8章-含有耦合电感电路8-23(样章修改完后).doc

第8章 含有耦合电感的电路18.1 互感18.1.1 互感 M18.1.2 耦合因数K38.1.3 耦合电感上的电压、电流关系48.1.4 互感线圈的同名端48.2 含有耦合电感电路的计算88.2.1. 耦合电感的串联88.2.2. 耦合电感的并联118.2.3. 耦合电感的 T 型去耦等效138.3 空心变压器188.4 理想变压器228.4.1理想变压器的条件228.4.2 理想变压器的主要性能22第8章 含耦合电感的电路分析 含有耦合电感的电路学习重点：通过本章学习，掌握互感、同名端等概念，熟练应用去耦等效法，分析含有耦合电感的电路；掌握理想变压器的特性，了解含有理想变压器电路的分析。 8.1 互感由电磁感应定律可知， 磁通量的变化，必然会产生感应电动势。当只要穿过线圈的磁力线（磁通）变化时，在线圈中就会产生感应电动势。当一个线圈由于其自身电流变化引起了磁通的变化时，所就会从而感应出产生的感应电动势，称为自感电动势。；如果两个邻近的线圈，当一个线圈通过变化电流，此电流产生的磁通力线不但穿过自身线圈，同时也会有部分磁通力线穿过邻近线圈，从而在邻近线圈中产生感应电动势。这种由于一个线圈的电流变化，通过磁耦合在另一个线圈中产生感应电动势的现象，称为互感现象。互感现象在变压器、电动机等工程实际中得到广泛应用。8.1.1 互感 M如图 8-1所示，一个线圈的磁通交链另一个线圈的现象，称为磁耦合。即，载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的物理现象。（1） 如图 8-1，当线圈2开路，变化的电流i1通过线圈1时，将在线圈1中产生变化的自感磁通11 ，其中，11的很少一部分仅穿过线圈1，这部分磁通称为漏磁通，记作s1 ，同时，自感磁通11的大部分不仅穿过线圈1同时穿过临近线圈2，我们把这部分磁通称为线圈1对线圈2的互感磁通，记作21*。(*21中，下标“2”表示该量所在线圈，此处为线圈2，下标“1”表示产生该量的原因，此处为i1 ，其它类同),自感磁通链y11=N111，互感磁通链y21=N221 ，其中，N1、N2分别代表线圈1和线圈2的匝数。一般的，线圈在铁磁材料非饱和状态下工作，即，磁通与电流近似线性关系公式如（8-1）在线性媒质中，自感磁通链 （8-1）其中，L1称为自感系数，单位为亨利（H）。同样，在线性媒质中，互感磁通链 （8-2）其中，M21 称为 互感系数，单位为亨利（H）。(2) 同理，当线圈1开路，当变化的电流i2通过线圈2时，将在线圈2中产生变化的自感磁通22，同时，有部分磁通12穿过临近线圈1，12称为互感磁通。自感磁通链y22=N222，互感磁通链y12=N112在线性媒质中，自感磁通链 （8-3）其中，L2称为自感系数，单位为亨利（H）。在线性媒质中，互感磁通链 （8-4）其中，M12 称为 互感系数，单位为亨利（H）。(3) 如图 8-2所示，当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁通链为自感磁通链与互感磁通链的和。 （8-5） （8-6）将图 8-2中2号线圈绕向改变，即，如图 8-3所示，同样，当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁通链为自磁通链与互磁通链的差。 （8-7） （8-8） 注意：（）自感系数 L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，如式（8-5）、（8-6）所示；负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用，如式（8-7）、（8-8）所示。（2）对于线性电感 M12=M21=M（互易性），互感系数 M 只与两个线圈的几何尺寸、匝数 、 相互位置和周围的介质磁导率有关。8.1.2 耦合因数K工程上用耦合因数 k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度， 定义 （8-9） 一般有： （1）如果两个线圈靠得很近或密绕在一起，如图8-4（a）所示，此时k值可能接近1，理想情况下 k =1 ,称全耦合，满足11 =21 ，22 =12 ，漏磁通s为零。（2）如果两个线圈相隔很远或轴线垂直，如图，8-4（b），则K值很小，甚至可能接近于零。耦合因数 k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。（3）实际中，有时利用互感，例如，变压器、功率的传递、信号的采集等。有时避免互感，例如，为了减小电磁干扰，合理布置线圈，尽量减小K值。8.1.3 耦合电感上的电压、电流关系如图8-2和图8-3所示，当两个线圈分别流过时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。综合以上（8-5）至（8-8）式，根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为： （8-10） （8-11）其中,称为线圈1的自感电压，称为线圈2对线圈1的互感电压；同理称为线圈2的自感电压，称为线圈1对线圈2的互感电压。此时，线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。在正弦交流电路中，其相量形式的方程为 （8-12） （8-13）注意：上式的“”是根据磁通的相互交联，如图8-2为磁通相互增助，如图8-3为磁通相互削弱，为了便于反映“增助”或“削弱”作用和简化画图，引入“同名端”的概念。8.1.4 互感线圈的同名端 由于产生互感电压的电流在另一线圈上，互感电压的方向，不仅与两线圈的电流方向有关，还与两个线圈的绕向和相对位置有关。然而，在电路中不便于画出线圈的绕向和相对位置，通常采用标记“同名端”的办法反映它们的影响。同名端: 当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时流入或流出时，若产生的磁通相互增强增助，则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端，。或：当1号线圈施加变化的电流，而2号线圈开路时，那么在1号线圈中会有自感电压，2号线圈会有互感电压，这两个电压实际极性高（或低）的电位端称为同名端。用星号或小圆点等符号标记。例如，图 8-2 中线圈 1 和线圈 2 的（1、2）端或（1、2）端，用星号标示的端子互为同名端，同理，用小圆点标示的端子也互为同名端，当电流分别从这两端子同时流入或流出时，则互感磁通起相助作用。同理，图 8-3 中线圈 1 和线圈 2 的（1、2）端或（1、2）端，用星号标示的端子互为同名端，同理，用小D标示（或没有标示）的对应端子也互为同名端，当电流分别从这两端子同时流入或流出时，则磁通互感起相助作用。 注意：上述图示说明当有多个线圈之间存在互感作用时，同名端必须两两线圈分别标定。根据同名端的定义可以得出确定同名端的方法为：如下。 (1) 当两个线圈中电流同时流入或流出同名端时，两个电流产生的磁场将相互增强。(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会引起另一线圈相应同名端的电位升高。两线圈同名端的实验测定：实验线路如图 8-5 所示，当开关 S 闭合时，线圈 1 中流入星号一端的电流 i 增加，则在线圈 2 的星号一端产生互感电压的正极，电压表正偏。 有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再考虑画出实际绕向，而只画出同名端及电流和电压的参考方向即可。结论：电流的流进端与互感电压的正极性端互为同名端。即，若施感电流的流进端是有“同名端”标示，那么在另一线圈的互感电压的正极性端一定在有“同名端”标示的一端。反之亦然。否则，应加负号。互感电压受另一个线圈电流的控制，可用CCVS表示，如图8-6所示。注意：CCVS本应该在电感线圈上，为了作图清楚，将其移出线圈，上图中分别下移到线圈下端，当然也可以上移，当线圈水平时，就平移（左移或右移）。例8-1 ：如图8-7所示（a）、（b）互感线圈，已知同名端和各线圈上电流参考方向，试在图上标出互感电压（CCVS）的大小及极性，并写出每一互感线圈上的电压电流相量关系式和时域关系式。 解： (a) 如图8-7（a）所示。（1）去耦等效分析：用CCVS表示互感电压,如图8-7（a）所示。电流在施感线圈1的流入端是*端，那么在另一线圈的互感电压的正极性端一定是“*”端，即下端；同理，电流在施感线圈2的流入端是“非*”端，那么在另一线圈1的互感电压的正极性端一定是“非*”端，即下端。互感电压（CCVS）的大小及极性如图8-8(a)所示。相量关系式：时域关系式： （b）如图8-7（b）所示。(2) 去耦等效分析：用CCVS表示互感电压,如图8-7（b）所示。电流在施感线圈1的流入端是“非*”端，那么在另一线圈的互感电压的正极性端一定是“非*”端，即上端；同理，电流在施感线圈2的流入端是“非*”端，那么在另一线圈1的互感电压的正极性端一定是“非*”端，即下端。互感电压（CCVS）的大小及极性如图8-8(b)所示。相量关系式：时域关系式： 总结：上述的这种用CCVS表示互感电压，等效消除原电路中的互感M，称为去耦等效。等效后的电路即可作为一般无互感的电路来分析计算。含有耦合电感（简称互感）电路的计算要注意：以下几点。(1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算仍可应用前面介绍的相量分析方法。(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感电压。即，支路电压不仅与本支路电流有关，还与那些与之有互感的支路电流有关。（3）关键是用CCVS表示互感电压,即将互感M用电流控制电压源（CCVS）替代了，简称去耦等效分析。8.2 含有耦合电感电路的计算8.2.1. 耦合电感的串联（1）1. 顺向串联如图 8-9 所示电路为耦合电感的串联电路，电流从两线圈的同名端流入（或流出），称为顺向串联或顺接，此时互感起“增助”作用。 去耦等效分析: 根据电流在施感线圈的流入端与在另一线圈中互感电压的正极性端总是同名端。如图8-10，电流在施感线圈1的流入端是*端，那么在另一线圈的互感电压的正极性端一定是“*”端，即左端；同理，电流在施感线圈2的流入端是“*”端，那么在另一线圈1的互感电压的正极性端一定是“*”端，即左端。根据图8-10所示电压、电流的参考方向，得方程如下： 根据上述方程可以给出图 8-11所示的无互感（去耦）等效电路，即，去耦等效电路的参数为：R=R1+R2 L顺 （8-14）以上顺向串联，把原来的电感L1+L2,增加到L1+L2+2M，这样使得难于集成的较大电感成为可能。（2）2. 反向串联如图 8-12 所示的耦合电感的串联电路，电流从两线圈的异名端流入（或流出），称为反向串联或反接，此时互感起“削弱”作用。去耦等效分析:如图8-13，电流在施感线圈1的流入端是“*”端，那么在另一线圈的互感电压的正极性端一定是“*”端，即右端；同理，电流在施感线圈2的流入端是“非*”端，那么在另一线圈1的互感电压的正极性端一定是“非*”端，即右端。根据图8-13所示电压、电流的参考方向，得方程如下： 根据上述方程可以给出图 8-14所示的无互感（去耦）等效电路，即，去耦等效电路的参数为：R=R1+R2 L反 （8-15）总结:(1) 耦合电感顺向串联时，等效阻抗大于无互感时的阻抗。顺向串联时的相量图如图 8-15 所示。（2） 耦合电感反向串联时，等效阻抗小于无互感时的阻抗。反向串联时的相量图如图 8-16 所示。注意：（1） 互感不大于两个自感的算术平均值，整个电路仍呈感性，即满足关系： （2）综上讨论，可以给出测量互感系数的方法：把两线圈顺接一次，反接一次，根据式（8-14）、式（8-15），则互感系数为： （8-16）（3）多种多样的去耦等效电路不用死记，用CCVS表示互感电压,注意互感电压的大小和方向，才是根本。以下耦合电感的同侧并联、异侧并联、耦合电感的 T 型去耦等效等等，可以看做例题，结果可以不用记住，掌握去耦等效分析方法是关键。8.2.2. 耦合电感的并联1. （1）同侧并联图 8-17 为耦合电感的并联电路，由于同名端连接在同一个结点上，称为同侧并联。 去耦等效分析:如图8-18，电流在施感线圈1的流入端是“*”端，那么在另一线圈2的互感电压的正极性端一定是“*”端，即上端；同理，电流在施感线圈2的流入端是“*”端，那么在另一线圈1的互感电压的正极性端一定是“*”端，即上端。根据图8-18所示电压、电流的参考方向，得方程如下：（3）式代入（1）式，消去I2得（3）式代入（2）式，消去I1得根据（4）式和（5）式，可以给出图 8-19 所示的用自感表示互感的等效电路（无互感等效电路）。 2. 消去I1和I2解得总电压与总电流的关系：根据上述方程可以给出图 8-19 所示的无互感等效电路，其等效电感为： （8-17）2.（2） 异侧并联图 8-20 为耦合电感的并联电路，由于异名端连接在同一个结点上，称为异侧并联。 去耦等效分析:如图8-21，电流在施感线圈1的流入端是“*”端，那么在另一线圈2的互感电压的正极性端一定是“*”端，即下端，同理，电流在施感线圈2的流入端是“非*”端，那么在另一线圈1的互感电压的正极性端一定是“非*”端，即下端。根据图8-21所示电压、电流的参考方向，得方程如下：（3）式代入（1）式，消去I2得（3）式代入（2）式，消去I1得根据（4）式和（5）式，可以给出图 8-22 所示的用自感表示互感的等效电路（无互感等效电路）。 解得 u , i 的关系：根据上述方程可以给出图 8-22所示的无互感等效电路，其等效电感为： （8-18） 8.2.3. 耦合电感的 T 型去耦等效如果耦合电感的两条支路各有一端与第三条支路形成一个仅含三条支路的共同结点如图 8-23 所示，称为耦合电感的 T 型联接。显然耦合电感的并联也属于 T 型联接。（1） 同名端为共端的 T 型去耦等效 图 8-23 的电路为同名端为共端的 T 型联接。去耦等效分析:如图8-24，电流在施感线圈1的流入端是“*”端，那么在另一线圈2的互感电压的正极性端一定是“*”端，即上端，同理，电流在施感线圈2的流入端是“*”端，那么在另一线圈1的互感电压的正极性端一定是“*”端，即上端。根据图8-24所示电压、电流的参考方向，得方程如下：由上述方程可得图 8-25 所示的无互感等效电路。（2）（3） 异名端为共端的 T 型去耦等效 图 8-26 的电路为异名端为共端的 T 型联接。去耦等效分析:如图8-27，电流在施感线圈1的流入端是“*”端，那么在另一线圈2的互感电压的正极性端一定是“*”端，即下端，同理，电流在施感线圈2的流入端是“非*”端，那么在另一线圈1的互感电压的正极性端一定是“非*”端，即下端。根据图8-27所示电压、电流的参考方向，得方程如下：由上述方程可得图 8-28 所示的无互感等效电路。T 型去耦等效电路中 3 条支路的等效电感分别为：支路 3 ： （同侧取“ + ”，异侧取“”）支路 1 ： 支路 2 ： 总结：（1） 由于同名端的不同、连接方式的不同、电流参考方向的不同，均会引起去耦等效电路的不同，要想每种情况都记住，难度大、没必要可以不用强记，所以关键是利用CCVS表示互感电压，即去耦等效分析,然后，利用电路分析方法求解未知即可。（2） 去耦等效分析：可以只在图中用CCVS表示互感电压，列出方程求解即可，文字叙述没必要写出。例8-2求如图8-29（a）所示电路的开路电压。 解：去耦等效分析: 用CCVS表示互感电压，如图8-29（b）*。（* 电流在施感线圈1的流入端是“*”端，那么在耦合线圈2中的互感电压的正极性端一定是“*”端，即右端，大小为：jwM12。同理，电流不仅与线圈2有互感，同时与线圈3也有互感，电流在施感线圈1的流入端是“D”端，在线圈3的互感电压的正极性端一定是“D”端，即下端。 电流在施感线圈3的流入端是“非D”端，那么在耦合线圈1中的互感电压的正极性端一定是“非D”端，即右端，大小为：jwM31。同理，施感线圈3中的电流不仅与线圈1有互感，同时与线圈2也有互感，电流在施感线圈3的流入端是“非”端，在线圈2的互感电压的正极性端一定是“非”端，即左端，大小为：jwM23。)线圈2由于开路，电流为零。根据图8-29（b）列方程求解,开路电压 :（ d ） 例8-3 图8-30（a）为有互感的电路，若要使负载阻抗 Z 中的电流 i =0 ，问电源的角频率为多少？ 解法1：根据两线圈的绕向标定同名端，如图8-30（b）所示。去耦等效分析:如图8-30（c），电流在施感线圈1的流入端是“*”端，那么在耦合线圈2中的互感电压的正极性端一定是“*”端，即右端，大小为：jwM。同理，电流在施感线圈2的流入端是“非*”端，在线圈1的互感电压的正极性端一定是“非*”端，即右端。 根据图8-30（c）列方程求解,若要使负载阻抗 Z 中的电流 i =0 ，则上式左侧为0，即 解法2：直接应用 T 型去耦等效，得无互感的电路如图（d）所示，显然当电容和 M 电感发生串联谐振时，负载阻抗 Z 中的电流为零。因此有： ， 解法2尽管好似简单，但是需要记住去耦等效后的电路。8.3 空心变压器变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接电源，称为原边或初级回路；另一线圈接负载，称为副边或次级。变压器是通过互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。1.一、空心变压器电路图 8-31（a）为空心变压器的电路模型。2. 二、 空心变压器去耦等效分析用CCVS表示互感电压,如图8-31（b），电流在施感线圈1的流入端是“*”端，那么在耦合线圈2中的互感电压的正极性端一定是“*”端，即上端，大小为：jwM。同理，可得线圈1中的互感电压的方向和大小。根据图8-31（b）所示电压、电流的参考方向，得方程如下： 令 称为原边阻抗，称为副边阻抗。则上述方程简写为：从上列方程可求得原边和副边电流： （8-19） （8-20）根据式(8-19) 和式(8-20)可以分别画出原边等效电路图 8-32（a）和副边等效电路图8-32（b）首先讨论原边等效电路图 8-32(a)。令式（8-19）原边电流的分母为：则式（8-19）的原边电流为： （8-21）上式中的 Z1f 称为引入阻抗（或反映阻抗），是副边回路阻抗通过互感反映到原边的等效阻抗，它体现了副边的存在对原边电流的影响。 从物理意义讲，虽然原、副边没有电的联系，但由于互感作用使闭合的副边产生电流，反过来这个电流又影响原边的电流和电压。同样，根据图 8-32(b) 的副边等效电路。令式（8-20）副边电流的分母为：副边开路电压为： （8-22） 其中，副边开路时，原边电流 则式（8-20）的副边电流为： （8-23）上式中的 Z2f 称为原边回路对副边回路的引入阻抗，它与Z1f 有相同的性质。应用戴维宁定理也可以求得空心变压器副边的等效电路。例8-4 已知图8-33（a）空心变压器电路参数为： L1 =3.6H , L2 =0.06H , M =0.465H , R1=20, R2=0.08, RL=42,=314rad/s, ，求：原、副边电流 。 解：应用图8-33（b）（c）所示的原边、副边等效电路，得： 说明：以上解法是直接利用原边、副边等效电路，如果记不住也可以利用去耦等效分析，读者可以一试。8.4 理想变压器理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对单纯磁耦合电路的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。8.4.1理想变压器的条件（1） 变压器内无损耗，认为线圈的导线无电阻，即，R1=R2=0，做芯子的铁磁材料的磁导率为无穷大。（2） 全耦合， f1=f2=f，即耦合系数 （3） 自感系数L1、L2和互感系数M均为无穷大，但满足： 上式中 N 1 和 N 2 分别为变压器原边、副边线圈匝数， n 为匝数比。以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器对待，可使计算过程简化。8.4.2 理想变压器的主要性能 （1）1.变压关系 图 8-34 为满足三个理想条件的耦合线圈。由于 ，所以f1=f2=f因此 （8-24） 根据 (8-24)式得理想变压器的电路模型如图 8-35 所示。注意：理想变压器的变压关系与两线圈中电流参考方向的假设无关，但与电压极性的设置有关，若 u1、u2 的参考方向的“+”极性端一个设在同名端，一个设在异名端，如图 8-36 所示，此时 u1 与 u2 之比为： （2）2. 变流关系如图8-37所示，根据互感线圈的电压、电流关系（电流参考方向设为从同名端同时流入或同时流出），利用去耦等效分析（略）可得： 则 代入理想化条件： L1， 得理想变压器的电流关系为： （8-25）注意：理想变压器的变流关系与两线圈上电压参考方向的假设无关，但与电流参考方向的设置有关，若i1、i2的参考方向一个是从同名端流入，一个是从同名端流出，如图8-38所示，此时i1与i2之比为：（4） 变阻抗关系设理想变压器次级接阻抗 Z ，如图 8-39 所示。由理想变压器的变压、变流关系得初级端的输入阻抗为： （8-26）由此得理想变压器的初级等效电路如图8-40所示，把Zin称为次级对初级折合的等效阻抗。注意：理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大小，不改变阻抗的性质。（5） 功率性质由理想变压器的变压、变流关系得初级端口与次级端口吸收的功率和为： （8-27）以上各式表明：（1）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信号和能量的作用。（2）理想变压器的特性方程为代数关系，因此它是无记忆的多端元件。例8-5已知图8-41（a）电路的电源内阻RS=1k ，负载电阻 RL=10 。为使RL上获得最大功率，求理想变压器的变比 n 。 解：把副边阻抗折射到原边，得原边等效电路如图8-41（b）所示， 当 n2RL=RS 时电路处于匹配状态，由此得：10 n2 =1000 即 n2 =100 ， n =10例8-6 求图8-42（a）所示电路负载电阻上的电压 解法 1 ：列方程求解。原边回路有： 副边回路有： 代入理想变压器的特性方程： ， 解得 解法2 ： 应用阻抗变换得原边等效电路如图8-42（b）所示，则所以 本章小结：本章主要介绍了互感及同名端的概念，结合例题着重阐述了应用去耦等效法，分析含有耦合电感的电路；给出了理想变压器电压、电流、阻抗的变换关系，以及分析含有理想变压器的电路；习题8-1 、试确定图示耦合线圈的同名端。8-2 、试写出图示电路以网孔电流i1、i2表示的KVL方程。8-3 、图示电路，求：（1）当w=1 rad/s时的输入阻抗Z；(2) w为何值时电路发生谐振。8-4 、试写出图示电路的网孔电流的微分方程。8-5 、求题8-5图（a）所示一端口电路的戴维宁等效电路。已知L1= L2=10，M=