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3.8 选址模型3.8.1 问题描述设有m个村庄 各有小学生人，现要合建一所小学校，使全部学生所走的总路程最短，问应如何选择校址？3.8.2建立模型设Ai的坐标为(xi,yi) ,（i=1,2,3m）校址在 A(x,y)处，那么全部学生所走的总路程S为：设ei为方向上的单位向量。若令则 =0 与 =0 等价于 (3.8.1)可知S 的最小值只能在Ai（i=1,2,3m）（在这些点S不可导）和满足（3.8.1）的点去找。我们可以证明：若有点A(x,y)满足(3.8.1)，则S(A)达最小值。注：(1)（3.8.1）看来很简单，但实际上十分难解。一般可考虑在矩形区域minxixmaxxi，minyiymaxyi上用迭代法求数值解,即的近似解。3.8.3 三角形的费尔马点AA1A3A2图3.8.3考虑在选址问题中，当m=3，ni =1，i=1，2，3时的特例要在 所在平面上找一点A，使A到三顶点距离之和最小. (费尔马问题)显然A点不应在之外。（1）当的内角都小于120时，由上述（3.8.1）即得： (3.8.3)对(3.8.3)两边分别点乘, 得到下面方程组 (3.8.4)解得：，即AA2A1A3图3.8.4此时，满足（3.8.1）的A点必唯一存在，并称为费尔马点。S=小于任意两边边长之和，此结论若应用于电缆或管道的铺设工作中，则可节省材料。（2）当的最大内角120时可设想：原来最大内角S3S4, 则Ta的总长Tb的总长. A BC S引理：设点S是ABC的费尔马点，则其费尔马距离 .证明：在ABS中用余弦定理得方程视BS为未知数，解得同理，在ACS中解得从而，费尔马距离.定理：记Ta与Tb总长分别为La与Lb，则当且仅当时，.证明：先证明当ABCD组成一个平行四边形时定理成立，然后考虑一般情况。由平行四边形的对称性易知，对角线AC与BD的交点E必在Ta和Tb上，而且E将Ta和Tb分别平分为两部分，同样，E也将分别平分为两部分，即 La是ABE的费尔马距离的两倍；Lb是AED的费尔马距离的两倍；且. 由引理得同理得可以立刻看出. 现在考虑一般情况 如图15，沿着 ASa和平行移动 AC至使经过的中点，并且沿着和平行移动BD至，使也过. 因，故因此，平移后的斯坦纳树总长不变，这就把一般情况化为了平行四边形上的问题 这在前面已证明了。作业有两个村庄分别位于XOY平面的点A(-2,5)与点B(2,7)处，（单位：km）它们要在河边（直线
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