函数的来源与发展应用.doc

函数的来源与发展应用姓名：梁钰坤 学号：19120112202927指导老师：谭忠一、 函数的产生 马克思曾经认为，函数概念来源于代数学中不定方程的研究由于罗马时代的丢番图对不定方程已有相当研究，所以函数概念至少在那时已经萌芽 自哥白尼的天文学革命以后，运动就成了文艺复兴时期科学家共同感兴趣的问题，人们在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自转和公转，那么下降的物体为什么不发生偏斜而还要垂直下落到地球上?行星运行的轨道是椭圆，原理是什么?还有，研究在地球表面上抛射物体的路线、射程和所能达到的高度，以及炮弹速度对于高度和射程的影响等问题，既是科学家的力图解决的问题，也是军事家要求解决的问题，函数概念就是从运动的研究中引申出的一个数学概念，这是函数概念的力学来源十六、十七世纪，欧洲资本主义国家先后兴起，为了争夺霸权，迫切需要发展航海和军火工业。为了发展航海事业，就需要确定船只在大海中的位置，在地球上的经纬度；要打仗，也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题， 这就促使了人们对各种“运动”的研究，对各种运动中的数量关系进行研究，这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础。二、 函数的发展历程1.早期函数概念几何观念下的函数十七世纪伽俐略(GGalileo，意，15641642)在两门新科学一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，15961650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。 1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系。2.十八世纪函数概念代数观念下的函数1718年约翰柏努利(Johann Bernoulli ，瑞，16671748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。1755，欧拉(LEuler，瑞士，17071783) 把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”18世纪中叶欧拉(LEuler，瑞，17071783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。”他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。3.十九世纪函数概念对应关系下的函数1821年，柯西(Cauchy，法，17891857) 从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。1822年傅里叶（Fourier，法国，17681830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837年狄利克雷(Dirichlet，德，18051859) 突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托(Cantor，德，18451918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，18801960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。4.现代函数概念集合论下的函数1914年豪斯道夫(FHausdorff)在集合论纲要中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。1930 年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元，元素y称为因变元。”三、函数理论1、定义：函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。函数f中对应输入值的输出值x的标准符号为f(x)。包含某个函数所有的输入值的集合被称作这个函数的定义域，包含所有的输出值的集合被称作值域。若先定义映射的概念，可以简单定义函数为，定义在非空数集之间的映射称为函数。2、函数的有界性设函数f(x)的定义域为D，数集X包含于D。如果存在数K1，使得f(x)=K2对任一xX都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。如果存在正数M，使得|f(x)|=M对任一xX都成立，则称函数f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界。函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界。3、函数的单调性设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调增加的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。4、函数的奇偶性设f(x)为一个实变量实值函数，则f为奇函数若下列的方程对所有实数x都成立：f(x) = - f( - x) 或f( -x) = - f(x) 几何上，一个奇函数与原点对称，亦即其图在绕原点做180度旋转后不会改变。奇函数的例子有x、sin(x)、sinh(x)和erf(x)。设f(x)为一实变量实值函数，则f为偶函数若下列的方程对所有实数x都成立：f(x) = f( - x) 几何上，一个偶函数会对y轴对称，亦即其图在对y轴为镜射后不会改变。偶函数的例子有|x|、x、x2、cos(x)和cosh(sec)(x)。偶函数不可能是个双射映射。5、反函数一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y把x表示出，得到x= f(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= f(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= f(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= f(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作x=f-1(y).。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。6、复合函数设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域Dg中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域Df内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为y=f(u)=fg(x)称为复合函数（composite functions)，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)7、六类基本初等函数初等函数: 由基本初等函数经有限次的四则运算和复合所得的函数称为初等函数，否则称为非初等函数我们将六类函数称为基本初等函数。它们是：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。(1) 常值函数 ， (2) 指数函数 ， ， (，)函数的值域是，图形总经过点(0，1)当时， 函数严格单凋上升；（实线）当时，函数严格单调下降（虚线）与 的图形关于轴对称(见图2-9)。(3) 对数函数 ，(，)对数函数与指数函数互为反函数，由反函数性质知对数函数与指数函数的图形关于直线对称。对数函数的值域是，图形总经过点(1,0)，当时，函数严格单调上升；当时，函数严格单调下降与的图形关于轴对称(见图2-10)。（4） 幂函数 ，其中。幂函数的定义域根据值的不同而不同当是有理数时(其中、是整数，且、互质)，其定义域见下表：定义域为奇数为偶数为奇数为偶数当是无理数时，定义为，故定义域为。可见不论()为何值，幂函数在总有定义。幂函数的图形当时，函数的图形在第一象限，总经过点(1，1)，当时，函数严格单调上升；当时，函数严格单调下降函数和互为反函数，图形关于直线对称(见图2-11和图2-12)(5) 三角函数正弦函数 ，；余弦函数 ，；正切函数 ，0，l，2，；余切函数 ，0，1，2，正弦和余弦函数的周期为，值域为1，1。正切和余切函数的周期为，值域为，注意，在微积分中，三角函数的自变量一般总是用弧度。(6) 反三角函数因为三角函数不是一一对应的，因此我们只能分别在它们的一个严格单调分支上来讨论反函数反正弦函数 ，1，1，；反余弦函数 ，1，1，；反正切函数 ，；反余切函数 ，反正弦和反正切函数在定义域内严格单调上升且是奇函数，而反余弦和反余切函数在定义域内严格单调下降它们的图形分别见图215图218四、 函数在当今科学和行业中的应用例：在经济学中要用到很多的函数，这里我们分析解决经济问题的一些函数1、需求函数一般情况下，一种产品的市场需求量与该产品的价格密切相关 ，产品价格越高，需求量越小。如果我们只考虑价格的变动对需求量的影响，价格以外的其它因素不予考虑，在这种情况下，产品价格与需求量有关系。需求量可以看成是价格的一元函数，称为需求函数，它们的关系可以记作：.一般来说, 需求函数为价格的单调减少函数.常见的需求函数有以下几种类型:(1) 线性需求函数 (2) 二次需求函数 (3) 指数需求函数 需求函数的反函数,就是价格函数, 记作：它反映产品的需求与价格的关系.在需求函数中最简单的是线性需求函数.一般形式为： 最大需求量为（当时），最高销售价为2、供给函数供给函数是站在产品生产厂家的立场上，在其他情况不变的条件下，只考虑销售价格与供给量之间的关系。一般情况下，供给量是价格的函数，一般都假设供给函数为线性函数，称为供给函数，记为：供给函数为价格的单调增加函数.常见的供给函数有线性函数, 二次函数, 幂函数,指数函数等.其中线性供给函数为使某种产品的市场需求量与供给量相等的价格,称为均衡价格.当市场价格高于均衡价格时, 供给量将增加而需求量相应地减少,这时生产的“供大于求”的现象必然使价格下降; 当市场价格低于均衡价格时, 供给量将减少而需求量增加, 这时会产生“物资短缺”现象,从而又使得价格上升. 市场价格的调节就是这样来实现的.例1 当大米收购价为每千克2.5元时, 某收购站每天能收购3000.若收购价每提高0.1元,则收购量可增加500,求大米的线性供给函数.解 设鸡蛋的线性供给函数为则有 解得 所求供给函数为 3、总成本函数、收入函数与利润函数在生产和产品的经营活动中,成本、收入和利润这些经济变量都都可以看作是产品的产量或销售量的函数，分别称为总成本函数，记为：收入函数，记为：利润函数，记为：总成本由固定成本和可变成本两部分组成，固定成本与产量无关；可变成本随产量的增加而增加，即 总成本函数是的单调增加函数.要评价企业的生产状况的好坏情况,需要计算产品的平均成本, 即生产件产品时,单位产品成本平均值, 记作：,则其中 称为平均可变成本.如产品的单位售价为,销售量为,则总收入函数为总利润等于总收入与总成本的差,于是总利润函数为例3 已知某厂生产灯泡的总成本函数为求当生产10个灯泡时的总成本和平均成本.解 由题意,产量为10个时的总成本为产量为10个时的平均成本为参考书目及网页：1张志强.期权理论与公司理财.北京：华夏出版社，20002郑明川.等期公交易的理论与实务M.杭州：浙江大学出版社，19993王志伟.希克斯经济思想研究M.北京:北京大学出版社,1996.4阎达五社会会计M.北京:中国财政经济出版社,1989./view/bdccfc868762caaed