[工学]2011西工大数学建模论文.doc

装 订 线第九届西北工业大学数学建模竞赛暨全国大学生数学建模竞赛选拔赛题目A (B)题密封号2011年5月3日剪 切 线密封号2011年5月3日 学院 第 队队员1队员2队员3姓名班级装 订 线摘 要近几年，房价过快上涨，使人民群众买房难，因此研究影响房价的主要因素以及房价与其之间的关系十分重要。分析题目，我们分为三个问题进行讨论建模：问题一，房价合理性评判；问题二，未来房价走势；问题三，后期房价的应对。本文针对影响房价的因素，主要考虑以下几点：地价，人均年收入，建材价格，人均GDP、房屋贷款利率和居民消费水平。通过线性拟合，找出各影响因素与房价的关系，确定出主要影响因素为：地价，人均年收入，人均GDP和居民消费水平，进而得出因素与房价之间的互动影响。问题一中针对各代表性城市现今房价是否合理的问题，我们以代表性城市上海、西安为例，采用了经济学领域的关于正态分布的模型，评定房价的合理性，同时根据我们确定出来的数据与世界银行房价评判标准进行进一步评判。针对问题二，鉴于房价所涉及的系统为灰色系统，而影响房价的因素很多，我们利用灰色预测法来作预测，灰色系统，即将杂乱无章的数据列进行整理、生成，将空缺的数据通过计算加以补充，用整理过的数据列建立模型并通过它进行决策和预测，将结构、关系、机制不清楚的对象、过程、系统作灰色预测以进行提前控制。房价变化涉及的系统包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。针对问题三，建立适当的模型对各因素与房价的相关性进行检验；至于对经济发展的影响，须考虑房价与各个因素之间的互动性，便于充分利用搜集的相关数据进行模型的检验。利用影响因素，通过对模型的综合分析，我们提出了各种改进措施并得出了对经济影响的一些结论。本文的主要特色为：我们分析了房价变化这一系统的特点，有针对性的构建模型，并抓住了影响房价的主要因素，建立的模型精确实用，而且容易理解。同时我们根据模型对未来代表性城市的房价进行了预测与评估，并提出了合理实用的改进措施，不仅具有研究参考价值，而且对于决策者有很好的指导意义。一问题重述房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。要求就一下方面进行分析：根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。根据赛题的要求，我们将题目分割为三部分并分别建模。模型一为房价合理性分析模型，模型二为房价未来走势预测模型，模型三为后期房价应对模型。二、问题分析题目要求依据建筑成本、居民收入等影响房价变化的因素，对具有代表性城市的房价进行合理性定量评估并定量预测房价未来走势、控制合理房价的措施和对经济发展的影响。我们将问题进行分述如下三个部分，并对其分别建模：1、 房价合理性分析模型 考虑评判房价的合理性，我们首先想到与房价密切相关的各种因素，认为房屋的合理定价应该由房屋所在城市的经济发达程度、环境优美度、居民归属感等生活标准来反应，而这些项目又有很多是难以量化的指标，因此我们采用了城市居民年人均收入刻画生活标准。房屋的价格应该满足本市居民的居住需要，于是这部分我们没有引入投资等市场因素。2、 房价未来走势模型 房价未来走势受很多因素影响，比如地价、居民平均收入水平、理想房价和市场供求关系等。但是这些因素之间相互作用、相互影响，这些属于系统分析的内容，起初我们考虑将运用数理统计中的回归分析、方差分析、主成分分析等方法来进行房价系统分析。但是由于这些方法必须要有大量的数据，而且要求我们所选取的主要因素即地价、居民平均收入水平、理想房价和市场供求关系等与房价系统之间呈现一定的线性关系且各个因素无相关性，显然，我们所能获得是数据不具备上述特征，因此，我们必须设想利用其它模型。鉴于房价所涉及的系统为灰色系统，而影响房价的因素很多，我们利用灰色预测法来作预测，灰色系统，即将杂乱无章的数据列进行整理、生成，将空缺的数据通过计算加以补充，用整理过的数据列建立模型并通过它进行决策和预测，将结构、关系、机制不清楚的对象、过程、系统作灰色预测以进行提前控制。正如前面所说，房价变化涉及的系统包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果决定了系统的发展态势。因此这部分我们采用了灰色预测模型，避免了考虑单个量对经济走势的影响情况，关注在这些因素共同作用下的经济走势，并对房价的未来变化进行了预测。三、后期房价应对模型 要求我们根据前面的分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响。提出控制房价使之合理的措施，涉及到影响房价的具体因素。所以，我们必须建立适当的模型对各因素与房价的相关性进行检验；至于对经济发展的影响，须考虑房价与各个因素之间的互动性，便于充分利用搜集的相关数据进行模型的检验。三、数学模型的建立及求解3-1 城市房价合理性模型与符号说明模型假设：1、 本模型主要考虑到应届毕业生等初次购房者的购买情况，不考虑投资购房群体，理由是投资者生活有所保证，投机行为可以由市场进行调节，合理性应该反映房屋真正需求者购房难度。2、 本模型假定城市居民收入与收入对应的人口数成正态分布。符号说明： : 单位面积商品房售价: 当地人均住房居住面积: 预期使用当年全年收入归还房贷所需年数: 购买商品房支付的总价: 房产税率、贷款利息等附加费用: 当地人均年收入模型建立 若以当地人均年收入作为人口收入正态分布模型的x=0，人均年收入的倍定为x=n，则xN(0,1)，函数图象如图3-1(a)所示。 图3-1(a) 令Te年内可用全年工资购买人均住房面积住房的下限倍率为Br。根据假设一，本模型考虑对象为应届毕业生等初次购房者，国家对于这些群体的税费及银行贷款的政策都有相应的优惠，故这些因素暂予以忽略，对Br进行了简化： 一以上海市区居民购房为例（数据见表3-1-1）年份住房面积（）商品房销售均价(元每平方米)人均年收入(元)200213.1553913250200313.8603214867200414.8664017175200515.5695218645200616810220668200716.51029323623200816.91365926675200917.21546728838201017.81916831838 表3-1-1 令能够使用Te年全年收入购买人均住房面积住房的人口比例为P，假设5年为合理还贷期，通过查阅标准正态分布表，得到的年份、Br值及P值如表3-1(a)所示。从表中可以看出，从2002年以来，在不计算贷款利率及房产税率的情况下，能够用5个整年工资来购买人均住房面积住房的上海市区居民的比例一直低于50%，并且每年都呈下降趋势，特别是在2006年炒房潮爆发以后，比例加速下降，直到2010年竟然下降到13.6%。作者查询了相关的资料，发现加拿大等欧美国家的房屋均价折合成人民币和上海现在的房价相差无几，但收入水平却远高于上海市民的收入水平，于是造成了加拿大居民和上海居民的生活水平的巨大差距。同时，资料显示，加拿大中产阶级房屋贷款限额是年收入的3倍，这个比例对于上海中产阶级来说，可能都难以支付房屋购买的首付。随着上海的发展及其成为了亚洲第一大港，房屋价值的增长也是正常的现象，但房屋价格的高速增长不符合上海本地居民的人均收入水平，因此我们认为2006年以来上海高速增长的房价是不合理的。年份BrP20020.1310.44820030.1630.43520040.1950.42320050.2080.41720060.3270.37220070.5230.29820080.7910.21420090.8840.18920101.10.136 表3-1-1(a)2 以西安市区居民购房为例（数据如表3-1-2所示）年份住房面积单位面积住宅销售价格西安市人均年收入200817.0439715207200917.6491318963201018.2539821807 表3-1-2西安市区居民购房情况表采用了2008至2009年度的数据。同样以五年作为合理还贷期，计算得到表3-1-2(a)。年份BrP2008-0.020.5082009-0.1330.5532010-0.150.56 表3-1-2(a)从表中我们可以看到，西安的房价从2008年到2010年有上涨，但是城市居民收入水平也有了比较大的提高，使得能够使用5年全年工资还清购房债务的人口比例保持稳定并有所上升。这说明西安的房价比较稳定合理。三使用世界银行房价收入比进行判断： 每户住房总价： 人均住房面积：每户家庭平均人口数：单位面积住宅平均销售价格：每户家庭年总收入：家庭人均全部年收入：收入房价比以上海为例，可计算出其2002-2010年的房价收入比，见表3-1-1-3(a)。年份房价收入比20025.4720035.620045.7220055.5220066.2720077.1920088.6520099.23201010.72 表3-1-1-3(a) 从表中我们也可以发现房价收入比从2006年开始超出了正常标准3到6，出现了畸形的房市过热现象。和项目所建合理性模型显示的2006年后城市居民住房购买力下降的现象吻合。 而西安市2002年至2010年的房价收入比，如表3-1-1-3(b)所示，相对较为稳定，在3到6倍的正常范围内。年份房价收入比20084.9120094.5620104.51 表3-1-1-3(b)3 结果分析对房价合理性的分析应该从当地居民能够用合理的资金购买到合理面积、合理地段住房的角度入手，而不像房价预测一样需要考虑市场等因素，因此我们选取了人均收入和人均住房居住面积来刻画某地房价的合理性。这点我们的模型和世界银行的房价收入比模型有着相似之处。经过我们对各类型城市通过建立的模型进行分析，如果某地区能够用5年当年全年工资购买当地人均住房居住面积住房的居民的比例小于1/3，则说明该城市的房市已经出现过热（房价收入比已经大于6），房价不合理。3-2 未来房价变化的灰色预测模型模型假设1. 本模型不考虑未来突发事件，如经济低迷或举办大型活动，如奥运会、世博会等因素对房价产生的影响。2. 城市年平均房价的预测为基于历史情况的变化。3. 不考虑政府政策调控引起房价的大起伏变化。符号说明-为原始房价数据；-为累加生成房价数据；-为九个代表性城市的房价（=1,2,9）；- 为时间变量；-为与时间有关的常量；模型建立我们搜集到20012010年10年间，各代表性城市的房价变化数据如表3-1-2所示：2001200220032004200520062007200820092010北京4210459849625161527658496232132221505122310上海5531600369547938841185478627140991540419168深圳4321452648755170561955496037111431475816978西安2000300931203491300032553599435749135398东莞2000302532883336371041885148568366087023青岛896214442005167500051424639652783018962潍坊1201169016301866260026542981309934863689西宁1369146316431722187720202421267332113440开封612150016451836183419632638276030003737表3-2-1各城市平均房价变化曲线如下： 图3-2-1 由图3-2-1可明显看出，各城市的房价单调递增，并具有较强指数规律，所以，我们考虑运用GM（1,1）模型预测未来几年平均房价的变化趋势。模型计算作1-AGO生成依据上式得=4210,8808,13770,18931,24207,30056,36288,49510,64561,86871=5531,11534,18488,26426,34837,43384,52011,66110,81514,100682=4321,8847,13722,18892,24511,30060,36097,47240,61998,78976=2000,5009,8129,11620,14620,17875,21474,25831,30744,36142=2000,5025,8313,11649,15359,19547,24695,30378,36986,44009=896,3040,7240,12407,17407,22549,27188,33715,42016,50978=1201,2891,4521,6387,8987，11641,14622,17721,21207,24896=,1369,2832,4475,6197,8074,10094,12515,15188,18399,21839=612,2112,3757,5593,7427,9390,12028,14788,17788,21525 设满足一阶微分方程 ， 其中a为常数，称为发展灰数；u为常数，称为内生控制灰数。此方程满足初始条件 当时，（易知2001年为小样本的第一年， =1）的解为。 对等间隔取样的离散值为 将分别入（*）式，利用GM（1,1）灰色模型，得出矩阵表达式： 下面，利用已经建立的模型对代表性城市房价进行预测，我们以北京市房价为例，令y=,B=,U=,则矩阵形式为y=BU,此方程的最小二乘估计 , 对各参量分别计算得，参数列的最小二乘估计为 即常数,代入（*）式，进一步求得白化微分方程：时间响应：则，依次确定k=1,2,n的值得还原数列上面，我们求得时间响应的表达式，进而得出了t=k,(k=1,2,n)时的还原数据及误差，同时，平均相对误差可求。此时，我们可以进行精度检验，依次求出，、C、P：，结果分析 为了便于快捷求解，我们编写了Matlab程序（附1），依次输入原始数据，求得各市还原数据、实际值和误差，我们以北京为例，如表：房价原始数据还原数据误差（%）后验差比值C小误差概率P19930.5660.10930.900025950.47733790.34544000.16657290.0217459-0.1979713-0.265126460.160164660.262 利用M程序求得各市的后验差比值C和小误差概率P后，与检验指标等级标准表（下表3-2-3）对比得到表3-2-4：表3-2-3后验差比值C小误差概率P预测精度评价北京0.10930.90002级较好上海0.06771.00001级好深圳0.08401.00001级好西安0.10171.00001级好东莞0.01451.00001级好青岛0.09111.00001级好潍坊0.03891.00001级好西宁0.01491.00001级好开封0.02711.00001级好表3-2-4 通过模型的验证结果可以看出，对于大部分城市，模型预测精确度很高，所以可以证明本模型建立较为成功，可以反映出西安房价的未来变化规律。下面我们通过Matlab将预测5年内房价结果作图3-1-2如下：图3-2-2通过上面的图表分析可知：未来5年内，我们选择的代表性城市的平均房价均会持续上涨。北京、上海、深圳等竞争里强、经济活跃的大城市的涨幅会高于相对落后一些二线、发展中、偏远城市。未来一段时间，各城市房价会持续一个比较低幅度的上涨，但是不会下跌。总体分析，未来5年的时间内，楼价不会下跌，只会持续一个比较低幅度的上涨，但是不会下跌。3-3 后期房价应对模型假设条件1、 只考虑房价的主要影响因素。2、 假设由突发性因素使房价收到的影响很小。3、 贷款利率反应政策对房价的调控。符号说明：S：方差m: 用于计算的标志性常量模型建立1、 由于房价与建安成本、当地的地价、生产总值、人均可支配收入呈线性关系，而它们的线性的组合仍为线性，故我们选用多元线性方程来建立此模型，用最小二乘法对房价和影响房价的各个因素进行线性拟合： 设，为x的已知函数。因变量y与自变量，有线性关系：设是自变量与因变量的m次观测值（mn），令 上式的第一式表示第i观测值与计算值误差，第二式表示所有观测误差的平方和。最小二乘法的思想是寻找一组参数，使得最小。记， ，最小二乘法的原理就是找一组数，使为最小。 由高等数学中介绍的多元函数求极值方法知道，S的极值点满足如下必要条件，分别记，则考虑式（5.3）的第j各方程得到即因此。在实际的问题中，上式往往只有唯一解，因此也就是问题的所要找的一组值。为了选择多项式的最优拟合元数并更方便地求出拟合系数和相关性系数，我们编写了Matlab程序见（附2）。用建立的模型对代表性房价与其影响因素进行拟合下面是西安市自2001-2010年的房价及其影响因素的统计数据：西安市房价与各因素数据年份房价GDPAVGDP建安成本地价可支配收入20012000734.86106281021986623620023009826.681183113251715702120033120946.6613341137817697872200434911102.3915294145218428544200530001270.1415859149317969628200632551473.35180851567186310905200735991763.73213391669205712662200843572318.4277941816261415207200949132724.08324112081309518963201053983241.49324462243350821354表3-3-1利用Matlab编写程序对影响房价的各个主要因素进行拟合，我们将各自的拟合曲线的拟合系数和相关性系数。房价与地价的相关性拟合。图3-3-1拟合的函数关系式为：y=a+bx+c其中a=-0.0001,b=1.7482,c=326.9253方差和相关性系数Cov（x，y）=0.9932通过拟合出的关系图，我们可以看到房价与地价之间有明显的线性关系，说明地价的升高影响着房价的升高，故可确定为主要因素。房价与居民人均可支配收入的拟合图3-3-2拟合的函数关系式为：y=ax+b其中a=0.0002,b=1.3204方差和相关性系数Cov（x，y）=0.9536通过拟合出的关系图，我们可以看到房价与人均可支配收入之间有明显的线性关系，说明居民人均年收入的升高影响着房价的升高，故可确定为主要因素。房价与建安成本的拟合 图3-3-3拟合的函数关系式为：y=a+bx+c其中a=-0.0002,b=2.0364,c=-206.0071方差和相关性系数Cov（x，y）=0.9805通过拟合出的关系图，我们可以看到房价与建安成本之间有明显的线性关系，说明建安成本升高影响着房价的升高，故可确定为主要因素。房价与地区GDP的拟合图3-3-4拟合的函数关系式为：y=ax+b其中a=0.0011,b=1.8036方差和相关性系数Cov（x，y）=0.9517通过拟合出的关系图，我们可以看到房价与地区GDP之间有明显的线性关系，说明地区GDP升高影响着房价的升高，故可确定为主要因素。图3-3-5经过计算求得拟合函数的方差和与相关性系数如下：方差和相关性系数Cov（x，y）=0.0117通过拟合出的关系图，我们可以看到房价与房屋贷款利率之间无明显的线性关系，说明房屋贷款利率基本不影响着房价，故可确定为非主要因素。四、分析模型的结论一、对经济的一些影响近年来，我国部分地区已经出现了房地产过热，主要表现在房地产开发投资高速增长，房价持续飙升，上涨幅度已经远远超出经济总体增长水平及其它行业产品与服务的涨升幅度。房价增长过快的趋势，不仅是房地产行业健康运行的突出矛盾，也是整个国民经济继续平稳发展的一个不稳定因素。通过分析以上统计数据，我们得出以下对于经济的影响：影响居民生活消费。过热的房价导致居民消费支出减少，房价上涨过快在带动住房消费和家居类商品消费的同时，在一定程度上却抑制了其他消费。加剧产业结构的不平衡。高房价与高利润使社会经济要素配置错位，致使房地产业投资居高不下，并导致了上下游产业的畸形发展。扩大居民收入分配差距。在房价过快增长的情况下，低收入阶层不仅没有能力购买可以增值的房产，反而会因为房价上涨过快而更加贫困。加剧金融风险的聚集。房价持续上涨导致高房价，使居民购房不得不依赖银行金融支持。个人住房按揭贷款的增加使整个银行体系的风险累积，引起金融部门流动性下降和全社会金融风险的增加。二、 合理化房价的一些具体措施合理的房价关乎一个国家的经济平稳发展和社会稳定，所以我们在以上定性分析与定量分析的基础上，有针对性的对土地制度、调整居民购房政策以及房地产行业与市场规范等方面提出了一些建议：通过观察以上模型数据，深入分析我们发现，土地价格是房地产价格影响因素的重中之重，而我国目前关于土地方面的政策措施还有诸多不完备之处，针对这种状况，首先对土地政策措施提出建议。注意优化供地结构，加快存量地的盘活，以缓解房地产开发用地供应不足的压力。通过以上的GDP和居民人均可支配收入数据可以看出，这两项与房价密切相关。所以，建立住房保障基金，给中低收入家庭予以补贴，以帮助其实现购房意愿，可以鼓励置买二手房等，即政府必须完善廉租房建设计划。房价与建安成本统计信息显示，建安成本在房价中虽占有一定的比重，但是很大一部分价值处于开发商的非成本成分。所以合理优化房价，必须加强房地产行业管理。进一步严格房地产市场进入和退出制度，对开发企业资本、资金、开发业绩等进行严格规定，并建立动态的考核体系，随时对房地产开发商进行监督，减少违规行为的发生并对地产企业经营行为进一步进行约束，从而促使房地产开发企业优胜劣汰，使其朝着有利于市场健康发展的方向投资。附1:灰色模型求解M程序：function SGrey X0 = input(输入原始房价：); %输入原始数据n = length(X0); %原始n年数据X1 = zeros(1,n); %累加生成for i = 1:n if i = 1 X1(1,i) = X0(1,i); else X1(1,i) = X0(1,i) + X1(1,i-1); endendX1 %计算数据矩阵B和数据向量YB = zeros(n-1,2);Y = zeros(n-1,1);for i = 1:n-1 B(i,1) = -0.5*(X1(1,i) + X1(1,i+1); B(i,2) = 1; Y(i,1) = X0(1,i+1);endB,Y %计算GM(1,1)微分方程的参数a和uA = zeros(2,1);A = inv(B*B)*B*Y;a = A(1,1);u = A(2,1);a,u %建立灰色预测模型XX0(1,1) = X0(1,1);for i = 2:n XX0(1,i) = (X0(1,1) - u/a)*(1-exp(a)*exp(-a*(i-1);endXX0%模型精度的后验差检验e = 0; %求残差平均值for i =1:n e = e + (X0(1,i) - XX0(1,i);ende = e/n;eaver = 0; %求历史数据平均值for i = 1:n aver = aver + X0(1,i);endaver = aver / n;avers12 = 0; %求历史数据方差for i = 1:n s12 = s12 + (X0(1,i)-aver)2;ends12 = s12 / n;s12s22 = 0; %求残差方差for i = 1:n s22 = s22 + (X0(1