洛仑兹力的本质探究和应用.doc

洛伦兹力的本质探究及应用摘要：本文在分析比较前人对洛伦兹力认识的基础之上，经过多次对洛伦兹力的研究及翻阅多本关于洛伦兹力的书,对洛伦兹力性质的不足之处，推导过程，做功情况及作用效果，以及洛伦兹力与相关力的比较分析等方面进行了补充说明，再总结运用洛伦兹力的有关解题方法与步骤，最后利用洛伦兹力的知识解答相关例题，以此对洛伦兹力的本质及应用进行诠释。关键字：洛伦兹力；电场力 ；安培力 ；带电粒子；磁场 0 绪论关于洛伦兹力的本质这个话题有很多人已经去研究过，其中写得最全面的是贠红燕的怎样正确理解洛伦兹力这一文。该文中提到洛伦兹力是磁场对运动电荷的力，属于场力性质, 是宇宙中万有引力、电磁力、强力、弱力这四种基本作用力中的电磁力, 它是由磁场传递作用的。且洛伦兹力是一个矢量,是它的标量式, 角度的一个重要意义就是反应了各矢量间方向的关系, 式中是两矢量间的角度, 就反应了力的大小与两矢量方向间的具体关系1。但是这一文也有不足之处，很多观点只给出了结论，没写出得出结论的过程，及怎样有效地和相关力（安培力，电场力等）分开记忆并合理利用它来求解相关知识的习题等问题。本文就从这些问题入手，先分析总结前人的不足，提出自己的见解，再分析总结洛伦兹力，最后合理利用相关知识求解洛伦兹力的相关习题入手。对洛伦兹力进行了一个全面的阐述。1 前人对洛伦兹力本质的分析1.1 洛伦兹力的来历及大小 荷兰物理学家洛伦兹（18531928）首先提出了运动电荷产生磁场和磁场对运动电荷有作用力的观点，为纪念他，人们称这种力为洛伦兹力。其表达式为： 。电磁场与带电物质之间有密切的联系，其表现在：静止电荷Q受到静电场作用力为,而对于粒子电荷为q，速度为v的单个带电粒子来说，受到的电磁场的作用力为，则对带电粒子的系统来说，所受电磁场的作用力为：。这公式称为洛伦兹力公式，适用于任意运动的带电粒子2。1.2 洛伦兹力的定义在电磁学中，洛伦兹力F为磁场对运动电荷q的作用力，即运动电荷在磁场中所受到的力称为洛伦兹力。其矢量式 式中v是电荷的运动速度。在中学物理中，一般考虑电荷的运动速度与磁场方向垂直(电荷的运动速度与磁场方向平行时，垂直方向无磁感应强度分量，则所受洛伦兹力0)的情况。所以上式变为，可见洛伦兹力只改变电荷速度v 的方向，而不改变其大小，即洛伦兹力永远不会对运动电荷做功3。 1.3 洛伦兹力的性质洛伦兹力是磁场对运动电荷的力，属于场力性质，是宇宙中万有引力、电磁力、强力、弱力这四种基本作用力中的电磁力，是由磁场传递作用的。洛伦兹力是一个矢量规律，它的矢量表达式为，是它的标量式，角度的一个重要意义就是反应了各矢量间方向的关系，式中是两矢量间的角度，就反应了力的大小与两矢量方向间的具体关系。当=90即垂直时，有为最大的式子。以下是洛伦兹力的性质特征：(1)在国际单位制中，洛伦兹力的单位是牛顿，符号是N。(2)洛伦兹力方向总与运动方向垂直。(3)洛伦兹力永远不做功（在无束缚情况下）。(4)洛伦兹力不改变运动电荷的速率和动能，只能改变电荷的运动方向使之偏转4。1.4 洛伦兹力的产生条件及方向判断有运动电荷q，运动粒子的速度不为零且速度方向不与磁感应强度方向平行时即受到洛伦兹力，而受到电场力的条件为必须有电场及电荷Q。伸开左手，四指并拢且与大拇指在同一个平面，让磁感线垂直穿过手掌心，四指指向正电荷的运动方向，则和四指垂直的大拇指所指方向即为洛伦兹力的方向。但须注意，运动电荷是正的，大拇指的指向即为洛伦兹力的方向。反之，如果运动电荷是负的，仍用四指表示电荷运动方向，那么大拇指的指向的反方向为洛伦兹力方向。另一种对负电荷应用左手定则的方法是认为负电荷相当于反向运动的正电荷，用四指表示负电荷运动的反方向，那么大拇指的指向就是洛伦兹力方向。洛伦兹力的方向既垂直于磁感应强度的方向，又垂直于运动电荷速度的方向，即洛伦兹力总是垂直于磁感应强度和运动电荷速度所在的平面。1.5 洛伦兹力的力方向与磁场方向的关系 洛伦兹力的力方向与场方向的关系是洛伦兹力的方向垂直于磁场强度方向，且洛伦兹力的方向垂直于速度方向，与电荷的电性无关。2 对前人观点的补充与说明以上是前人对洛伦兹力性质的说法，我认为还有其不足之处，经过多次对洛伦兹力的研究及翻阅多本关于洛伦兹力的书，我从洛伦兹力的性质入手，分别从它的性质不足之处；推导过程；洛伦兹力做功情况；以及洛伦兹力与相关力（安培力，电场力）的比较分析中更全面的概述了洛伦兹力的本质。2.1 洛伦兹力的性质电流的本质是电荷的定向运动，从而有可能通过大量的实验证实带电粒子的运动既要激发磁场，又要接受磁场的作用。为了定量的研究磁场，这可从静电场的定义取得借鉴。之前用对静电场下了定义。这样定义的之所以能够反映静电场的性质，是因为库伦定律保证：若位于场点P的静止试探电荷从q改为kq，则它所受的电场力从改为k。就是说，对静电场中任意给定的点P，不论试探电荷有怎样的q，必定存在唯一的矢量使成立。公式清晰地表明试探电荷所受的静电场力如何依赖于其内因（电荷q）和外因（静电场）。现在要定义一个与静电场对应的物理量，国际上统一记作。因为磁场要对运动带电粒子施力，所以定义时可用运动点电荷作为试探工具。实验表明，对磁场中的任意给定点P，不论试探电荷有怎样的q和，必定存在唯一的矢量使下式成立：。可见，同的作用类似，是描述磁场中每点性质的物理量。称为磁感应强度。运动带电粒子在磁场中所受的力称为洛伦兹力，当空间中除磁场外还有电场时，带电粒子除受磁场力外还受电场力，总电磁力为。现代文献中洛伦兹力一词通常是指这一个总电磁力。为了不与总洛伦兹力混淆，必要时可把称为磁洛伦兹力或洛伦兹磁力5。其性质总结如下：(1)安培力是大量运动电荷所受洛伦兹力的宏观表现。(2)无论电荷的速度方向与磁场方向间的关系如何，只要粒子受洛伦兹力的作用，洛伦兹力的方向永远与电荷的速度方向垂直，因此，洛伦兹力只改变运动电荷的速度方向，不对运动电荷做功，也不改变运动电荷的速率和动能。所以，运动电荷垂直磁感线进入匀强磁场仅受洛伦兹力作用时，一定做匀速圆周运动。 (3)洛伦兹力是一个与运动状态有关的力，这与重力，电场力有较大的区别，在匀强电场中，电荷所受的电场力是一个恒力，但在匀强磁场中，若运动电荷的速度大小或方向发生改变时，洛伦兹力就是一个变力。2.2 洛伦兹力的推导过程安培力是洛伦兹力的宏观表现，故从安培力大小公式，可以反推得洛伦兹力公式6。如图1所示，设单个粒子的带电量为q，单位体积内自由粒子的个数为n，磁场的磁感应强度为，粒子定向移动速度为，导体的长度为 L，横截面积为S。图1 安培力的微观表现洛伦兹力Fig 1 Ampere force of the microcosmic performance - the lorentz force则总自由粒子数为：，总电荷数：，自由粒子全部流过导线的时间为：，则电流强度为：(电流表达式微观化) ，那么导体所受安培力 ( 安培力的微观表达式)，则单个粒子所受到的洛伦兹力为7：。2.3 洛伦兹力的做功情况及作用效果从洛伦兹力公式来看：对于只存在磁场而不存在电场的运动带电粒子洛伦兹力总与运动粒子的速度方向垂直，永远不能对运动粒子做功，只能改变粒子的速度方向，不能改变粒子的速度大小。运动粒子在磁场中的运动情况有三种：(1)粒子(不计重力)平行于磁场方向进人磁场后，带电粒子不受洛伦兹力的作用，即它不受合外力，粒子将会以原来的速度做匀速直线运动（如图2）。(2)粒子(不计重力)垂直磁场方向进入磁场后，带电粒子所受的合力即为洛伦兹力，它总与运动粒子的运动方向垂直，只改变速度的方向，不改变其大小，更不改变粒子动能。粒子将会做匀速圆周运动（如图3），且洛伦兹力充当向心力， 图2 粒子做匀速直线运动(v/B） 图3 粒子做匀速圆周运动（） Fig 2 Particles do uniform motion in a straight line Fig 3 Particles in uniform circular motion 则运动粒子做匀速圆周运动时，即洛伦兹力始终不对运动的带电粒子做功。(3)粒子(不计重力)的运动方向与磁场方向成角进人磁场后，此速度可分解为垂直方向与平行方向的分速度（和/ ），磁场对垂直方向有作用力，而对平行于磁场/ 方向无作用力。粒子将会做沿/ 方向的匀速直线运动和沿方向的匀速圆周运动，它的实际运动是等距螺旋运劝。运动轨迹是等距螺旋线。洛伦兹力仍然充当向心力，对运动粒子不做功8。2.4 洛伦兹力和安培力的比较洛伦兹力和安培力都是磁场对运动电荷的作用力，两者都遵从左手定则，但这两种力也有不同之处，具体表现为：(1)安培力是电流( 大量运动电荷定向移动形成的) 在磁场中所受的力，是宏观力，而洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中所受的力，是个微观力，从这两个力的公式及的对比中，可以看出，宏观力和微观力是一一对应的。 I- q，L- v，F- F，所以安培力是洛伦兹力的宏观表现。(2)安培力使通电导线在磁场中移动，而从洛伦兹力的公式可知，当带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，洛伦兹力=0，表明电荷沿磁场方向运动不受磁场力，则粒子在磁场方向做匀速直线运动；而粒子垂直于磁场方向进入磁场时，电荷作匀速圆周运动；当入射方向与磁场方向有一定的夹角，即以速度与磁场方向成角运动时，电荷的运动可以看成是由两个分运动组成：一个是与磁场方向平行的匀速直线运动，速率；另一个是以速率在洛伦兹力作用下的匀速圆周运动。这种情况下，带电粒子在磁场中的运动轨迹为螺旋线。安培力是磁场对通电导线的作用力，尽管安培力和洛伦兹力是两个不同的概念，但由于导线中的电流是由大量自由电子沿导线定向移动形成的，因此安培力与洛伦兹力之间必然存在某种关系，这就是通常所说的安培力是洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力是安培力的微观本质9。2.5 洛伦兹力和电场力的比较(1)与带电粒子运动状态的关系。带电粒子在电场中所受到的电场力的大小和方向与其运动状态无关，即电场力() 的大小与运动电荷的运动速度无关，而洛伦兹力的大小和方向与带电粒子本身运动的速度紧密相关，即。(2)决定大小的因素。电荷在电场中所受到的电场力()与本身电荷量q的多少和电场的强弱()有关，即电场力对运动电荷和静止电荷都有力的作用，而运动电荷在磁场中所受到的洛伦兹力（矢量式，标量式）与本身电荷量的多少、运动速度的大小、速度的方向和磁感应强度方向间的关系、磁场的磁感应强度均有关。即从洛伦兹力的公式可知，当带电粒子静止（= 0）时，所受洛伦兹力,表明磁场对静止电荷无力的作用，只对运动电荷有力的作用。(3)方向的区别。电荷所受电场力的方向一定与电场方向在同一条直线上(正电荷同向、负电荷反向)，但带电粒子所受洛伦兹力的方向始终与磁感应强度的方向垂直。即洛伦兹力方向总是垂直于速度方向和磁场方向所决定的平面。(4)做功情况的区别。电场力可以改变运动电荷速度的大小(加速或减速电场)及方向，对运动电荷做功(正功或负功)，而洛伦兹力不能改变运动电荷速度的大小，只能改变速度的方向，在改变方向的同时，洛伦兹力的方向也随之改变，继续保持和速度方向垂直，所以洛伦兹力类似于力学中的向心力，总是处处指向圆心且永远不做功。通过以上对洛伦兹力、安培力、电场力三者类比讨论，已使我们对洛伦兹力有了比较明确的认识，但洛伦兹力在解题过程中还是会出现一定的问题，以及怎样合理快速运用洛伦兹力的知识来求解有关题还需要作进一步的说明。3 分析总结洛伦兹力的解题思路及方法3.1圆心的确定因为洛伦兹力F始终指向圆心，根据，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是入射点和出射点）所受洛伦兹力F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画出延长线，两延长线的交点即为圆心。或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置10。3.2半径的确定和计算利用平面几何关系，求出该圆的可能半径（或圆心角）并注意以下两个重要的几何特点：（如图4所示） 图4 粒子做匀速圆周运动时半径与圆心角的确定Fig 4 Particles to determine the radius and centre Angle when the uniform circular motion (1)粒子速度的偏向角等于回旋角，并等于AB线与切线的夹角（弦切角）的2倍，即；(2)相对的弦切角相等，与相邻的弦切角 互补，即。3.3粒子在磁场中运动时间的确定利用回旋角（即圆心角）与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于3600计算出圆心角的大小，由公式可求出粒子在磁场中的运动时间11。3.4带电粒子穿过圆形区域磁场(1)沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出。(2)同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，若射出方向与射入方向在同一直径上，则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值。(3)在圆形区域边缘的某点向各方向以相同点速率射出某种带电粒子，如果粒子的轨迹半径与区域圆的半径相同，则穿过磁场后粒子的射出方向均平行（反之，平行入射的粒子也将汇聚于边缘一点）12。4 准确利用洛伦兹力求解带电粒子在匀强磁场中运动问题的几个案例例1 . 如图5所示，在y0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感强度为B，一带正电的粒子以初速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正方向的夹角为，若粒子射出磁场的位置与O点的距离为L，求该带电粒子的荷质比。解：由洛伦兹力的有关知识及题目可知：带正电的粒子射入磁场后，由于受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动，再由左手定则可知，粒子沿顺时针方向运动从x轴负半轴射出磁场（如图）。令出射点为M，则OM = L。由“切线、弦”可得圆心O（如图6）。 图5 粒子以V0入射磁场图 图6 粒子做圆周运动的轨迹图Fig 5 Particles in magnetic fields where V0 incident Fig 6 Particles do circular motion locus diagram 由几何关系可知： 又因为洛伦兹力提供向心力，即，所以可得 由、解得。 例2 .如图7所示，在边界为CD、EF的狭长区域内，匀强磁场的磁感应强度为，方向垂直纸而向里，磁场区域宽度为，电子以不同的速率从边界CD的S处沿垂直磁场方向射入磁场，入射方向与CD的夹角为已知电子的质量为m，带电量为e。为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足什么条件？（粒子不计重力） 图7 有界磁场入射图 图8 有界磁场做圆周运动图Fig 7 Incident figure bounded magnetic field Fig 8 Bounded magnetic field to do circular motion diagram 解：由洛伦兹力提供向心力可得：，则 ，可知当m、e、一定时，速率越大则粒子运动的轨迹半径R也越大。设当电子以速率射入磁场时，其运动轨迹恰好与边界EF相切，则有 连接圆周上的两点SM即得圆周弦，运用“切线、弦”可得圆心O，从而画出电子的轨迹（如图8所示）。由图8，运用几何知识可知： 由、解得： 所以，为使电子能从EF边界射出，电子的速率应为： 注意：有“切线、弦”的意识，发现隐含条件，抓住临界状态，迅速而准确的做出轨迹、图形，是求解该类题型的关键。例3在真空中半径为m的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟y轴在坐标原点O处相切，磁场0.3T垂直于纸面向里，在O处有一放射源S可沿纸面向各个方向射出速率均为m/s的带正电的粒子，已知粒子荷质比为 ，则粒子在磁场中运动的最长时间t有多大？分析：由带电粒子在磁场中运动时，洛伦兹力提供向心力可知：可得，又因为粒子在磁场中运动时间的确定知识，可知，当、 一定时，只要角最大则粒子在磁场中运动的时间就最长，且其所对的弦也最长。又因为入射点与出射点间的距离即弦长，所以粒子要在磁场中的运动时间最长，必定从O点射入磁场，而从M点射出（如图9所示）。 图9 边界粒子做圆周运动 Fig 9 Boundary particles do circular motion 解：由洛伦兹力提供向心力知识可得：，则 由弦SM和半径R可作出粒子在磁场中的运动轨迹（如图9）。由图易知：因为真空中半径为m，而粒子做圆周运动的半径为m，则由几何关系可得：，则，所以 则粒子在磁场中运动的最长时间为：。 5 总结关于洛伦兹力本质探究及应用的这个课题，还有很多可以继续研究的方面，比如：带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动的多解问题等等。在针对物理学中出现的有关洛伦兹力的问题不知道怎么解答的原因和表现的具体解决方法还没有一个更好的方案。所以我的研究方向就是直接针对产生的原因提出解决的方案。参考文献：1贠红燕.怎样正确理解洛伦兹力J.石家庄学院学报,2007,23(3):78-89.2陈雅.关于洛伦兹力的三点讨论J.中学物理,2008,18(4):68-76.3王维国.运动磁场中的力与能量问题探讨J.物理通报,2011,28(1):245-256.4王海光.李子军.洛伦兹力的反作用力是电荷对电磁场的作用力J.中学生数理化(高二版,2009,26(9):72-79.5祝敏.浅议安培力与洛伦兹力J.技术物理教学,2000,48(4):56-68.6刘文芳,孙启美.安培力与洛伦兹力之间的关系J.武汉教育学院学报,1997,23(3):42-52.7胡志凌.小议洛伦兹力公式的推导方法J.长春师范学院学报,2007,12(4):28-32.8方林.洛伦兹力做功微探J.天津理工学院学报, 1999,69(2):42-56.9王志成.再论安培力与洛伦兹力的关系J.中国电力教育,2008,10(22):160-175.10徐高本.求解带电粒子在匀强磁场中运动问题“ 三法”J.中学物理,2010,24(13):98-103.11山灵芳,张玉英.究竟如何用洛伦兹力解释安培力J.河南教育学院学报(自然科学版),2002,46(3):60-72.12王栋,谭敏,王玮.从洛伦兹力做功看“分”与“合”的思想J.数理化学习(高中版),2010,6(23):61-72.13Ashkin A. 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