必修2第一章再次系统整理.docVIP

一、几何体的认识（1）棱柱棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱.直棱柱的定义:侧棱 底面的棱柱叫直棱柱.正棱柱的定义:底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.棱柱的性质:棱柱的各个侧面都是 ,所有的侧棱都 ,直棱柱的各个侧面都是 .正棱柱的各个侧面都是 .棱柱的两个底面与平行于底面的截面是 多边形.过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是 . 特殊的四棱柱：平行六面体: 的四棱柱; 直平行六面体: 的平行六面体;直四棱柱: 的四棱柱;长方体: 的直平行六面体;正方体: 的长方体方体.1.在长方体中：体对角线长为，外接球直径；棱长总和为；全(表)面积为，体积；2、立方体设正方体的棱长为，则 体对角线长为， 全面积为， 体积，内切球半径为,外接球半径为,与十二条棱均相切的球半径为,则,且（2）棱锥：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是 那么这个多面体叫做棱锥.当底面是 ，且 ,是正棱锥.正棱锥各侧棱 ,各侧面都是 ，各等腰三角形底边上的高 .(它叫做正棱锥的斜高)在正三棱锥中： 侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.（3）正四面体：在正四面体中：设棱长为，则正四面体中的一些数量关系：全面积；体积；对棱间的距离；外接球半径；内切球半径；CBAA（4）圆台、棱台定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台； 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.特点棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是 梯形；侧棱的延长线相交于一点.特点圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线 交于一点；母线长都相等.1.给出四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四棱柱.其中正确的命题个数是() A.0 B.1 C.2 D.32.(2011课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()4.如图所示，E、F分别为正方体ABCDA1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面DCC1D1上的投影是_.(填序号)5、线段的三视图分别是长度为的线段，则长度为？二、 几何体体积计算：1圆柱、圆锥、圆台的侧面积（1）圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的推导（棱柱、棱锥、棱台的侧面积推倒）S圆柱 = S圆锥 = S圆台 = 2柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体 = (S是底面积，h为柱体高)V锥体 = (S是底面积，h为锥体高)V台体 = (S，S分别为上、下底面面积，h为台体的高)3球的体积： ； 球的表面积：4、长宽高分别为a、b、c、的长方体对角线长、 外接球的半径：棱长为a的立方体的对角线长： 外接球半径： 内切球的半径：与12条棱都相切的半径：5、立方体截取的正三棱锥、侧面为等腰直角三角形的三棱锥的体积分别是：6、正四面体的内切球的半径： 外接球的半径：练习题1、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）A B C D 2、若三个球的表面积之比是，则它们的体积之比是_ 3已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（ ）A B C D 4、如果两个球的体积之比为,那么两个球的表面积之比为( )A B C D 5、一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm，高是 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积、表面积和体积 6、求棱长为a的正四面体表面积以及外接球和内切球的体积？8、正方体中，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点，现在沿三角形GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉的这块体积是原正方体体积的几分之几？9、在半径为的圆柱形容器内，放入4个半径为的小球，放稳定后向其中注入水，使得水面恰好淹没小球，则水面高度为？10、如图所示，已知E、F分别是棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、CC1的中点，求四棱锥C1B1EDF的体积 11、 直三棱柱各侧棱和底面边长均为，点是上任意一点，连结，则三棱锥的体积（ ）ABCD12、如图，在三棱柱中，若，分别为，的中点，平面将三棱柱分成体积为，的两部分，那么 13、已知三棱台中，高求三棱锥的体积求三棱锥的体积求三棱锥的体积三、 斜二测画法中的面积问题()1、如图为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中点B的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为（） 2、如图ABC是水平放置的ABC的直观图，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是（ ）3、已知正ABC的边长为a,则其平面直观图ABC的面积是_4、已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形,则原三角形的面积是_ 5、正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是 6、 等腰梯形 ABCD 上底边 CD=1，腰 AD=CB= 2 ，下底 AB=3，按平行于上、下底边取 x 轴，则直观图 ABCD的面积为_7、利用斜二测画法得到的图形，有下列说法：三角形的直观图仍是三角形；正方形的直观图仍是正方形；平行四边形的直观图仍是平行四边形；菱形的直观图仍是菱形. 其中说法正确的序号依次是 .四、 最短距离问题1、长方体中，AB=3，BC=4，=5，现在有一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点去获取食物，试画出它的爬行最短路线，并求其路程的最小值。1、正三棱锥V-ABC的侧棱长为1，AVB=40,E和F分别是棱VB和VC上的点，求三角形AEF的周长的最值。2、若正棱锥的底面边长与侧棱长相等,则该棱锥一定不是( )A三棱锥B四棱锥C五棱锥D六棱锥3、在正三棱柱中，AB=2，=2，由顶点B沿棱柱侧面（经过棱）到达顶点,与的交点记为M.求(1)三棱柱侧面展开图的对角线长。(2)从点B经M到的最短路线长及此时的值。4、国庆期间，要在一圆锥形建筑物上挂一宣传标语。经测量得圆锥母线长3米，高米，为了美观需要，在底面圆周上找一点m拴系彩绸的一端，沿圆锥的侧面绕一周挂彩绸，彩绸的另一端仍回到原处m，则彩绸最少要多少米？五、四个公理及其应用1.公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 判断 的依据.2.公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面）判断 的 主要依据.三条推论:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面经过两条相交直线,有且只有一个平面经过两条平行直线,有且只有一个平面3.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线判断 的主要依据.4公理4：平行与同一条直线的两条直线平行。垂直于同一条直线的两条直线位置关系：平行、相交、异面。练习1、 三个平面分空间为几部分2、下列说法正确的是？(1)两条直线可以确定一个平面 (2)若，则 (3)空间中相交于同一点的三条直线在同一平面内(4)若两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 (5)两平面有3个公共点，则两面重合 (6)两两相交的3条直线确定4个平面 (7)几何体的截面是平面与几何体表面的交线3、如图所示，已知空间四边形ABCD，E、F分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，求证直线EF、GH、AC交于一点4如图272，棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1、C1D1的中点， （1）求证：E、F、B、D四点共面； （2）求四边形EFDB的面积5、异面直线上3点，上5点共8点可确定多少个不同平面？6、下列为真命题的是？(1)，则与异面直线 (2)与异面，与异面，则与异面(3)与异面，则与异面 (4)，则(5)异面，则异面 (6)与异面，则与不垂直(7)，与异面，则至少之一与相交7、正方体的12条棱可构成多少对异面直线？8、下列正确的为？(1)到不共线三点等距离的点有且只有一个，且为的外心(2)到三边等距离的点有且只有一个，且为的内心(3)异面，则过有且只有一个平面与垂直 (4)异面，过点有且只有一个平面与垂直 (5)三个角为直角的四边形一定为矩形(6)四面体的四个面中直角三角形最多3个六、平行与垂直的证明(1)线面平行思考途径 I.转化为直线与平面无公共点；II.转化为线线平行；III.转化为面面平行；.转化成面面垂直。abaaabbaa支持定理 ； ； 配图助记（2）线线平行：思考途径 I.转化为判定共面二直线无交点； II.转化为二直线同与第三条直线平行；III.转化为线面平行；IV.转化为线面垂直；V.转化为面面平行.支持定理 ；ababa配图助记（3）面面平行：思考途径 I.转化为判定二平面无公共点；II.转化为线面平行；III.转化为线面垂直.支持定理 ；ababObaabag配图助记（4）线线垂直：思考途径 I.转化为相交垂直；II.转化为异线面垂直；III.转化为线与面垂直；支持定理 ；所成角为900；aabPAOa配图助记（5）线面垂直：思考途径 I转化为该直线与平面内任一直线垂直；II转化为该直线与平面内相交二直线垂直；III转化为该直线与平面的一条垂线平行；IV转化为该直线垂直于另一个平行平面；V转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 支持定理 ；配图助记albaOablabaaaba（6）面面垂直：思考途径 I.转化为判断二面角是直二面角；II.转化为线面垂直.支持定理 二面角900；配图助记aabbaa二、题型归类1、 加入了三角形全等的元素例1 四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC=45，SA=SB求证： SABC；例2 设P是ABC所在平面外一点，P和A、B、C的距离相等，BAC为直角求证：平面PCB平面ABC 2、立方体为载体的证明题的特点例3 正方体中，求证;例4 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D的中点，求证：平面MNP平面A1BD例5 已知：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点求证：A1F平面BED例6 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：A1