泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1].doc

第二章 度量空间与赋范线性空间第2章 度量空间与赋范线性空间 度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是维欧几里得空间的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念 在微积分中，我们研究了定义在实数空间上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了上现有的距离函数，即对。度量是上述距离的一般化：用抽象集合代替实数集，并在上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。 【定义2.1】 设是一个非空集合，：是一个定义在直积上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 ；（2） 对称性 （3） 三角不等式 ；则称是中两个元素与的距离（或度量）。此时，称按成为一个度量空间（或距离空间），记为。 注：中的非空子集，按照中的距离显然也构成一个度量空间，称为的子空间。当不致引起混淆时，可简记为,并且常称中的元素为点。 例2.1 离散的距离空间 设是任意非空集合，对中任意两点令 显然，这样定义的满足距离的全部条件，我们称是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。例2.2 维欧几里得空间表示维向量的全体组成的集合，也表示个实数组成的数组的全体形成的集合。对，定义 （2.1）下面来证满足度量定义中的条件（1）（3）。由式（2.1）不难验证满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用时的离散型Minkowski不等式（见1.5节）。 取，则有因此，是一距离空间。称为维欧氏空间。注：若在中规定 （2.1）则也是距离空间（读者自己验证）例2.3 所有数列组成的集合，对定义 （2.2） 那么是上的度量。式（2.2）通常称为Frchet组合。显然满足度量条件（1）（2），我们来证也满足条件（3）。事实上，对及由于函数是单调增函数，因此由得在上市不等式两边同乘再求和，便得因此是距离空间。例2.4 连续函数空间对定义 （2.3）则是上的一个度量。 显然满足度量条件（1）（2）。对另一连续函数由所以例2.5 函数类（参见1.6节）,对定义 （2.4）则是上的一个度量，是度量空间。由 根据Lebesgue积分的性质有。反之，若， 则。所以，满足度量定义2.1中条件（1）；条件（2）显然满足；对另一函数，根据1.6节Minkowski不等式有 即满足度量定义条件（3），所以是上的一个度量，是度量空间。 例2.6 是本性有界可测函数的全体，即上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。对定义 （2.5） 则是上的一个度量，是度量空间。 由式（2.5）显然可知，满足度量条件（1）（2）。现证满足度量条件（3），对及存在且使从而有令得。所以是上的一个度量，是度量空间。2.1.2 距离空间中点列的收敛性非空集合引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。【定义2.2】设是一个度量空间，称点列收敛于，是指叫做点列的极限，记作或。度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。【定理2.1】 度量空间中的收敛点列的极限是唯一的，且若收敛于则的任意子列也收敛于。证明：首先证明定理的第一部分。设都是的极限，则对有令有必然有因此这说明最多有一个极限。其次证明定理的第二部分。设收敛于，于是，存在自然数，当时，。由于，从而当时，也有故收敛于。证毕。下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。例2.7 空间中点列按度量式（2.1）收敛于的充分必要条件是对每个有，即按坐标收敛。 证明：对，由于因此，当时，一定有，。 由于所以，对，当时。证毕。 同样我们也可以证明中点列按距离式（2.1）收敛于的充要条件是对于每个，有。 例2.8 空间中点列按式（2.3）度量收敛于的充分必要条件是在上一致收敛于。 证明：由知对当时，即对任意当时，所以在上一致收敛于。 若在上一致收敛于，则对当时，对于恒有从而即。证毕。若按式（2.4）定义度量，则就构成的子空间，令由勒贝格控制收敛定理，在中收敛于显然但不一致收敛于。例2.7，例2.8表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的。但当我们引入了适当的距离后，都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便。 习题2.11 对，定义是上的距离吗？若是，给出证明，若不是，为什么？2 对，规定证明是距离空间。3 把所有收敛数列的集合记为，对定义证明是距离空间。4 设是度量空间，在中若。证明：。5 设及，证明点列收敛于的充分必要条件是依坐标收敛于，即对每个自然数2.2 度量空间中的开、闭集与连续映射在第1章中,我们对空间中的点集进行了详细讨论,介绍了开集、闭集等一系列概念，为了更深入研究度量空间中集合的内在结构，本节我们将把这些概念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相似。2.2.1 度量空间中的开、闭集【定义2.3】 设是度量空间，是一个正数，点集称为以为中心、以为半径的开球，或的邻域，记为或；点集称为以为中心、以为半径的闭球，记为或。中的点列收敛于，用邻域的术语来说，就是：对于的任意邻域，存在自然数，使当时，。例2.9 设是离散距离空间，则，。例2.10 设，是的子空间，则，。设是的子集，是中的一个定点，则与的关系只能有如下三种情况：（1）在“附近”全是的点；（2）在“附近”根本没有的点；（3）在“附近”既有的点，又有不属于的点。根据以上情况，我们给出如下定义：【定义2.4】 设是距离空间，如果存在的邻域，则称是的内点；如果是的内点，则称是的外点；如果既非的内点，有非的外点，即的任何邻域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的界点或边界点；如果的任意邻域都含有中的点，即，则称是的聚点。注：的聚点不一定是的内点，还可能是的界点；其次，的内点必属于，但的聚点则可以属于，也可以不属于。由此可知的界点不是聚点，便是孤立点。中的点，对来说可分为内点、界点、外点或聚点、孤立点、外点三种。例2.11 若为离散距离空间，则中均为内点且为的孤立点，中的点均为的外点。【定义2.5】 设是距离空间，如果中每一点都是的内点，则称是开集。例2.12 任何开球是开集。证明：设，则，令，那么，事实上，若，则，由于所以。 【定理2.2】 设是度量空间，中开集有如下性质： （1）空间及空集是开集； （2）任意多个开集的并是开集； （3）有限多个开集的交是开集。证明： 性质（1）、（2）显而易见，现证性质（3）。设是中的有限个开集，即 对，及一切，有，由于是开集，所以存在，使，取，则对，有，可见，所以是的内点，有的任意性知，是开集。证毕。注：任意多个开集的交不一定是开集，例如，并不是的开集。对于度量空间的子集，的聚点全体记为，称为的导集，集合称为的闭包。例2.13 设，则，。 【定义2.6】 设是距离空间，是的子集，如果的每一个聚点属于，则称为闭集。显然，为闭集的充要条件是。【定理2.3】 （开集与闭集的对偶性）设是距离空间，若是的开集，则是的闭集；若是中的闭集，则是开集。证明：设为开集，是的聚点，则的任一邻域都有不属于的点，这样不可能是的内点，从而，即，由于的任意性，知是闭集。反之，设为闭集，若不是的内点，则的任意邻域至少有一个点属于的点，而且异于，这样是的聚点，从而，和假设矛盾。证毕。正是由于开集和闭集有这样的对偶关系，我们常将闭集看成是由开集派生出来的一个概念。由定理2.1与定理2.2得闭集的性质：【定理2.4】 设是距离空间，中的闭集具有如下性质：（1）及是闭集；（2）任意多个闭集的交是闭集；（3）有限多个闭集的并是闭集。注：任意多个闭集的并不一定是闭集，例如 ，则是中闭集，但，不是中的闭集。2.2.2 度量空间上的连续映射 【定义2.7】 设与是两个度量空间，是到的一个映射，若对，存在，当时，有，则称在点连续；若在中每一点都连续，则称为上的连续映射。度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间时，映射就是度量空间上的函数。例2.14 设是距离空间，是上一定点，对，是到上的连续映射（函数）。事实上，对，由下式即可证明是连续映射。【定理2.5】 设，是两个度量空间，：，则下列命题等价：（1）在点连续；（2）对，存在，当时，有；（3）对于中任意点列，若，则。证明： 显然； 由于，对存在自然数，当时， ，即，因此，即； 反证法，若在点不连续，则存在，使对任意，存在，且，但，特别取，则有，但，这意味着，但不成立，矛盾。证毕。下面定理是通过开集与闭集来刻画连续映射的。【定理2.6】 设，是两个度量空间，：是一个映射，则下述命题等价： （1）是连续映射； （2）对于中任何开集，是中的开集； （3）对于中任何闭集，是中的闭集。 证明：命题设，则。因是中开集，所以存在，使，由在点连续，所以对于上述，存在，当时，有，即，故。所以是的内点，由的任意性，是开集。 命题对，及，取，那么是中开集，而，所以存在，使得，即,这说明在点连续。由的任意性知，在的每一点都连续。 命题对于任何闭集，的余集是开集。根据映射像也原像的性质有。命题对于任何开集，是闭集，同样。证毕。 注：关于映射的性质留作习题。 下面介绍一个十分有用的特殊映射同胚映射。 【定义2.8】 设，是两个距离空间，是上的一一映射，是的逆映射，若及都是连续映射，则称是到上的同胚映射；若从到上存在某一同胚映射，则称与是同胚的。例2.15 是到上的同胚映射，与是同胚的。由于两个同胚的距离空间点之间一一对应，所有邻域也是一一对应的，而且连续概念只依赖于邻域的概念，因此，在只讨论与连续性有关问题时，可以把两个距离空间看成一个。习题2.21.证明闭球是闭集。2.设是距离空间，表示全体内点构成的集合，称为的内部，证明是开集。3.设是距离空间，证明是闭集的充要条件是对于任意，若，则。4.证明从离散距离空间到任意距离空间的映射：是连续映射。5.设是一度量空间，证明是上的连续函数。6.设是度量空间，是一个非空闭集，对，记作，证明：对任意，集合是开集。7.设与是度量空间中的闭集，且，证明存在开集,，使,且。8.设是度量空间，若，证明对任意，集是无限集。9.设是度量空间，,证明：（1）若，则；（2）；（3）；（4），并举例说明等号未必成立。10.设是度量空间，证明：（1）中每个非空闭集必为可列个开集的交；（2）中每个非空开集必为可列个闭集的并。11.设，是两个非空集合。：是一个映射，证明：。2.3 度量空间中的可分性、完备性与，列紧性2.3.1 度量空间中的可分性 有理数集在实数集中的稠密性，实数集的完备性及有界数列必有收敛子列是数学分析的理论源泉。本节将把实数空间这几个重要性质推广到一般的距离空间中。【定义2.9】 设是一度量空间，与都是的子集，若，则称在中稠密。由定义2.9及2.2节有关定义、定理易证如下定理。【定理2.7】 设是度量空间， ，则如下说法等价：（1）在中稠密；（2）对，存在，使；（3），有；（4）对，存在点列，使。例2.16 有理数在实数中稠密，有理数也在无理数中稠密。注：稠密概念在数学分析中学中是很有用的，当考察距离空间是否具有某种性质时，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通过极限过程得出上相应的结论。【定义2.10】 称度量空间是可分的，是指存在中一可列集，使在中稠密。例2.17 欧氏空间是可分的。 证明： 取是有理数，则是可列集。对及，记，取有理数满足 ，令，则 ，由于 所以在中稠密。例2.18 连续函数空间是可分的。证明：设为系数是有理数的多项式组成的集合，为可数集。对任一连续函数，由Weierstrass定理对上任一连续函数，必存在一列多项式，在上一致收敛于。则对，存在多项式且满足,取多项式，满足,于是，从而在中稠密。例2.19 是可分的度量空间。证明：由勒贝格积分的绝对连续性可证上的有界可测函数全体中稠密，例2.18中的集合在中稠密，所以是可分的。下面举一个不可分度量空间的例子。例2.19 有界数列空间，在上定义度量 ，则在度量下是不可分的。证明：用反证法，若是可分的，则存在可列稠密集。取的一个子集或，与区间可以通过二进制小数建立如下对应：，该对应是一一映射，因此是不可数集。以中的所有点为中心，为半径的开球满足。因此。由于可数，不可数，所以至少存在中两个不同点落入某个开球。直接计算，显然，但，矛盾，故不可数。2.3.2 度量空间中的完备性我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy列，因为数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。为此，我们引入一个重要的概念度量空间的完备性。【定义2.11】 度量空间中的点列称为Cauchy列，是指对任意，存在自然数，当时，有；度量空间称为完备的，是指中任何Cauchy列都是收敛的。由定义易知中的收敛点列是Cauchy列。中的Cauchy列若有子列收敛，则Cauchy列也收敛。例2.21 欧氏空间是完备的。证明：设是中任一Cauchy列，则对，存在自然数，当时，有，于是，对每个坐标所形成的数列,这说明是Cauchy列，因此，存在实数，满足，记作，则。这样有。例2.22 空间是完备的。证明：设是中任一Cauchy列，则对，存在自然数，当时，有，即对任意，必有，令，有，则一致收敛于。而，所以，且，故空间是完备的。例2.23 空间是完备的。证明：设是中的Cauchy列，其中，则对，存在自然数，当时，下式成立对每个，也有成立，这样对每个存在，有。令，则且。事实上，在中令，得到对一切，成立。又因为，因而存在实数，使得对所有，成立。这样就有。这就证明了，由，可知对一切，下式成立所以，因而是完备的。注：不完备距离空间是存在的。例如有理数域就是不完备的，再如按空间的距离构成的度量空间是不完备的。事实上，是的子空间。在中取一点，如取，令则且，由勒贝格控制收敛定理可以证明收敛于中的函数，因而是Cauchy列，而，所以是中的Cauchy列，但不可能对等于一个连续函数，故不收敛于中某个元，所以作为的子空间是不完备的。从以上例子可以看出，同一集合由于距离定义不同会得到本质上不同的结果。【定理2.8】 度量空间的完备子空间是闭集；一个完备度量空间的闭子空间是完备的。证明：设是距离空间的完备子空间，设，则存在，因为是收敛的，所以它是中一Cauchy列，又因为是完备的，所以，即是闭的。设是完备的距离空间，是的闭子空间，设是中的Cauchy列，则必是中的Cauchy列，因完备，故，所以，而是闭的，故，这就证明了是完备的。类似于空间上的闭区间套定理 ，我们在距离空间中可得到闭球套定理。【定理2.9】 设是度量空间，是中一列以为中心，以为半径的闭球，则是完备的充要条件是若且，则必有惟一点。证明：对，由，知,由于，从而，因此，是中的基本列，由于是完备的，所以必有，使。再在式中令，由距离函数的连续性得到因此，从而。如果又有中点，从而，令，即得。所以，即中只有一点。设是中的基本列，由基本列定义知，对存在，当时，有 在中作一列闭球。当时，由于得知 所以 另一方面，的半径，则有惟一点 从而，所以。即是完备的。一般的度量空间，如果不是完备的，应用起来往往很困难。例如，方程解的存在问题，在不完备的度量空间中解方程，即使近似解的序列时基本列，也不能保证这个序列有极限，从而也就不能保证方程在该解空间内有解，因此研究能否在任意度量空间中通过“添加”一些“点”，使之成为完备化的距离空间是很有意义的。康托将有理数域完备化成实数域的方法为解决此问题提供了重要借鉴。用他的思想方法解决了度量空间的完备化问题。【定义2.12】 设，是两个度量空间，如果存在满影射，使得对一切，都有，则称是到的等距映射，称与是等距的。注：等距影射一定是同胚映射。显然，凡是等距的度量空间，由度量导出的性质全是一样的，因此，当只限于讨论与度量空间有关的性质时，对彼此等距的度量空间可以不加区分。【定理2.10】 （度量空间的完备化定理）对于每个度量空间，必存在一个完备的度量空间，使得等距一个在中稠密的子空间，如除去等距不计，是惟一的。由于这个定理证明冗长，且一般泛函分析教材均有证明过程，这里从略。例2.24 有理数全体按距离所成度量空间是不完备的，它的完备化空间就是全体实数按距离所成的距离空间；是上全体多项式函数，按度量所成度量空间是不完备的，它的完备化空间是；按空间的度量构成的度量空间是不完备的，它的完备化空间是。2.3.3 度量空间中的列紧性在实数集中，有界数列一定存在收敛子列，但这个结论不能推广到一般的度量空间中。例如，在上的三角函数系是空间中的一个有界集，但其中任意两个不同元素距离等于，不可能存在收敛子列。因此，有必要引入下面的概念。【定义2.13】 设是度量空间，如果中的每一点列都存在一个子列收敛于中某一点，则称为列紧集；如果中的每一点列都存在一个子列收敛于中某一点，则称是紧集。由此可见，一个集合是紧集则必是列紧集，但反之不然。例2.25 ，但。因此，是列紧集，但不是紧集。由定义我们可以得出结论：列紧集的子集也是列紧集；有限个列紧集的并一定是列紧集；列紧的闭集一定是紧集。例2.26 ，是有界集，则是列紧集。证明：，记，由有界知存在，使。对个数列是有界的，对有子列收敛，仍是有界的，故又存在收敛子序列，是的子集。依次类推，得到自然数集的子列，使都收敛，因此在中收敛，即为列紧集。根据定以来直接判断一个集合是否列紧往往比较困难，为了便于刻画和判断一个集合的列紧性，我们引入全有界集概念。【定义2.14】 设是度量空间，是全有界的，如果对，存在中有限个点满足。【定理2.11】 全有界集是有界的，且是可分的。证明：设是度量空间，是全有界的，则对存在，使，因此对一切，有，使，所以（是有限数）故有界。另一方面，若全有界，对，存在有限集使，令，则是可列集。任取，存在某个，使，且，说明在中稠密，故可分。注：定理2.11逆命题不真。【定理2.12】 如果是度量空间中的列紧集，则是全有界集。证明：若不是全有界集，那么存在，使得中任意有限个点为中心，半径为的球并不能盖住。取，球不能盖住，于是存在且即有，同样也不能盖住，存在且，既有，如此继续下去，得到中点列满足。可见点列的任何子列均不能收敛，这与是列紧集矛盾。【定理2.13】 如果是完备的度量空间，则是列紧集的充要条件是为全有界的。证明：必要性由定理2.12即得。现证充分性：设是全有界集，取，对存在以中有限个点为中心，1为半径的球的并盖住，所以必有某个球中含有的某子列，该子列记为；取，同样存在以中有限个点为中心，为半径的球盖住，所以必有某个球含有子列的子列，记为，如此进行下去，可得子列串为，其中后一个是前一个的子列，且。从这一个子列串中重新选择一个子列，即将子列串排成下面的表，选取对角线元素而得 我们来证明是Cauchy列.事实上,对任意,取自然数，使，则对任何，有，所以即是Cauchy列。由完备，可知是收敛列，证得为列紧集。注：在完备的度量空间中，集的列紧性和全有界性是一致的；在一般的度量空间中，列紧性强于全有界性，全有界性强于有界性；在空间中三者是一致的。现在我们将古典分析中闭区间上连续函数的某些性质推广到度量空间的紧集上。【定理2.14】 设是度量空间中的一个紧集，是定义在上的一个连续函数，那么是有界的，且上下确界可达。证明：先证有界。若不然，则存在，使，由于是紧的，有子列在中收敛，即有，使。由于在点连续，有，从而，这是不可能的。所以在上是有界的。记，由上确界定义，同样可以找到中点列，满足，由紧性，存在子列及，使，由在点连续，得，显然，于是。同理可证下确界可达。关于判断重要空间中子集的列紧性有下述著名的Arzela-Asccoli定理。【定理2.15】 集合是列紧的充要条件是下面两个条件成立： （1）是一致有界的，即存在常数，使得每个，： （2）是等度连续的，即对，存在，使对任意，当及时，成立。该定理证明较为繁杂，这里从略。习题2.31.设，对，问：（1）是否完备； （2）是否可分；（3） 是否全有界； （4）是否列紧。2.证明稠密性具有传递性即若在中稠密，在中稠密，则在中也稠密。3.证明列紧集中的Cauchy列必是收敛列。4.举例说明完备度量空间的连续像未必是完备的。5.设是度量空间，证明在中稠密的充要条件是无内点。6.记，在上定义度量为，证明: 是可分的且是完备的。7.设是列紧集且是闭集，证明是紧集。8.设是一列非空紧集，若满足，则。9.设是度量空间，是中紧集，记证明：当，那么；如果将换为列紧集，结论是否成立？10.证明紧集的连续像是紧集。11.设是度量空间，是紧集，是闭集，记若，证明。12.试证空间不是列紧的。13.证明空间是不可分的。2.4 Banach压缩映像原理作为完备度量空间概念的应用，我们介绍压缩映像原理。压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性的理论依据，是数学和工程计算中最常用的方法之一。2.4.1 压缩映像原理在众多情况下，求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程 （2.7）为例来说明这一点。求微分方程（2.7）满足初始条件的解与求积分方程 （2.8）等价。我们做映射 则方程（2.8）的解就转化为求，使之满足。也就是求这样的，它经映射作用后仍变为。因此，求解方程（2.7）就变为求映射的不动点。这种求解方程变为求解映射的不动点的做法在数学中是常用的。那么如何求解映射的不动点呢？在中求方程解的逐次逼近法给了我们启示。例2.27 求Kepler方程的解，其中,为已知常数，。解:做映射，使，求方程的解就转化为求映射的不动点，即求一点，使。任取一实数，做如下迭代序列，得 由于 所以 因而，对任何自然数、，有因，故当时，上式后部分极限为0，因此是中的Cauchy列，所以，使。又是连续映射，对，令，有，故为映射的不动点，即为所求Kepler方程的根。这个根是惟一的，与选取无关。事实上，如果方程还有另一根，则有这是不可能的，故。这种迭代原理是解决映射不动点问题最基本的方法。在解决上述问题中，看到实数完备性的重要作用。代数方程、微分方程、积分方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一个一般原理，即压缩映象原理，压缩映象原理就是某一类影射不动点存在和惟一性问题，不动点可以通过迭代序列求出。【定义2.15】 设是一个度量空间，是一个映射，称是的不动点，是指。【定义2.16】 设是一个度量空间，称为压缩映像，是指存在常数满足。从定义2.16可见，压缩映像一定是连续映射。因为若，由，得。【定理2.16】（Banach压缩映像定理） 设是完备度量空间，是压缩映像，那么存在惟一的不动点。证明：任取，作迭代序列。为证是收敛仅需证明它是Cauchy点列，因为是完备的。由于于是对任何自然数及，有可见，因此是Cauchy点列。从而存在中使。我们来证便是的不动点，事实上由得，即，故。最后来证惟一性。设另有一不动点，即有，因所以，即。证毕。注：（1）从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任意选取，最终都能收敛到惟一不动点。（2）该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式，即因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的，所以定理中的压缩映像不需要在整个空间上有定义，只要在某个闭集上有定义，且像也在该闭集内，定理的结论依然成立。在实际应用过程中，有时本身未必是压缩映像，但的若干次复合是压缩映像，这时仍然有惟一不动点，这就是如下所述的对压缩映像原理的改进定理。【定理2.17】 设是完备度量空间，是一个映射。如果存在某个自然数，使是压缩映射，那么存在惟一的不动点（这里是的次复合，即）证明：是压缩映像，所以存在惟一的不动点，即，由于这说明仍是的不动点，而的不动点惟一，所以，即是的不动点。若另有不动点.即，则，那么也是的不动点，根据不动点的惟一性有证毕。2.4.2 压缩映像原理的应用本小节通过代数方程、微分方程、积分方程来说明定理2.16与定理2.17的具体应用。例2.28 线性代数方程均可写成如下形式 （2.9）其中,。如果矩阵满足条件则式（2.9）存在惟一解，且此解可由迭代求得。证明：取，定义度量为构造映射为，那么方程（2.9）的解等价于映射的不动点。对于，由于 记，由条件，因此是压缩映像，于是有惟一不动点，所以方程（2.9）有惟一解，且此解可由如下迭代序列近似计算求得。例2.29 考察如下常微分方程的初值问题 （2.10）如果在上连续，且关于第二元满足条件，即这里是常数，则方程（2.10）在上有惟一解。证明：方程（2.10）的解等价于如下方程 （2.11）的解。取连续函数空间，定义其上的映射为则积分方程（2.11）的解等价于的不动点。对任意两个连续函数，由于 令，则，故是压缩映射，从而有惟一不动点，即积分方程（2.11）有唯一解，从而微分方程（2.10）在上有惟一解。例2.30 设是定义在上的二元连续函数，则对于任何常数及任何给定的连续函数，如下型积分方程 (2.12)存在唯一解。证明：取连续函数空间，其上定义映射：为则方程（2.12）的解等价于的不动点。由于在上连续，于是在有最大值，记为，即对任何两个连续函数，由于 一般地，对自然数，归纳可得因此 注意到，因此存在自然数，满足这说明是压缩映射，由定理2.17，有惟一不动点，亦即型积分方程（2.12）有惟一解。例2.31（隐函数存在定理） 设函数在带状域,中处处连续，且处处有关于的偏导数。如果存在常数和，满足,则方程在区间上必有惟一的连续函数作为解，即证明：在完备空间中作映射，使对于任意的函数，有按定理条件，是连续的，所以也是连续的，即，故是到的映射。现证是压缩映射，由微分中值定理存在使 又所以令，则,且按中距离的定义，有，所以是压缩映像，存在使，即，即，所以习题2.41用压缩映像原理证明方程只有惟一解，其中。2证明下述线性方程组有惟一解，并写出求方程近似解的迭代序列。3用压缩映像原理构造迭代序列来求下述微分方程的解。4设是上的连续函数，记证明下述积分方程当时有惟一解。5设是完备度量空间，如果，证明存在惟一不动点。2.5线性空间在许多数学问题和实际问题中，我们遇到的空间不仅需极限运算，而且要有所谓的加法和数乘的代数运算，如本章所考察的函数空间和序列空间实际上也是一个代数系统。当着眼于空间中的代数结构时，就必须引入线性空间（或向量空间）的概念。2.5.1 线性空间的定义【定义2.17】 设是非空集合，是实数域或复数域，称为上的线性空间，如果满足以下条件：对任意两个元素，存在中惟一个元素与之对应，称为与的和，记为，且满足：（1）交换律；（2）结合律；（3）在中存在一个元素，称为零元，使；（4）对每个，存在，使，称为的负元。对任意数及，存在中惟一元素与之对应，记为，称为与的数乘，且满足：（1）结合律 ：（2）；（3）数乘对加法分配律；（4）加法对数乘分配律。如果，称为实线性空间；如果（复数域），称为复线性空间。例2.32 欧式空间是一线性空间。,令与加法为；数乘为；零元素；负元素为，易验证是线形空间。例2.33 按函数的加法与数乘运算组成一线性空间。例2.34 空间是线形空间。设是实数列，如果，则称数列是次收敛数列，次收敛数列全体记为，称空间。对中任何两个元素，和任何实数（或复数），定义现在证明这样定义的和仍是中的元素。因为 所以则。容易证明，所以按上述加法与数乘运算成为线性空间。对于线性空间，以下几个概念是经常用的。1. 线性相关与线性无关中的元素称为是线性相关，如果存在不全为零的数组使得；反之，若由，必然导出，则称线性无关。例2.35 线性空间，那么是线性无关的，而是线性相关的。2. 线性组合设，如果存在，使得则称是的线性组合，或称可用线性表示。3. 子空间设，如果对中线性运算是封闭的，即对，有，对，有，则称是的一个线性子空间，简称子空间。易验证子空间本身也是线性空间。及都是的线性子空间，称它们为平凡的子空间；而称其他的子空间为真子空间。设为的一个非空子集，中任意有限向量的线性组合全体记为，称为由张成的线性包，容易证明是的线性子空间，并且是中包含的最小线性子空间，即若是中包含的线性子空间，那么必有。4. 线性子空间的维数与基如果线性空间中可找到个线性无关的向量，且任意个向量均线性相关，则称的维数为，记为；若对任何自然数，中都有个线性无关的向量，则称是无限维的，记为。维线性空间中个线性无关的向量称为空间的一组基。例2.36 空间是维线性空间。向量组构成的一组基，称它为的标准基。例2.37 设是线性空间，且线性无关，则是的二维子空间。例2.38 是无穷维线性空间，因中存在无穷多个线性无关的向量。5. 直和设是线性空间，是的子空间，如对，可惟一表示成其中，则称是的直接和，简称为直和，记为或。容易证明，如果是的直和，在中任取非零元素，则是线性无关的。6.函数空间设是一集合，是上某些实（或复）值函数所组成的函数簇，在中按通常方法规定函数的加法及中的数与函数的乘法如下如果当，恒有，则称为上的一个线性空间，此线性空间称之为函数空间。今后，如不特殊说明，对函数空间总是采取上述的加法及数乘运算。例2.39 是线性子空间，是线性空间。7. 数列空间设是数列的全体，在中定义“加法”与“数乘”运算，即对定义则是上的一个线性空间，此线性空间称为数列空间。如不另外说明，对空间及其子空间都采取这种加法和数乘运算。例2.40 ，空间是的子空间，是线性空间。8. 凸集在线性空间中还有一类常用集合凸集。一个集合称为凸集，如果对中任意两个元素及有。特别，当是的子空间时，一定是凸集，相反凸集未必是子空间。2.5.2线性算子与线性泛函【定义2.18】 设与是两个线性空间，映射称为线性算子，如果对及，有。特别，当时，线性算子称为线性泛函，是实数域时，称为实线性泛函，是复数域时，称为复线性泛函。是线性算子，记分别称为线性算子的零空间和值域空间。容易证明是的子空间，而是的子空间。例2.41 设是线性空间，且，则是到上的线性算子，当时，称为相似算子，当时，称为零算子，当时称为单位算子。例2.42 连续函数空间，其子空间，即上全体连续可微函数组成的线性空间，定义算子，则是线性算子。例2.43 连续函数空间，定义泛函，则是线性泛函。例2.44 设与分别是维与维线性空间，取一组基,中取一组基。证明：此时对任何一个线性算子，存在相应一个矩阵，使得若，则，其中。证明：对每个是中的元素，存在个数，使得于是有例2.44 表明，在两个有限维线性空间之间的线性算子均可在合适的基下通过矩阵表达。因此，线性代数所研究的矩阵本质上是有限维空间之间的线性算子。本书的主要目的是研究无限维空间上的线性算子。【定义2.19】 两个线性空间与称为是同构的，是指存在一个线性算子是一一映射。两个同构的线性空间维数相同，且代数结构一致。事实上，任何维线性空间一定与空间同构。（证明留作习题）。习题2.51设是线性空间，是非空子集，证明是线性空间且满足对任一子空间，若，则。2设是线性空间的两个子空间，证明及均是子空间。是否是子空间？3设,是两个线性空间，是线性算子，证明和分别是与的子空间。4证明：对欧式空间，任意线性泛函都惟一存在，这个确定的实数，使对每个，都有。5下列函数集合按照函数的加法及数乘运算是否构成线性空间？（1）上所有次数的多项式全体；（2）上所有次数的多项式全体；（3）上满足的函数全体；（4）上连续且周期为的函数全体；（5）上一切单调函数全体。6设是维实线性空间，证明与同构。2.6赋范线性空间在前几节中我们在集合上引进了度量的概念，并且在度量的意义下研究了点列的收敛及其映射的性质。在泛函分析中，特别重要并非常有用的一类度量空间实赋范线性空间。在赋范线性空间中的元素可以相加或数乘（即进行线性运算），元素之间不仅有距离，而且每个元素有类似于普通向量长度的叫做范数的量。2.6.1 赋范线性空间的定义及例子【定义2.20】 设是线性空间，若对于中每个元素，按照一定法则对应一个实数满足：（1）且；（2）；（3）。则称为的范数，称为以为范数的赋范线性空间。对于赋范线性空间，我们可以用公式定义元素与之间的距离，容易证明满足距离的三个条件，因而是一个度量空间。从而在赋范线性空间中邻域、开集、收敛性、完备性、可分性、列紧性等概念都有确切的定义。称中的点列依范数收敛于，是指，记为或简记为。完备的赋范线性空间称为空间。例2.45 欧氏空间，连续函数空间,空间,空间在下列范数下均是赋范线性空间，而且是空间，即这些范数导出的距离与前几节讨论的度量空间一致，因而是空间。注：对于同一线性空间可以用不同的方式引进范数，例如在中也可以用来定义范数，这时，它仍是空间。例2.46 仅有有限项非零的所有实数列组成的集合，它是的子空间，也是线性空间，在中定义范数为则是赋范线性空间，但不是空间。证明：是赋范线性空间易证，仅需证在范数导出的度量意义下不完备，取由于当使，有所以是中的列，但它不收敛于中的点。若不然，存在，使，于是，求得数列为，这个数列的每一项均非零，因此，矛盾。按范数也是一个不完备的赋范线性空间。注：在线性空间中引入距离，使之成为距离空间，称为线性距离空间，若能导入范数，使之成为赋范线性空间且由范数导入的距离和原距离一致时，称之为可赋范的，若线性距离空间满足（1）；（2）；则是可赋范的（证明留作习题）不可赋范的距离空间是存在的，例如数列空间（2.1节例2.3），对，如令，则条件不能满足。事实上，如果，则，而。2.6.2 赋范线性空间的性质性质2.1 设是赋范线性空间，若，则是有界数列。证明：因，所以对，存在自然数，当时，于是令，则对一切有，即有界。性质2.2 设中点列及数域中数列满足则：（1）加法连续 ；（2）数乘连续 。证明：（1）由，得（2）因，所以有界，使，于是 所以性质2.3 范数是的连续函数。证明：由，对，取，则当时，有，所以是的连续函数。【定义2.21】 设是一线性空间，与是上的两个范数，如果，则，称强于；如果，称与等价。性质2.4 强于存在常数，使。证明：若上述不等式成立，显然比强，充分性得证。下面证明必要性，用反证法。若不等式不成立，则对任何自然数，存在，使，令，于是，但不成立，这与比强矛盾。证毕。由性质2.4可知，两个范数与等价当且仅当存在常数使下面不等式成立例2.47 在连续函数空间中定义两种范数为则比强，但两个范数不等价。证明：若，则函数列在上一致收敛于，由一致收敛函数性