随机变量的数字特征.doc

第三章随机变量的数字特征3.1数学期望前面介绍了随机变量的概率分布，它们虽然全面、完整地反映、表达了随机变量的概率性质，但在许多情形下，特别是在许多实用场合，往往不可能或不必要完全、确切地掌握随机变量的全部概率特征，而只能或只需知道随机变量的某些数字特征，在这些用来作为显示随机变量分布特征的数字中，最重要的就是数学期望、方差以及各阶的矩。1离散随机变量的数学期望离散随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率P(=xi)之积的和称为的数学期望.记作.实际上是随机变量的平均取值的含义.当此和是无穷级数时，要求其绝对收敛，使其和与各项的排列次序无关.例1 从一个装有个白球和个红球的袋中取球，直到出现白球为止。若每次取出的球仍放回袋中，试求取出红球数的数学期望. 解设取出的红球数为，则的分布律为 令 则 于是 2 连续随机变量的数学期望设连续随机变量的概率密度为，因为 落在小区间的概率近似等于.假设广义积分收敛，则的数学期望定义为 注：当数学期望相应的无穷级数或广义积分不绝对收敛时，数学期望就不存在. 例 有5个相互独立工作的电子装置，其寿命服从同一指数分布，分布函数为 若将这5个电子装置串联组成整机，求整机寿命M的数学期望。解由随机变量函数的分布可知的分布函数为 其密度函数为 故 例 设随机变量服从柯西(Cauchy)分布,其密度函数为 试证的数学期望不存在。证因为 即不绝对收敛，所以不存在。二维随机变量的数学期望（手写）3.2 随机变量函数的数学期望1离散随机变量函数的数学期望设离散随机变量的概率分布为P(=xi)=p(xi),(i=1,2,.), 若其函数=f(), 则随机变量的数学期望定义为例1 设随机变量的概率分布为-2-10123p(xi)0.100.200.250.200.150.10求随机变量=2的数学期望.解 2连续随机变量函数的数学期望设连续随机变量的概率密度为，若其函数=f(),则随机变量的数学期望定义为注：当数学期望相应的无穷级数或广义积分不绝对收敛时，数学期望就不存在；例 （见课本P 92 例2 ）设是随机变量,的函数(为连续函数)，则也是一个随机变量.若为离散型随机变量，且其联合分布律为 则有 若为连续型随机变量，且其联合密度函数为，则有 这里要求等式右端的级数或积分都是绝对收敛的例9 设二维随机变量的密度函数为 求 解 3.3 数学期望的性质现在给出数学期望的几个常用性质。在下面的讨论中，所遇到的随机变量的数学期望均假设存在，且只对连续型随机变量给予证明，至于对离散型随机变量的证明只需将积分换为类似的求和即可。 1. 设为常数，则有 证 可将看成离散型随机变量，分布律为故由定义即得 2. 设为常数，为随机变量，则有 证 设的密度函数为，则有 3. 设为任意两个随机变量，则有 证 设二维随机变量的密度函数为，边缘密度函数分别为,则 这一性质可以推广到任意有限多个随机变量之和的情形,即 一般地，随机变量线性组合的数学期望，等于随机变量数学期望的线性组合，即 =其中为常数。 4. 设为相互独立的随机变量，则有 证 因为与相互独立，其联合密度函数与边缘密度函数满足，所以 这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之积的情形，即若为相互独立的随机变量，则有 3.4方差与标准差有一批灯泡，其平均寿命E (X )=1000小时，但仅由这一指标还不能判断这一批灯泡质量的好坏，我们还需考察灯泡寿命X与E (X )的偏离程度，若偏离程度较小，则灯泡质量比较稳定。因此，研究随机变量与其平均值的偏离程度是十分重要的。为了描述随机变量的取值在其数学期望周围的分散程度，我们需要引入随机变量的另外一个数字特征方差.l 离差的概念设是一个随机变量，令=-E,则称为的离差.它反映了与其数学期望E的偏离程度.根据数学期望的性质E=E(-E)= E-E=0即随机变量的离差的数学期望恒为零.通常我们用随机变量离差的平方的数学期望来描述随机变量的分布的分散程度，并把其称为的方差，记作D:D= E(-E)2对于离散随机变量， 对于连续随机变量， D是一个非负的数，D较小时，表示的取值比较集中在E的附近.反之, D较大时，表示的取值比较分散.l 方差的常用计算公式 直接由定义计算方差有时比较麻烦，往往可用下面的公式来化简计算：证明：利用数学期望的性质即可证明此公式：例2 设随机变量服从“0-1”分布，P(=1)=p，求D.解 ， , 例3 设随机变量服从均匀分布，其密度函数为： 解 ， l 标准差(均方差)的概念称为随机变量的标准差(均方差) ，并记作，l 方差的性质假定下面所遇到的随机变量的方差均存在。1. 设C为常数，则D (C )=0。证.2. 设X为随机变量，C为常数，则有.证3. 设随机变量X与Y相互独立，则有D (X+Y )=D (X )+D (Y )。证因为由于X与Y相互独立，E (XY )=E (X )E(Y )，故 E X-E (X )Y-E (Y )=0,所以D(X+Y )=D (X )+D (Y )。性质3可推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情形。即若相互独立，则有若X与Y是相互独立的随机变量，为常数，则有 特别地，D (X-Y )=D (X ) + D (Y )。例 已知随机变量的数学期望为E，标准差为0，设,试证明：E=0， D=1.证:需注意到E和都是常数，利用数学期望及方差的性质得3.5某些常用分布的数学期望1超几何分布的数学期望与方差(略)设随机变量，则 应用组合公式和，得类似地可得 故2二项分布的数学期望与方差设随机变量，则 应用组合公式，得 故泊松分布的数