初中数学常见的概念定理公式汇编.docVIP

第一部分 数与代数一、数与式（一）实数1、实数的分类：整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数。有理数如：8，0.3345，0.7373737等；无限不环循小数叫做无理数。无理数如：，0.1010010001，(两个1之间依次多1个0)等。有理数和无理数统称为实数。2、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。3、绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作 。公式：如： ； （3.14）3.14；3.144、相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。0的相反数是0。a的相反数是a。若a与b互为相反数，则ab0。 5、若两个数的积是1，那么两个数是互为倒数。若a与b互为倒数，则ab1。a的倒数是（a0）。6、有效数字：一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字。如：0.02006精确到0.0001得0.0201，结果有两个有效数字2，0，1；200的有效数字是2，0，0三个。7、科学记数法：把一个数写成a10n的形式(其中1a10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法。 如：4070004.07105，0.0000434.3105。8、大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数的绝对值大的反而小。9、数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。如：238，2为底数，3为指数，8为幂。10、平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2a，那么这个数a就叫做x的平方根（也叫做二次方根式）。注：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。11、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。如：12、算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。如：若x24，则x2。13、立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。14、开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方。15、二次根式：形如(a0)的代数式叫做二次根式。(a0)是一个非负数。积与商的方根的运算性质：（a0，b0）；（a0，b0）二次根式的性质：16、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式。17、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。18、二次根式的乘除法运算法则：（a0，b0）； （a0，b0）19、有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。20、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。21、有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与0相乘，积仍为0。22、有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数。23、有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。24、有理数的运算律：加法交换律 abba；加法结合律 (ab)ca(bc)；乘法交换律 abba ；乘法结合律 (ab)ca(bc)；乘法分配律 m(ab)mamb。（二）代数式1、用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。代数式包括单项式和多项式。2、数字或字母的乘积叫单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。任何一个非零数的零次方等于1。3、有限个单项式之和称为多元多项式，简称多项式。不同类的单项式之和表示的多项式，其中系数不为零的单项式的最高次数，称为此多项式的次数。不含字母的项叫做常数项。如一式中：最高项的次数为5，此式有3个单项式组成，则称其为：五次三项式。4、同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。5、合并同类项：多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项6、合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变（三）整式1、常见幂的运算：同底数幂相乘 amanamn（m、n为正整数）；同底数幂相除 amanam-n（a0，m、n为正整数，mn）；积的乘方 (ab)m=ambm，（m为正整数）幂的乘方 (ab)nanbn （n为正整数）；负整数指数 ap（a0，p为正整数） 规定：零指数：a01（a0）；2、整式的乘除法几个单项式相乘除，系数与系数相乘除，同底数的幂结合起来相乘除。单项式乘以多项式，用单项式乘以多项式的每一个项。 多项式乘以多项式，用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项。多项式除以单项式，将多项式的每一项分别除以这个单项式。3、常见的乘法公式：平方差公式 (ab)(ab)a2b2 完全平方公式：(ab)2a22abb24、分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。5、常用的分解因式方法 提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 运用公式法： a2b2 (ab)(ab)；a22abb2 (ab)26、分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，然后再考虑是否能用公式法分解，最后是用整式乘法检查因式分解的结果是否正确。简称：一“提”二“套”三“查”。例如：2x36x2x(x23)2x(x)(x)（四）分式1、定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注：（1）若B0，则有意义；（2）若B0，则无意义；（3）分式值为0的条件：若A0且B0，则0。2、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。即；（其中m是不等于零的代数式）。3、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。分式的约分步骤：(1)如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。(2)分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。4、通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分步骤：先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。5、分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先通分化为同分母的分式，后按同分母分式的加减法则计算。6、分式的乘除法法则：（1）两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；（2）两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 (c0)（3）分式的乘方法则：()n （n为正整数）7、分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的。注：对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，后求值。二、方程与不等式（一）一元一次方程1、方程：含有未知数的等式叫方程。2、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的指数是1（次）系数不为0，这样的方程叫一元一次方程。一般形式：axb0（a0）3、解一元一次方程的一般步骤、根据及注意事项一般步骤依据注意事项去分母 根据等式性质2 不要漏乘，当分子是多项式时，去分母后要补上括号 去括号 根据分配律或去括号法则 注意项的符号的变化 移项 根据等式性质1 注意项的符号的变化！ 合并同类项 合并同类项法则 系数化为1 根据等式性质2 （二）二元一次方程（组）1、二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。3、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。4、二元一次方程组的解法。 （1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法。 （2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。（三）分式方程1、分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、解分式方程的步骤：去分母，化为整式方程；解整式方程；验根；下结论。3、分式方程的增根问题： 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根l增根； 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。 （四）一元二次方程1、一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程。一般形式：ax2bxc0(a0）。2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法：（2）配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法用配方法解一元二次方程：ax2bxc0(k0）的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；化原方程为(xm)2n的形式；如果n0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n0，则原方程无解。（3）公式法： ax2bxc0 (a0）中，当b24ac0时，x；当b24ac0时，无解。（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法。它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0。因式分解法的步骤是：将方程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。3、注意事项 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a0因当a0时，不含有二次项，即不是一元二次方程如关于x的方程（k21）x22kx10中，当k1时就是一元一次方程了。 应用求根公式解一元二次方程时应注意：化方程为一元二次方程的一般形式；确定a、b、c的值；求出b24ac的值；若b24ac0，则代入求根公式，求出x1 、x2；若b24ac0，则方程无解。 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如2(x4)23（x4）中，不能随便约去（x4）。 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法因式分解法公式法。4、一元二次方程根与系数的关系设x1、x2是ax2bxc0 (a0）的两个根，那么x1x2 ， x1x2（五）一元一次不等式(组)1、不等式：用不等号（“”、“”、“”、“”、“”）表示不等关系的式子。2、不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。3、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。5、解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式。6、一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不为零的不等式叫做一元一次不等式。7、解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变，这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以08、解一元一次不等式的步骤：去分母，去话号，移项，合并同类项，系数化为19、求不等式的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所需特解10、一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组。11、一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。12、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。13、不等式组的分类及解集（ab）解集xb解集axb 无解解集xa14、解一元一次不等式组的步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。（2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。（六）一元二次方程根的判别式b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0 (a0）的根的判别式。0方程有两个不相等的实数根；0方程有两个相等的实数根；0方程没有实数根；0方程有两个实数根。三、函数（一）平面直角坐标系 1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做x轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴和y轴统称坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。这个平面叫做坐标平面。2、象限角，又称象限（英文Quadrant意思是一圆之四分一等份），平面直角坐标系里的横轴和纵轴所划分的四个区域，分为四个象限。象限以原点为中心，x，y轴为分界线。右上的称为第一象限，左上的称为第二象限，左下的称为第三象限，右下的称为第四象限。在坐标轴上的点特别是原点不属于任何象限。对于任意一点的坐标（x，y）；x0，y0时在第一象限；x0,y0时在第二象限 ；x0，y0时在第三象限 ；x0，y0时在第四象限。（二）一次函数1、一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成ykxb(k、b为常数，k 0）的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量，y是因变量特别地，当b0时，称y是x的正比例函数。2、一次函数的图象：一次函数ykxb的图象是经过点(0，b)，(，0 ）的一条直线；（1）正比例函数ykx的图象原点(0，0）的一条直线。（2）函数ykxb(k、b是常数，k0)的图象是过点（0，b）且与直线ykx平行的一条直线；3、一次函数的图象和性质： ykxb(k、b为常数k0)的图象是一条直线（b是直线与y轴的交点的纵坐标)。当k0时， y 随x的增大而增大(直线从左向右上升)；当k0时，y随x的增大而减小（直线从左向右下降)。特别：当b0时，ykx_又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点；一次函数ykxb 的图象是由正比例函数ykx的图象沿y轴向上（b0）或向下(b0)平移的到一条直线。正比例函数的图象：函数ykx的图象是过原点和点（1，k）的一条直线。（三）反比例函数1、反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y(k为常数，k0)的形式，那么称y是x的反比例函数。 因为y是一个分式，所以自变量X的取值范围是X0。而y有时也被写成xyk或ykx1。2、图象和性质：利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y具有如下的性质：当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；当k0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大。（四）二次函数1、定义：形如yax2bxc (a0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。化为顶点式：ya(x)22、图象和性质：二次函数的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线。开口方向：当a0时，抛物线开口向上；当a0时，抛物线开口向下。对称轴：过点（,0） 且平行于y轴的直线；x。顶点坐标： (,)增减性：当a0时，如果x，则y随x的增大而减小，如果x，则y随x的增大而增大；当a0时，如果x，则y随x的增大而增大，如果x，则y随x的增大而减小。最大值或最小值： 当a0时，二次函数图象有一个最低点。且x时，y最小值。当a0时，二次函数图象有一个最高点。且x时，y最大值。3、图象的平移：将二次函数yax2 (a0）的图象进行平移，可得到yax2c，ya(xh)2，ya(xh)2k的图象。 将yax2的图象向上(c0）或向下(c 0）平移 个单位，即可得到yax2c的图象。其顶点是（0，c），形状、对称轴、开口方向与抛物线yax2相同。 将yax2的图象向左（h0）或向右(h0）平移个单位，即可得到ya(xh)2的图象其顶点是（h，0），对称轴是直线xh，形状、开口方向与抛物线yax2相同。 将yax2的图象向左（h0）或向右(h0）平移个单位，再向上(k0)或向下（k0）平移个单位，即可得到ya(xh)2k的图象，其顶点是（h，k），对称轴是直线xh，形状、开口方向与抛物线yax2相同。（五）二次函数的图象与一元二次方程的根的关系（1）一元二次方程就是二次函数当函数y0时的情况。（2）yax2bxc中，b24ac ；0二次函数的图象与x轴有两个交点；0二次函数的图象与x轴有一个交点；0二次函数的图象与x轴没有交点。（六）二次函数的三类解析式（1）一般式：yax2bxc (a0) （2）顶点式：ya(xh)2k (a0)，此时二次函数的顶点坐标为（h，k）,对称轴是xh。（3）交点式：ya(xx1)(xx2) (a0)，其中x1、x1是二次函数与x轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线x例1 已知一个二次函数图象经过（1，10）、（2，7）和（1，4）三点，试求这个函数的解析式。例2已知抛物线的顶点是A(1，4)且经过点(1，2)，求其解析式。例3已知抛物线的顶点为A，若二次函数的图像经过A点，且与x轴交于B（0，0）、C（3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。第二部分 空间与图形一、图形的认识（一）点、线、面、体1、认识点、线、面、体体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等几何体。 面包围着体的是面；面有两种：曲面和平面。线面与面相交的地方是线，线有直线、曲线两种。点线与线相交的地方是点。2、点、线、面、体之间的关系静态关系：包围体的是面，面与面相交的地方是线，线与线相交的地方是点。动态关系：点动成线、线动成面、面动成体。（二）角1、角的度量和比较：把一个周角360等分，每1份的角记作1度，1度=60分，1分=60秒。2、角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。（三）相交线与平行线1、余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等； 对顶角相等。2、垂直（1）垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；（2）线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；（3）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线；3、平行（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。（2）平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。（3）平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。（4）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。（5）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。（四）三角形1、三角形重要线段为：角平分线：三角形角平分线是指三角形一个内角平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫三角形的角平分线，共三条，且交于一点；三角形的中线：三角形的顶点与对边中点的连线段，共三条中线，也交于一点；三角形的高：由三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的连线段叫三角形的高，共三条，高也交于一点。2、三角形的有关性质（三角形具有稳定性）三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800 ；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；三角形的三条角平分线交于一点（内心）；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；3、全等三角形（1）定义：两个能够重合的三角形是全等三角形。（2）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（3）三角形全等的条件：边角边（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。角边角（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。角角边（AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。边边边（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。斜边、直角边（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。4、等腰三角形（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。（2）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。5、直角三角形（1）直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互为余角；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；直角三角形中 角所对的直角边等于斜边的一半。300450600SinCostan1（2）直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a、b 、c满足关系c2a2b2 ，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。且最长的边c所对的角为直角。6、三角函数：在RtABC中，C900 ，SinA，cosA，tanA；sinAcosB；0sinA1，0cosA1，tanA0。A越大，A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。特殊角的三角函数值：（五）四边形1、多边形（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n2）1800（n3，n是正整数）；（2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于1800。（3）任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。2、平行四边形（中心对称图形）平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等角相等和直线平行的根据之一。（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离；两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等。（3）平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分。（4）平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。3、矩形（轴对称图形）（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)。（2）矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；（3）矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。4、菱形（轴对称图形）（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。（2）菱形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）菱形的四边相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形的判定：四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。5、正方形（1）定义：四条边都相等且一个角是直角的四边形叫做正方形。（2）正方形的性质：（除具有矩形和菱形的所有性质外）正方形的四边相等；正方形的四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（3）正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。6、等腰梯形（1）等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个内角相等；等腰梯形的两条对角线相等。（2）等腰梯形的判定：同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；两条对角线相等的梯形是等腰梯形。（六）圆1、圆有关的概念 （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点为圆心，定长为半径。（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角。（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。2、圆的有关的性质（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；（4）圆心角与圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（5）圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形。圆内接四边形对角互补；（6）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，圆周角所对的弦是直径；（7）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（8）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（9）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角。3、三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆；（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心；（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。4、点与圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外dr，点在圆上dr，点在圆内dr。5、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交dr，直线与圆相切dr，直线与圆相离dr。6、圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则（1）两圆外离dRr；（2）两圆外切dRr；（3）两圆相交RrdRr（Rr）；（4）两圆内切dRr（Rr）；（5）两圆内含 dRr（Rr）。7、圆有关的计算：（1）弧长计算公式：l（R为圆的半径，n0是弧所对的圆心角的度数， l为弧长） （2）扇形面积：S扇形或 S扇形 l R（R为半径，n0是扇形所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长）（3）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。S侧l2rr l S表S侧S底r lr2r（lr）（七）尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。（八）视图与投影1、视图：主视图、左视图、俯视图。2、基本几何体的三视图画法：（1）观察方向：正面、侧面、上面；（2）视图特点：长对正，高平齐，宽相等；（3）要注意实线与虚线的用法。3、平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影。4、中心投影：光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为中心投影。二、图形与变换（一）图形的轴对称1、轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分；2、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形。（二）图形的平移1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据。2、平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据。（三）图形的旋转1、图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；2、中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转1800，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。中心对称图形和中心对称的区别：如果把一个图形绕着某一点旋转1800后能与自身重合，那么这个图形成中心对称图形；如果把一个图形绕着某一点旋转1800后能与另一个图形重合，那么这两个图形成中心对称。联系：如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，如果把对称的部分看成是两个图形，那么它们又是关于中心对称；3、平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形。（四）图形的相似和位似1、比例的基本性质：如果 ，则adbc，如果adbc，则 （b0，d0）。2、相似三角形的判定：两组角对应相等；两边对应成比例且夹角对应相等；三边对应成比例。3、相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。4、图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形。第三部分 概率与统计一、统计1、数据收集方法：统计调查（主要学全面调查和抽样调查）。全面调查：对需要调查的对象进行逐个调查。好处：所得资料较为全面可靠。特点：调查花费的人力、物力、财力较多，且调查时间较长，全面调查只在样本很少的情况下适合采用。抽样调查：是一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象作出估计和推断的一种调查方法。好处：耗费的人力，物力，财力少，大量节约调查时间。特点：按随机原则抽选样本；总体中每一个单位都有一定的概率被抽中；可以用一定的概率来保证将误差控制在规定的范围之内；适合样本数量较多的情况下采用。2、统计分析数据时，常用的统计图：扇形统计图、折线统计图、条形统计图和直方图（统计图是利用点、线、面、体等绘制成几何图形，以表示各种数量间的关系及其变动情况的工具）。扇形统计图：反映各个部分占整体的百分比；条形统计图：直观地显出具体数据；折线统计图：反映变化趋势；直方图：描述计量资料的频数分布。条形统计图与直方图的区别：A、条形图是用条形的长度表示各类别频数的多少，其宽度（表示类别）则是固定的；直方图是用面积表示各组频数的多少，矩形的高度表示每一组的频数，宽度则表示各组的组距，因此其高度与宽度均有意义。 B、由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列。 C、条形图是直观地显出具体数据，直方图是表现频数的分布情况。2、总体与样本：所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本容量（无单位）。3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数。4、中位数：将一组数据按大小顺序排列，处于最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中位数。5、频率分布