2013届高考数学专题突破：转化与化归思想中的“入口”策略.doc

转化与化归思想中的“入口”策略 “解题想要快，转化要先行，这个道理谁都知道，可是从何处开始转化，如何找到转化的入口，总是让我们迷惘，真是万事开头难”这是一个高三学生在学习中的苦恼。下面我们就来探讨如何寻找和构建实现转化的解题“入口”。一根据动与静的联系实施转化xyO（图1）【例1】椭圆的焦点为，点P为其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是 .【入口分析】题中运动变化的是点P，静止的是椭圆与其两焦点，随P而变化，可从锐角到钝角变化，区分锐角与钝角的中间量为直角，只要能够确定为直角的位置就可以求出P的横坐标的取值范围，故只需确定为直角的位置即可。解析：椭圆中a=3，b=2，c=，当为直角时，以FF为直径做一个圆与元椭圆相交于两点PP（如图1），在椭圆位于圆内的弧上任取一点P连F2P并延长交圆于A，连F1和F，为直角，的外角必为钝角。由圆x2+y2=5与椭圆方程联立即可解出x1,2=，故xp(,)。【评注】研究动点问题，通常通过观察动点的变化规律，找准谁动、谁静，再根据动与静的关系确定特殊位置，实现从“动”到“静”的转化，从而构想出相应的模型，实现证明和求解。A1 C1 B1 MA C P1 BP（图2-2）【例2】 如图2-1，在正三棱柱ABCABC中，AB3，AA4，M为AA的中点，一只蚂蚁从BC上一点P出发，沿棱柱侧面经过棱CC到点去觅食，且PC=BC。A1 C1 B1 MA C B P （图2-1）求：（）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（）求蚂蚁走过的最短路线的长度。【入口分析】题中的路径和点N的位置是“动”的，PN，NM为线段时路径PM最短；点P、M和各侧面及侧棱CC1是“静”的，M与P在不同的侧面内，若能将其化归到同一个面内，就可知两点间的距离最短。解析：（）沿AA1将正三棱柱ABCABC的侧面展开得一个长为，宽为的矩形，其对角线边长为.（图3-2）（图3-1）（）如上图2-2，将侧面BBCC绕棱 CC旋转120使其与侧面AACC在同一平面上，点运动到点的位置，连接MP，则MP就是由点沿棱柱侧面经过棱CC到点的最短路线，在tMAP中，由勾股定理得MP2=（3）2+22=29， MP=【评注】对于几何中的翻折、对称问题一般通过抓住题中的动态关系，将动态问题静态化，采用曲直互化，实现将立体问题平面化，解决问题时简捷、直观。二根据量的变与不变实施转化【例3】如图3-1，平面中两条直线和相交于点O，对于平面上任意一点M，若、分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对（，）是点M的“距离坐标”已知常数0，0，给出下列命题： 若0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且仅有1个；若0，且0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有2个；若0，则“距离坐标”为（，）的点有且仅有4个上述命题中，正确命题的个数是 （ ）A 0 B 1 C 2 D 3 【入口分析】题中的量有变与不变的关系，当点（p,q）确定后，M到直线l1、l2的距离是不变的，变化的只是位置，考查p固定，可转化为到l1距离为p的点，其轨迹为两直线，q固定也一样，再数形结合。解析：分别作与l1、l2距离为p、q的直线l11、l12、 l21、l22，由图3-2可知选（D）。 正确，此点为点O； 正确，注意到为常数，由中必有一个为零，另一个非零，从而可知有且仅有2个点，这两点在其中一条直线上，且到另一直线的距离为（或）； 正确，四个交点为与直线l1相距为的两条平行线和与直线l2相距为的两条平行线的交点。【评注】对焦点的个数研究，通常要抓住题中的不变量是什么，变量是什么，变与不变之间存在何关系，再由交轨、平移、对称等途径实现转化，由图形特征得出结论。【例4】若不等式对一切均成立，试求实数的取值范围。【入口分析】题中p的范围是不变的是已知的，的范围为所求，其值是变化的，随p的变化，的范围也发生了相应的变化，故可整理构建关于p的函数g(p)，以为参数，转化为0，4上g(p)与0的大小关系进行求解。解析： 令，则要使它对均有，只要有 或。【评注】在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的。但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解。实行主元与次元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行。三根据数式与图形的结构特征实施转化【例5】设u,vR，且|u|,v0,则(uv)2+()2的最小值为 .【入口分析】从数式的形与构来看于两点间的距离公式的平方同构，可视为两点间的距离的平方即可找到解题入口。O xP P0QFy（图4）解析：(uv)2+()2可视为点P（u，）与点Q(v，)之间的距离的平方，P的轨迹为上半圆x2+y2=2，Q的轨迹为曲线C：y=，由图4可知连接QO交半圆于P0，过P0作元的切线交PQ于F，在RtQP0F中，FQQP0，故PQQFQP0，|u|,v0, PQmin=QO-OP0，PQ=，当且仅当时取等号，PQmin=-=，故填8。x（图5-1） yOP【评注】数式的最值问题，通常可通过对其结构与形式特征进行观察，类比，联想与已知的定理、定义、性质等形式类似，实现转化，构建解题思路。【例6】如图5-1，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：|PM|+|PN|=6（）求点P的轨迹方程；（）若|PM|PN|=,求点P的坐标.【入口分析】根据已知条件“|PM|+|PN|=6”和“轨迹”易转化为利用椭圆的定义得点P的轨迹方程，由（）中的等式可变形转为向量的模和数量积，结合总条件，在中研究边与角之间的关系。得出P轨迹方程，实现向交轨问题转化（如图5-2）。xy（图5-2） 解析：()由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆. 则其c=2，a=3，b=，椭圆的方程为 ()由|PM|PN|=,得|PM|PN|cosMPN=|PM|PN|-2因为cosMPN1，P不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在PMN中，|MN|=4，由余弦定理有|MN|2=|PM|2+|PN|2-2|PM|PN|cosMPN 将代入，得42=|PM|2+|PN|2-2(|PM|PN|-2),（|PM|-|PN|）2=12，即|PM|-|PN|=，点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上. 由()知，点P的坐标又满足，所以由方程组 解得 即P点坐标为【评注】解析几何问题通常要画出图形，根据图形特征，采用数形结合的方法，实现问题的转化，再求解。四根据正与反的关系实施转化【例7】封不同的信发往处不同地址，由于装信封时未经仔细检查，信收到后发现有封的内容和地址错位，发生这种错误的可能情形种数为（） 35 70 105 175【入口分析】由封的内容和地址错位的对立是4封的内容和地址正确，先正确后后错误，就实现了问题的转化。解析：先选出封正确的，然后让余下封出错，共有故选B。【评注】排列组合、概率等问题当正面考虑较困难时，通常从其对立面入手，进行正与反的转化，再求解。【例8】一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是。（）若袋中共有10个球，（i）求白球的个数； （ii）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望。（）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。【入口分析】题中已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率，可先考查其对立事件：没有一个白球的概率，可解出第一问；第（）看上去很不好做，若抓住“至少得到1个黑球的概率不大于”其对立事件为“没有一个黑球的概率为”就可实现转化，再根据单调性给与证明和求解。解析：（）（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为，则，得到故白球有5个（ii）随机变量的取值为0，1，2，3，分布列是0123的数学期望（）设袋中有n个球，其中y个黑球，y=，事件B：从袋中任意摸出两个球，至少有一个黑球，则P（）=上述式随n的增大而增大，且n5 P（）=， P（B）=1- P（）由于P（A）P(B),则白球比黑球多, 黑球个数为，则白球个数多于， 红球个数少于，故袋中红球个数最少。【评注】对于至多至少问题，或正面解决较困难得问题，都可以通过正与反的转化，考虑其对立事件，实现问题求解，简化求解过程。五根据问题与条件之间的内在联系进行转化【例9】设函数f(x)=ax3-3x+1(xR)，若对于任意的x-1,1都有f(x)0成立，则实数的值为 【入口分析】对任意的x-1,1都有f(x)0成立，不等式恒成立求参数的范围，这里可变的是x，若将参数分化出来，转化为a关于x的函数或不等式关系，就可转为最值问题，再转为不等式，然后可以通过求导研究关于x的函数，判断其单调性并求出其最值。解析：若，则不论取何值，f(x)0显然成立；当 即x-1,1时，f(x)=ax3-3x+10可化为：a,设，则， 所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)max=g()=4，从而4；当x0 即时，f(x)=ax3-3x+10可化为a，g(x) 在区间上单调递增，因此g(x)max=g(-1)=4，从而4，综上a4.【评注】对于不等式恒成立问题常常要将参数分离出来，利用问题与条件之间所蕴含的关系转化为研究函数的最值。通过求导研究函数的单调性和最值，在情况不定时要转化为对其取值进行分类讨论。 【例10】设p，q为实数，是方程x2-px+q=0的两个实根，数列xn满足x1=p，x2=p2-q，xn=p xn-1-q xn-2，（n=3，4，）（1）证明：+=p，=q（2）求数列xn的通项公式；（3）若p=1,q=，求xn的前n项和Sn。【入口分析】（1），是方程x2-px+q=0的两个实根，是根与方程的关系，可将一元二次方程转化为零点式，由多项式相等来实现证明（1）(也可直接用求根公式)。由（1）代入xn=p xn-1 -q xn-2可转化为一个新的等比数列，从而实现题可解。（3）书写条件与结论，将Sn乘上可化归为课本上的错位相减法，实现题的可解。解析：（1），是方程x2-px+q=0的两个实根，则（x-）(x-)= x2-px+q+=p，=q。（2）由（1）有+=p，=q，从而xn=p xn-1 -q xn-2=（+）xn-1-xn-2，xn -xn-1=（xn-1-xn-2）（n=3,4，）,令an= xn -xn-1(n=2，3，)，则有a2= x2 -x1=p2-q-p=2，an=an-1=2an-2=n （n=3,4，）, 当n3时，xn= xn-1 + an= xn-1+n=(xn-2+n-1)+n=2xn-2+n-1+n=n-2x2+(n-33+n-44+n-55+n-1+n)，而x1=p=+，x2=p2-q=2+2当n3时，xn=n+n-1+n-22+n-33+n-44+n-55+n-1+n，当n1时，xn=n+n-1+n-22+n-33+n-44+n-55+n-1+n，xn=（3）若p=1,q=，则=，这时xn =其前n项的和为Sn=21+32+(n+1)n=10+21+32+(n+1)n-10Sn-Sn=0+1+2+n-(n+1)n+1-0(1-)= =， Sn=2=3-【评注】此题考查一元二次方程、数列的通项公式、数列前n项的和等知识，需要根据问题与条件之间所蕴含的关系，对函数与方程、分类与整合、特殊与一般进行相互的转化与化归，进行抽象概括、推理论证和运算来实现求解。作者：段贤清，联系地此：湖南省长沙县第三中学，邮编： 410148联系电话