （1）当 BC=BD 时，ABCABD 的依据是_ （2）当3=4 时，ABCABD 的依据是_ （二） 、如图，已知ABC 中，ABAC，AD 平分BAC，请补充完整过程说明ABD ACD 的理由 证明： AD 平分BAC _（ 角平分线的定义 ） 在ABD 和ACD 中 ： _（ _） _（ _） _（ _） ABDACD（ ） 通过老师写“因为” ，学生补充“所有”引导学生进一步熟悉证明的步骤和格 式。 3. 选择类似题目教师示范，学生模仿 例如： 由老师讲解： （一） 、已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证： ABCDEF A A B BC CD D C F E B D A 7 学生随堂模仿： （二） 、如图：AC=DF，AD=BE，BC=EF。求证：C=F。 由老师讲解例题，学生在随堂练习时模仿老师解题的格式，思路，方法。然后，学习好 的同学上黑板板演习题，不会做题的学生可以跟着黑板上的同学的提示模仿。完成练习。 4.讲解全等三角形时，可以适当分坼讲解，培养学生的看图能力。 例如： 如下图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB=AC，B=C 求证：AD=AE 分析AD 和 AE 分别在ADC 和AEB 中，所以要证 AD=AE，只需 证明ADCAEB 即可 证明：在ADC 和AEB 中 所以ADCAEB（ASA） 所以 AD=AE 讲解时，可以分坼成ADC 和AEB，并且提问学生：两个三角形怎么运动才能重合， 找出对应边和角。练学生能够看懂图形，能把复杂图形分解成各种简单图形，能找出图形中 的各个元素，以及各个元素之间的对应关系；这一点对学生逻辑推理能力和空间想象能力的 培养有相当大的辅助作用。 七、加强课标研究，把握教学要求。七、加强课标研究，把握教学要求。 在“几何图形初步”的教学中，要特别注意抽象思想的体现，注意“模型图形文字 符号”这个抽象的过程 首先要强调实物原型的作用，让学生从大量实物模型中抽象出几何图形；其次要重视 图形语言的作用，对于图形的文字和符号描述，都要紧密联系图形，发挥直观图形的作用， 在图形基础上发展其他数学语言。比如，对于线段的比较、线段的和与差、线段的中点、角 的比较、角的平分线等的教学，都要先以图形直观给出，再联系到数量，给出文字的描述， 最后再给出符号的表示，使几种几何语言优势互补，以收到较好的教学效果。 “几何图形初步”中，类比地研究线段和角 线段的比较角的比较 D C A B E 8 线段的和、差角的和、差 线段的中点角的平分线 对于一些比较容易模糊的知识，例如：证全等三角形不能用 ssA 的问题，不仅要按教科 书予以说明，还要举出实例，加深学生的理解。要求学生熟悉一些基本图形以及它们的变式， 例如：角平分线、垂直平分线。角平分线、垂直平分线的性质和判定，学生运用时特别容易 把性质和判定混搅起来，是学生掌握的一个难点，教学时，应仔细分析题设和结论的区别， 还要举出两个实例加以对比说明。 几何入门教学中要过好五关 （一）过好语言关。1、要引导学生过好语言关，就要严格对学生进行语言训练，教师 的语言要规范化，力求准确、清晰。这对激发学生学习几何的兴趣有举足轻重的作用。2、 循序渐进地对学生进行多种形式的语言训练： （二）过好图形关。 图形的训练包括认识图形和画图训练两个方面。在教学过程中要 把概念教学与图形结合起来。教师在黑板上画图时必须用工具画规范的图，使学生养成良好 的画图习惯，并学会使用工具的正确方法。 （三）过好书写关。书写是农村中学生学习几何中的一个难点，要求做到条理清楚，文 字通顺、工整。教学中应多举一些例子示范。例如：C 是 AB 的中点，可以写成 ABBA AB，还有一个是要突出一些习惯性词语或常用数学中的几何术语。如：“过”、“取”、 “作”、“延长到使等于”，使学生真正掌握几何术语，准确地书写一